在模型驗證中積累探究的活動經驗
——《交換律和結合律》教學賞析

○李海東

幫助學生積累數學活動經驗是課程標準的要求。學生立足于對已有問題的探究，并在問題解決過程中所形成的數學活動經驗就是探究的活動經驗。這種探究活動既有外顯行為的操作活動，也有思維層面的操作活動。學生自學能力強，很多內容往往在教師新授之前就會了。學生如果一上課就能把運算定律或計算公式等模型類的數學知識直接說出來，教師該如何引導他們探究呢？又該如何幫助他們在數學學習過程中積累探究的活動經驗呢？讓我們一起來欣賞著名特級教師劉松的教學藝術吧。

一、初次驗證中形成經驗

師：什么是乘法交換律？用字母如何表示？

生：交換兩個因數的位置，積不變。用字母表示是a×b=b×a。

師：你怎么向別人解釋？

生：我給大家舉例，如2×3=3×2。

師：兩個因數的位置有沒有交換？（交換了）積有沒有變？（沒變）還有其他例子嗎？

生：5×3=3×5。

師：舉例可以證明乘法交換律。數學上證明一個結論的正確，至少要通過兩種不同途徑。除了舉例，還有什么方法解釋嗎？

圖1　

圖2

師：用乘法計算每幅圖中的車輛時，計算結果唯一嗎？計算方法呢？

圖3

生：圖2可以列式為2×5或5×2，都是求一共有多少輛車。

生：圖3可以列式為3×5或5×3，都是求一共有多少輛車。

生：圖1可以列式為1×5或5×1，都是求一共有多少輛車。

師：計算結果的唯一性與計算方法的多樣性，決定了乘法交換律作為一個數學事實的存在。解釋和說明乘法交換律，不僅可以舉例，也可以用平面圖形直觀地表達。

學生學習的過程是一種“再創造”的過程。自學獲得的乘法交換律對他們而言只是猜測。只有經過驗證，猜測才能真正成為模型。學生在舉例驗證中通過不完全歸納初步發現猜測是正確的。但這樣缺乏本質的教學，學生理解往往不夠深刻。因此，劉老師出示三幅圖，引導學生分別計算每幅圖中的車輛，使他們發現計算結果的唯一性與計算方法的多樣性也能驗證猜測。這樣，學生不僅通過簡單的舉例驗證，而且借助圖形用幾何直觀的方法確認了數學事實的存在，從而有效驗證了乘法交換律模型。在第一次模型驗證過程中，學生初步形成了探究的活動經驗——自學獲得的數學模型需要驗證，除了舉例，還可以借助幾何直觀的方法驗證。借助幾何直觀用平面圖形表達，復雜的數學問題變得簡明、形象。

二、再次驗證中強化經驗

師：什么是乘法結合律？用字母如何表示？

生：先乘前兩個數，或者先乘后兩個數，積不變，這叫做乘法結合律。用字母表示是（a×b）×c=a×（b×c）。

師：怎樣證明這個數學事實呢？

生：舉例說明，如（2×3）×5＝2×（3×5）。

生：（25×5）×2＝25×（5×2）。

生：（1×2）×3＝1×（2×3）。

師：三個數相乘，先算前兩個，或先算后兩個，積有沒有改變？

生：運算順序變了，乘積沒變。

師：除了舉例證明，還能用圖形解釋乘法結合律嗎？

師（出示圖4）：立體車庫中共停多少輛車？怎么算？

圖4

生：先算上面一層，再乘3，也就是5×4×3（如圖5）。

圖5　

圖6

生：先算最右邊的一層是4×3，再乘豎著的5層，就知道一共有多少輛車（如圖6）。

師：兩種不同算法，計算結果都表示什么？

生：車庫一共停放多少輛車。

師：兩種不同方法，即使不計算，我們也能確定結果如何？（相等）觀察算式左右兩邊，先乘前兩個數，或先乘后兩個數，積有沒有改變？（沒有）這能解釋乘法結合律的存在嗎？

生：能。

師：多樣的方法指向同一個結果，這就決定了乘法結合律作為一個數學事實的存在。乘法結合律在三維空間內得到了完美解釋。

自學獲得的乘法結合律同樣是猜測，需要驗證。學生舉例驗證后，剛形成的數學活動經驗使他們明白自己還可以用幾何直觀的方法進行驗證。劉老師出示了一幅圖，讓學生用不同方法計算車庫中的汽車數量進行驗證。這樣，學生先后用舉例和幾何直觀的方法驗證了乘法結合律模型。在第二次模型驗證過程中，學生強化了探究的活動經驗——用不同方法驗證，如果殊途同歸，就能確認模型。用幾何直觀的方法進行驗證，不僅使乘法結合律模型在三維空間內得到完美解釋，而且能幫助學生進一步密切數學與生活的聯系。

三、三次驗證中遷移經驗

師（邊說邊板書）：（5×4）×3=5×（4×3）=5×（3×4）=（5×3）×4。我們用交換律和結合律可以得到（5×3）×4，說明計算車庫一共可以停放多少輛車還有第三種方法。想一想，這種方法先算了哪一層？

生：前面一層。

師：棒極了！（教師出示圖7，驗證學生猜想）

圖7

師：乘法有交換律和結合律。乘法是特殊加法，加法有沒有交換律和結合律呢？（有）如果有，加法交換律和結合律怎樣用字母表示？

生：加法交換律是a+b=b+a。

生：加法結合律是（a+b）+c=a+（b+c）。

師：這些結論是否正確，該如何解釋？請用今天的學習方法課后去驗證！

為了幫助學生有效積累數學探究的活動經驗，劉老師先根據乘法交換律和結合律推導出（5×4）×3=（5×3）×4，獲得猜想后，再出示車庫圖，引導學生借助幾何直觀進行驗證，一方面幫助學生遷移應用探究活動經驗，另一方面引導學生發現舉例驗證模型的局限性。在此基礎上，劉老師引導學生猜想加法交換律和結合律。學生嘗試用字母表示的同時，就提出了新的數學猜想。由于課堂時間的限制，學生無法立即驗證，只能到課后完成。學生所形成的探究的活動經驗有助于自己順利完成模型驗證任務。這樣教學，不僅充分培養了學生的模型驗證能力，而且能有效幫助學生積累探究的活動經驗，并且給人一種言猶未盡、余味無窮的感覺。