電磁感應與動力學綜合問題探究

■江蘇省響水中學　

處理電磁感應現象中的動力學問題的基本方法和思路是:先由法拉第電磁感應定律確定閉合電路中的感應電動勢,再根據歐姆定律確定感應電流,然后根據F=BIL確定安培力,最后根據動力學運動規律(牛頓第二定律、動能定理、動量定理、功能關系等)求解相關動力學問題。

圖1

例1 如圖1所示,兩條互相平行的光滑金屬導軌位于水平面內,間距l=0.2m,導軌的一端接有阻值R=0.5Ω的電阻,在x≥0的范圍內有一與水平面垂直的勻強磁場,磁感應強度B=0.5T。一質量m=0.1kg的金屬直桿垂直放置在導軌上,并以v0=2m/s的初速度進入磁場,在安培力和一垂直于金屬桿的水平外力F的共同作用下做勻變速直線運動,加速度a=2m/s2,方向與初速度方向相反。設導軌和金屬桿的電阻都可以忽略,且接觸良好。求:

(1)電流為零時,金屬桿所處的位置。

(2)電流為最大值的一半時,施加在金屬桿上外力F的大小和方向。

(3)保持其他條件不變,而初速度v0取不同值,求開始時外力F的方向與初速度v0取值的關系。

分析:金屬桿在水平外力F和安培力的共同作用下做勻變速直線運動,加速度的方向向左。金屬桿的運動過程為向右的勻減速運動→速度為零→向左的勻加速運動;判斷外力F的方向需要先假設,再根據計算結果的正負號進行判斷。

解:(1)金屬桿切割磁感線產生的感應電動勢E=Blv,感應電流,因為當I=0時v=0,所以m,即金屬桿處于x=1m處。

(2)當金屬桿的速度取最大速度v0時,金屬桿中有最大電流;當金屬桿中電流時,金屬桿受到的安培力當金屬桿向右運動時有F+F安=ma,解得F=0.18N,方向水平向左;當金屬桿向左運動時有FF安=ma,解得F=0.22N,方向水平向左。

(3)金屬桿剛開始運動時有v=v0,F安=,F+F=ma,解得F=安當時,F＞0,方向水平向左;當v0＞10m/s時,F＜0,方向水平向右;當v0=10m/s時,F=0,不滿足題意。

以題說法:純力學問題中只涉及重力、彈力、摩擦力,電磁感應現象中的力學問題比純力學問題多了一個安培力,其處理方法與純力學問題基本相同。此外,安培力的大小一般與導體切割磁感線的速度有關,當速度變化時,安培力也隨之變化,從而使導體的受力情況(如導體的彈力和相應的摩擦力等)發生變化,而力的變化必然導致導體運動狀態的變化。因此求解電磁感應現象中的動力學問題時,我們需要熟練掌握如圖2所示的變化規律。

圖2

例2 如圖3所示,豎直放置的兩根足夠長的光滑金屬導軌相距為L,導軌的上端分別與電源(串有一滑動變阻器R)、定值電阻、電容器(原來不帶電)和開關S相連。整個空間充滿了垂直于導軌平面向外的勻強磁場,磁感應強度為B。一質量為m、電阻不計的金屬棒MN橫跨在導軌上。已知電源電動勢為E,內阻為r,電容器的電容為C,定值電阻的阻值為R0,不計導軌的電阻。

圖3

(1)當開關S接1時,金屬棒在磁場中恰好保持靜止,則滑動變阻器接入電路的阻值R多大?

(2)當開關S接2后,金屬棒從靜止開始下落,下落距離s時達到穩定速度,則此穩定速度為多大?金屬棒下落距離s所需的時間為多少?

(3)先把開關S接2,待金屬棒達到穩定速度后,再將開關S接到3。試通過推導說明金屬棒此后的運動性質,并求金屬棒再下落距離s時,電容器儲存的電能。(設電容器不漏電,且最終電容器沒有被擊穿)

分析:(1)當開關S接1時,金屬棒在磁場中恰好保持靜止,說明金屬棒的重力與安培力平衡,由平衡條件和安培力公式列式,可求出電路中的電流,再根據歐姆定律可求出滑動變阻器a電路的阻值R。(2)當開關S接2后,金屬棒從靜止開始下落,先做加速度減小的變加速運動,待達到穩定狀態后,再做勻速運動,根據重力的功率等于電功率列式可求出穩定速度,根據動量定理和法拉第電磁感應定律列式可求出時間。(3)金屬棒達到穩定速度后,將開關S接到3,電容器開始充電,電路中有充電電流,金屬棒受到安培力,根據安培力的瞬時表達式和牛頓第二定律可求得瞬時加速度,即可判斷金屬棒的運動性質。根據能量守恒定律可求出電容器儲存的電能。

解:(1)當開關S接1時,金屬棒在磁場中恰好保持靜止,根據平衡條件得mg=BIL,又有,解得。

(2)當開關S接2后,金屬棒達到穩定狀態時做勻速運動,則,又有感應電動勢E'=BLv,解得。根據動量定理得,又有感應電荷量,解得q=

(3)將開關S接到3時,電容器開始充電,電路中有充電電流,金屬棒受到向上的安培力,設金屬棒的瞬時加速度為a,根據牛頓第二定律得mg-BiL=ma,又有,得CBLa,即mg-BL·CBLa=ma,解得a=可見金屬棒的加速度不變,即金屬棒做勻加速直線運動。當金屬棒再下落距離s時,設金屬棒的速度為v',電容器儲存的電能為ΔE,則根據運動學公式得v'2-v2=2as,根據能量守恒定律得,解得

以題說法:在勻強磁場中做勻速運動的導體棒受到的安培力恒定,可以用平衡條件進行處理;在勻強磁場中做變速運動的導體棒受到的安培力隨速度(電流)的變化而變化,變速運動的瞬時速度可以用牛頓第二定律和運動學公式求解。在此類問題的求解過程中要畫好受力圖,并抓住a=0時,速度v達最大值的特點。若涉及始、末狀態,以及力和作用時間,則用動量定理進行處理;若涉及始、末狀態,以及力、位移和熱量問題,則應盡量應用動能定理與能的轉化和守恒定律解決。能量的轉化和守恒是通過做功來實現的,安培力做功是聯系電能與其他形式的能的橋梁,利用能量觀點分析電磁感應現象中的能量問題,可以避開復雜過程細節的分析和變力功的計算。