三類輔助圓在臨界問題中的應用

■河南省淮陽第一高級中學　

求解帶電粒子在有界磁場中運動問題的關鍵是正確分析出軌跡圓的臨界狀態,求出相應的臨界條件。下面就來介紹三類輔助圓在臨界問題中的應用,以期對大家有所幫助。

一、利用半徑不同的放縮圓求解

當帶電粒子的入射方向不變、質量一定而速度大小可變(速度不變而質量不同)時,粒子做圓周運動的軌跡圓心一定在表示粒子在入射點所受洛倫茲力的射線上,但位置不確定,畫出半徑最小(最大)的圓形軌跡,依據半徑變化將圓放大(縮小),尋找圓周與磁場邊界的切點,即可發現“臨界點”。

例1 如圖1所示,勻強磁場的磁感應強度為B,寬度為d,M、N為其左右邊界。一電子從左邊界垂直勻強磁場射入,入射方向與邊界的夾角為θ,已知電子的質量為m,電荷量為e。要使電子能從磁場的右邊界射出,求電子速度大小的范圍。

圖1

解析:如圖2所示,當入射速度很小時電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從同一側射出;電子的入射速率越大,電子在磁場中的運動軌跡半徑越大,當軌跡與邊界相切時,電子恰好不能從磁場的右邊界射出;當電子的入射速率大于這個臨界值時,電子便從磁場的右邊界射出。設此時電子的速率為v0,由幾何關系得r+rcosθ=d。電子在磁場中做圓周運動時洛倫茲力提供向心力,則,解得r=。聯立以上各式解得所以電子能從磁場的右邊界射出的條件是入射速度大于

圖2

點評:不斷放大圓的半徑,即可找出當電子的運動軌跡與邊界相切時,電子恰好不能從磁場的右邊界射出的臨界條件。

二、利用半徑相同的旋轉圓求解

當帶電粒子的速度大小不變而入射方向不同時,粒子做圓周運動的軌跡半徑相同,但圓心變化。先畫出粒子的某一特殊運動軌跡,按順時針或逆時針旋轉這一軌跡,從圓的動態變化中即可發現“臨界點”。

圖3

例2 如圖3所示,在直角坐標系的原點O處有一放射源,向四周均勻發射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子。在放射源右邊有一很薄的擋板,擋板與xOy平面交線的兩端M、N和原點O正好構成等腰直角三角形。已知帶電粒子的質量為m,帶電荷量為q,速度為v,MN的長度為L。

(1)若在y軸右側加一平行于x軸的勻強電場,要使y軸右側所有運動的粒子都能打到擋板MN上,則電場強度的最小值E0為多大?當電場強度為E0時,打到擋板上的粒子的動能為多大?

(2)若在整個空間加一方向垂直于紙面向里的勻強磁場,要使擋板右側的MN連線上都有粒子打到,則磁場的磁感應強度不能超過多少(用m、v、q、L表示)?若滿足此條件,放射源O向外發射出的所有帶電粒子中有幾分之幾能打在擋板的左側?

圖4

解析:(1)要使y軸右側所有運動粒子都能打在擋板MN上,其臨界條件為沿y軸方向運動的粒子做類平拋運動,且落在M或N點。作動態圓如圖4所示,則MO'=,解得由動能定理得,解得Ek=

(2)要使擋板右側的MN連線上都有粒子打到,粒子運動軌跡直徑的最小值為MN的長度L,則,解得B=0。放射源O發射出的粒子中,打在MN連線上的粒子的臨界情況如圖5所示。因為OM=ON,且OM⊥ON,所以OO1⊥OO2,v1⊥v2。故 放 射 源O發射出的所有帶電粒子中只有能打在擋板的左側。

圖5

點評:因為各帶電粒子的運動軌跡半徑相等,運動周期相等,所以各帶電粒子運動軌跡的圓心分布在以粒子源O為圓心,R為半徑的一個圓周上。

三、利用半徑相同的平行圓求解

當帶電粒子的速度大小不變及入射方向平行,且分布在一定范圍內時,粒子在勻強磁場中做圓周運動的軌跡半徑一定。先畫出粒子的某一特殊運動軌跡,沿邊界平移這一軌跡,從圓的變化中即可發現“臨界點”。

圖6

例3 如圖6所示,有界勻強磁場的磁感應強度為B,方向垂直于紙面向里,MN為其左邊界,磁場中放置一半徑為R的圓柱形金屬圓筒,圓心O到邊界MN的距離OO1=2R,圓筒軸線與磁場平行。圓筒用導線通過一個電阻r0接地,最初金屬圓筒不帶電。現有范圍足夠大的平行電子束以速度v0從很遠處沿垂直于邊界MN向右射入磁場區域,已知電子的質量為m,電荷量為e。(1)若電子的初速度滿足,則在最初圓筒上沒有帶電時,能夠打到圓筒上的電子對應邊界MN上O1兩側的范圍是多大?

(2)當圓筒上的電荷量達到相對穩定時,測量得到通過電阻r0的電流恒為I,忽略運動電子間的相互作用,求此時金屬圓筒的電勢φ和電子到達圓筒時的速度v(取無窮遠處或大地電勢為零)。

(3)在(2)的情況下,求金屬圓筒的發熱功率。

解析:(1)設電子進入磁場后的運動軌跡半徑為r,則,解得r=3R。大量電子從邊界MN上不同點進入磁場后的運動軌跡如圖7所示,從O1上方P點射入的電子剛好與圓筒相切,則O1O2=同理得O1下方Q點到O1點的距離

圖7

(2)當圓筒上的電荷量達到相對穩定時,圓筒上的電荷不再增加,與地面的電勢差恒為U,則U=Ir0,電勢φ=-Ir0。電子在從很遠處射到圓筒表面上的過程中,由動能定理得,解得

點評:求解這類問題需要抓住各帶電粒子的兩個特點,一是各粒子的圓形運動軌跡半徑相等、運動周期相等,二是各粒子的圓形運動軌跡的圓心分布在同一條直線上。