耦合調和振子網絡系統的分群采樣控制同步

萬明非，張　華,2，葉志勇，楊　偉

(1.重慶理工大學 理學院， 重慶　400054; 2.銅仁學院 大數據學院， 貴州 銅仁　554300)

近年來網絡型調和振子系統的動力學及其協調控制研究由于具有廣泛的應用性已被越來越多的國內外學者重視，其中研究最為廣泛的是調和振子的一致同步算法。通過研究同步算法，人們不僅可以解釋諸如魚類洄游、候鳥遷徙等自然現象[1-2]，還可以很好地研究如移動機器人的協調控制、并行計算機的負載平衡同步等[3-4]。

學者們提出了許多同步算法來研究調和振子。Ren[5]首次給出了調和振子網絡系統的連續時間的耦合模型，在假定網絡拓撲結構具有一棵有向生成樹的條件下，給出了系統達到同步的條件并得到了系統同步態。Ballard[6]將文獻[5]的結果推廣到了離散的情況。Su等[7]利用振子間感應距離的概念，認為振子間距離小于一定范圍時可以進行信息交換，通過建立適當的控制輸入使得每個振子在沒有任何連通假設的情況下仍能達到同步。此外，Zhou等[8-9]在無向網絡結構中研究了脈沖控制型調和振子和采樣控制型調和振子，根據脈沖控制和采樣控制的特性，將系統方程演化為一個混雜型的動力學方程，利用拉普拉斯矩陣的分解分析系統的迭代解，得出了系統的同步態和同步的充要條件。Sun等[10]在不考慮控制缺失的情況下將文獻[9]中的算法擴展到了有向拓撲結構下。Sun等[11]還利用了隨機分析的理論研究了耦合諧振子在耦合時有隨機誤差的情況。Wang等[12]將耦合時的隨機誤差推廣到了脈沖控制協議下，利用均方收斂的概念得到了系統同步的充分條件，還給出了系統的收斂域。

所有這些工作主要集中在一個完整的網絡結構上，且每個網絡是連通的或者是含有一棵有向生成樹。然而，現實世界中系統的拓撲結構無法固定不變，并且每一時刻都能保持網絡連通的條件也十分苛刻，針對這樣的問題，Hong等[13]分析了二階多智能體系統在聯合連通下的領導跟隨同步問題，唐朝君[14]分析了切換拓撲下離散時間多智能體系統的包含控制。還有一類復雜網絡可能由多個子網絡組成，它們的合作任務可能被分成幾個小組，因此，分群同步能夠反應這一本質。在分群同步的研究中，Yu[15]考慮了領導跟隨控制下的線性系統的集群同步化，表明如果每個網絡拓撲結構都有一個生成樹，并且耦合強度足夠大，系統可以實現同步。苗中華等[16]在不確定網絡的歐拉-拉格朗日系統中研究了分群同步，并且考慮了耦合過程中產生的隨機誤差，結果表明：系統在一個自適應的控制輸入下可以實現分群同步。Zhao等[17]針對2種網絡結構研究了脈沖型和連續型調和振子的分群同步。

受到以上工作的啟發，本研究將在有向網絡拓撲結構下考察耦合調和振子網絡系統的分群同步動力學。利用圖論中拉普拉斯矩陣的相關引理以及建立適當的誤差系統，給出了同步的充要條件。結果表明：在采樣周期、耦合強度和拉普拉斯矩陣的非零特征值滿足一定不等式關系時，系統能達成分群同步。

1　基礎知識和模型建立

1.1　符號說明

R和C分別代表實數集和復數集。N表示自然數集。對任意的c∈C，Re(c)、 lm(c)、|c|分別表示c的實部、虛部、和模。Cn×n代表n階復矩陣。On∈Cn×n是n階零矩陣，In∈Cn×n是n階單位矩陣。對一個n階矩陣M∈Cn×n，ρ(M)代表它的譜半徑，λi(M)表示其第i個特征值。

1.2　代數圖論

1.3　模型描述

網絡型調和振子的動力學行為可以表示為如下形式[5]：

(1)

其中：ri(t)，vi(t)∈R分別表示第i個振子的位移和速度；α>0表示振子的頻率；ui(t)表示控制輸入。

考慮如下采樣控制協議：

(2)

并且假設t∈[tk,tk+1)，tk+1-tk≡T，k∈N。

假設1對每個子群l=1,2,…,q，有∑j∈Vlaij=0，其中i=1,2,…,N，且i?Vl。

引理2(Schur-Cohn定理)[19]一個復系數二次多項式F(z)=a2z2+a1z+a0，如果它的Schur-Cohn行列式滿足：Δ1<0，Δ2>0，則該多項式的根分布在單位圓盤內，其中：

(3)

(4)

2　主要結果

對系統(1)的穩定性進行分析，其詳細結果由定理1給出。

定理1當假設1成立時，調和振子系統(1)在控制輸入式(2)下達成分群同步的充要條件是：

(5)

根據引理1做如下變量代換：

e(t)=Cr(t)，s(t)=Cv(t)

則有：

其中：

ei(t)=πir(t),i=1,…,q

…

si(t)=πiri(t)，i=1,…,q

…

(6)

容易看出，方程(6)由下述兩類微分方程構成：

(7)

(8)

令x(t)=UeR(t),y(t)=UsR(t)，則有：

(9)

此系統可以被看成由如下2個子系統構成：

當i=nl+1(l=0,1,…,q)時，有

(10)

當i≠nl+1(l=0,1,…,q)時，有

(11)

這里t∈[tk,tk+1)。方程(10)和(11)表明，如果系統(10)漸近穩定，則系統(11)亦漸近穩定。對方程(10)兩邊從tk到tk+1積分有

(12)

注意到方程(12)是一個離散的線性系統，其穩定的充要條件是ρ(K)<1，下面證明ρ(K)<1，矩陣K的特征多項式為

μλisin(αT)(1-cos(αT))=a2χ2+a1χ+a0=0

根據引理2有：

由

(13)

由

及sin(αT)>0，易知

(Re2(λi)-lm2(λi))-cos2(αT)(Re2(λi)+lm2(λi))+2cos(αT)lm2(λi)+

化簡得

(14)

因為式(13)(14)不等號右邊具有相同的形式，將兩式左端做差可得

故當不等式(14)成立時，不等式(13)亦成立。因此，當且僅當不等式(14)成立時，ρ(K)<1，系統(10)漸近穩定，即系統(1)在控制輸入式(2)下能達成分群同步。

3　實驗仿真

圖1　拓撲結構

調和振子在3個子群中的同步時間歷程見圖2。

圖2　各分群收斂情況(同步時間歷程)

4　結束語

基于采樣控制下的網絡型調和振子模型，分析了系統分群后的一致性問題。利用分群的有向圖的拉普拉斯矩陣性質和Schur-Cohn穩定性判據，求出了系統分群同步的充分條件。最后利用Matlab進行數值模擬，進一步驗證了結果的有效性。

參考文獻：

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