巧用動量定理解決連續作用問題

■山東省沂源縣第一中學　

噴泉連續噴水、粒子連續碰撞器壁、機槍連續發射子彈等都屬于連續作用問題。這類問題的特點是待研究問題涉及的對象是連續的、變化的,這類研究對象與常見的作為研究對象的小球、滑塊、帶電粒子、通電導線等單個物體不同。單個物體作為研究對象時,物體的受力情況和運動情況容易分析,而對于連續作用的問題若不能恰當地“隔離”出一定的對象進行研究就很難進行分析判斷。下面舉例說明應該怎樣選取研究對象,又該怎樣對研究對象運用物理規律。

例題(2016年高考全國Ⅰ卷,噴泉連續噴水問題)某游樂園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩定地懸停在空中。為計算方便起見,假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出;玩具底部為平板(面積略大于S);水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向上水的速度變為零,在水平方向上朝四周均勻散開。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g。求:

(1)噴泉單位時間內噴出的水的質量。

(2)玩具在空中懸停時,其底面相對于噴口的高度。

解析:(1)因為在噴口處噴出的水柱的速度為v0,所以在一段極短時間Δt內,從噴口噴出的水柱的長度 Δl=v0Δt,體積 ΔV=Δl·S,質量Δm=ρΔV,解得噴泉單位時間內噴出的水的質量為

(2)設水柱對玩具底部的作用力為F沖,如圖1所示,玩具受力平衡,則F沖=Mg。由牛頓第三定律可知,玩具底部對水的反作用力F壓=F沖。設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h,水柱到達玩具底部時的速度大小為v,由運動學公式得在極短時間Δt內,沖擊玩具的水柱的質量為 Δm,則 Δm=ρv0SΔt。對該部分水柱應用動量定理,取豎直向下為正方向,則(F壓+Δm·g)Δt=0-(-Δm·v)。因為Δt很小,所以在Δt時間內沖擊玩具的小水柱的重力Δm·g很小,可以忽略,則F壓Δt=Δm·v,解得

圖1

連續作用問題研究對象的選定和動量定理的運用需要具備以下幾個方面的認識:

(1)對“小水柱”厚度的認識:我們認為撞擊玩具時“小水柱”的速度都是同一個值,因此“小水柱”的厚度不能認為是1cm、0.01cm等具體數值,而應該認為“小水柱”是一個厚度趨近于零的液體薄層。

(2)對“小水柱”質量Δm的認識:Δm為在極短時間Δt內沖擊玩具的液體薄層的質量。質量Δm應是直接和玩具作用、應用動量定理的研究對象。因為沖擊玩具時已經散開的水柱的橫截面積未知,所以我們需要借助于“流動液體的連續性原理”(在單位時間內,流過任意橫截面積的液體質量都相等,即ρvS=恒量),將質量Δm用已知量表達為Δm=ρv0SΔt。

(3)對極短時間Δt的認識:應用動量定理時,極短時間Δt不能認為是1s、0.1s、0.01s等具體的極短時間段,而應該認為Δt是無限趨近于零的一個極限時間段。

只有具備上述幾個方面的認識,我們才能隔離出一定質量Δm的“小水柱”作為研究對象,其在Δt時間內由初動量Δm·v減小為末動量0,從而應用動量定理成功求出玩具對“小水柱”的作用力。

拓展1:(粒子連續碰撞器壁問題)正方體密閉容器中有大量運動粒子,每個粒子的質量為m,單位體積內粒子的數量n為恒量。為簡化問題,我們假定:粒子大小可以忽略;其速率均為v,且與器壁各面碰撞的機會均等;與器壁碰撞前后瞬間,粒子速度的方向都與器壁垂直,且速率不變。請你利用所學力學知識,導出器壁單位面積所受粒子壓力f與m、n和v的關系。

圖2

解析:如圖2所示,在時間Δt內,以器壁上面積為S的部分為底、以vΔt為高構成柱體,此柱體內粒子的總數為nSvΔt。此柱體內有的粒子在Δt時間內與器壁上面積為S的器壁發生碰撞,碰撞器壁的粒子數目N=。一個粒子與器壁碰撞一次,器壁給粒子的沖量大小ΔI=2mv,則粒子給面積為S的器壁的沖量大小ΔI'=ΔI=2mv,Δt時間內粒子給器壁的總沖量I=NΔI'=,面積為S的器壁受到粒子的作用力,器壁單位面積所受粒子的壓力

點評:此題中粒子無論向哪個方向運動,做的都是勻速直線運動,因此我們運用動量定理選取的時間Δt可長可短,即不一定是一個極短時間。這與例題中“小水柱”做勻減速直線運動不同,例題中所選的時間段必須很短暫。

拓展2:(機槍連續發射子彈問題)一挺機槍每分鐘連續發射子彈120顆,一顆子彈的質量為50g,子彈從槍膛射出時的速度為1000m/s,則機槍手在射擊時需要用多大的力才能抵住機槍?

解析:設每顆子彈的質量為m,每秒發射子彈n顆,在時間Δt內,機槍發射的子彈的質量Δm=mnΔt,對時間Δt內射出的子彈應用動量定理,取子彈運動的方向為正方向,則FΔt=Δm·v-0,其中F為機槍對子彈的作用力,解得F=mnv=100N。根據牛頓第三定律可知,子彈對機槍的沖力大小是100N,因此機槍手在射擊時也需要用100N的力才能抵住機槍。

點評:子彈連續發射時,機槍和子彈之間持續有作用力。我們一般選取時間Δt內射出的子彈為研究對象,運用動量定理,分析作用力,這樣選取的時間具有一般性、任意性,能夠體現作用力的連續性。有些同學會用一分鐘時間內的120顆子彈為研究對象運用動量定理,這樣求解的作用力不能體現力的持續作用。

跟蹤訓練

1.一股水流以10m/s的速度從噴嘴豎直向上噴出,噴嘴截面積為0.5cm2,有一質量為0.32kg的小球,因受水對其下側的沖擊而停在空中,若水沖擊小球后的速度變為0,則小球停在離噴嘴多高處?(取重力加速度g=10m/s2)

2.將質量為500g的杯子放在臺秤上,一個水龍頭以每秒700g水的流量注入杯中。注至10s末時,臺秤的讀數為78.5N,則注入杯中水流的速度是多大?(取重力加速度g=10m/s2)

3.高壓采煤水槍出水口的橫截面積為S,水的流速為v,水柱沿水平方向垂直地射到煤層上后,速度變為0。若水的密度為ρ,假定水柱的橫截面積不變,則水對煤層的沖擊力是多大?

參考答案:

1.2.952m。

2.5m/s。

3.ρSv2。