已實現GARCH-GED模型的研究及應用

魏正元，余徳英，李素平

(重慶理工大學 理學院， 重慶　400054)

在風險度量領域，Morgan等提出的風險價值(value at risk，VaR)最受矚目且應用最為廣泛[1]。損失變量的VaR值在概率角度下就是該損失變量的下側分位數, VaR值的計算依賴于損失變量所遵循的概率分布及該分布的標準差(波動率)。在波動率建模方面，最具代表性的應屬Engle、Bollerslev所提出的自回歸條件異方差(autoregressive conditional heteroscedastic,ARCH)、廣義自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroscedastic,GARCH)模型[2-3],該經典模型主要針對的是低頻金融數據,現已取得了非常豐富的研究成果。隨著信息技術的進步,高頻金融數據越來越容易獲得,它比低頻金融數據包含了更多的信息，具有一些低頻金融數據不會呈現的獨特特征，如日歷效應、非同步交易、買賣價差等[4], 因而給經典的GARCH模型的應用帶來了挑戰。在高頻金融數據研究中，Andersen和Bollerslev[5]提出了已實現波動率(realized volatility, RV)，該估計量無模型、計算簡潔，操作性強，并且在一些特定條件下是積分波動率的無偏估計量，受到了國內外學者的廣泛關注。2012年Hansen等[6]將實現波動率并入GARCH結構，建立了已實現GARCH (realized GARCH)模型，由此引發了人們對基于高頻金融數據的GARCH簇模型研究的熱潮。

大量的案例研究和數據分析結果證實,由于離群值的出現造成金融資產的收益率分布呈現出尖峰厚尾特征,這是正態分布不能解釋的現象。而Hansen等所提出的已實現GARCH模型的殘差分布采用的恰是標準正態分布。為了克服Hansen等所提出的已實現GARCH模型的缺陷，國內外諸多學者和市場從業者在該領域進行了探討和研究,如引入t分布、有偏的t分布等刻畫模型的標準化殘差分布[7]，以及引入具有厚尾特性的廣義誤差分布( general error distribution，GED)刻畫殘差分布, 建立了冪次型杠桿函數的已實現GARCH-GED模型。 本文介紹了經典的已實現GARCH模型，然后把經典的已實現GARCH模型的殘差分布拓展為GED，進而將杠桿函數的冪次作為一個待估參數，與模型其他參數一起進行估計，相比經典的已實現GARCH模型的杠桿函數的冪次為2的情況更為一般化。基于5 min的高頻金融數據，應用已實現GARCH-GED模型對上證50指數進行VaR預測和返回測試，并與已實現GARCH模型的結果進行比較。

1　已實現GARCH-GED模型

1.1　已實現GARCH模型

Hansen等提出的已實現GARCH(1, 1)模型如下：

(1)

(2)

其中：pti表示金融資產在第t個交易日內的第i個對數價格；T表示觀測天數；N表示將每天的交易時間分為N個等區間。

1.2　模型的拓展

大量的經驗數據分析表明： 金融資產日收益率序列存在尖峰厚尾現象, 因而經典的已實現GARCH模型(誤差zt為正態分布)在對收益率分布擬合時不夠充分。考慮誤差為GED的厚尾情況，其概率密度函數為

(3)

δ(zt)的設定與收益率的誤差zt的分布相關。王天一等[8]拓展了Hansen等設定的杠桿函數，將δ(zt)函數的冪次放松為一個待估參數，即δ(zt)函數為

(4)

其中d為一個實數。特別的：當d=1時，δ(zt)則為EGARCH模型中的杠桿效應；當d=2時，δ(zt)則為Hansen等所采納的形式。

1.3　參數估計

已實現GARCH模型本質上是一個離散時間的隨機波動率模型, 最大似然估計法不能對其進行參數估計，但是由于波動率“已實現”測度的存在, 已實現GARCH模型可以用最大似然估計(maximum likelihood estimation，MLE)將所有參數一次性估計[9-10]。在給定F0=σ({rt,xt,ht},t≤0)的條件下，已實現GARCH-GED模型的似然函數表達式為

(5)

(6)

(7)

將式 (7)關于θ求偏導并令其為0，可得如下似然方程：

(8)

通過計算得到的似然方程式 (8) 無解析解。R軟件中nlminb函數可以求得函數的最小值，因此想要得到l(θ;rt,xt)的最大值，可以利用R軟件中nlminb函數求-l(θ;rt,xt)的最小值，從而得到各個參數的估計值，然后結合式 (1) 可求出收益率rt最初的條件方差h0，最后再返回式 (1) 即可迭代出ht。

2　模型應用與數據分析

2.1　數據來源及數據概括

采用上證50指數從2016年1月4日—12月30日共244個交易日5 min頻率的高頻數據，每個交易日有49個觀測數據(數據從銳思數據庫www.resset.cn下載)，做對數收益率和已實現波動率時序圖(圖1、2)。從圖1、2可以看出：該收益率序列看起來是平穩且隨機的，同時存在波動聚集等特征，該數據可以使用GARCH族模型來建模。

圖1　日對數收益率時序圖

表1給出了日對數收益率和5 min頻率下的已實現波動率的概要統計量，可以看出:日對數收益率的峰度為6.842 873,存在明顯的超額峰度，且存在顯著的負偏度; J-B統計量為569.511 500,顯著不為0；已實現波動率的峰度也存在明顯的超額峰度，且J-B統計量顯著不為0，初步認為該日對數收益率序列不服從正態分布，殘差分布應該考慮厚尾分布。

2.2　參數估計

利用MLE估計已實現GARCH模型和已實現GARCH-GED模型的參數得到如表2的結果。

由表2可得:兩組模型的參數值較為接近，數值的大小也比較穩定。參數估計值δ1和δ2符號的相反表明一般的金融資產會對正的和負的收益率擾動做出非對稱反應，說明了杠桿函數設置的合理性，反映了市場的杠桿效應。當v=2時，即誤差分布服從正態分布，此時選擇d=2；當誤差項服從廣義誤差分布時，參數d=1.471，小于2，這說明了對冪次放松的必要性。

表1　日對數收益率序列和已實現波動率統計量

表2　已實現GARCH模型和已實現GARCH-GED模型參數估計結果

表3　已實現GARCH-GED模型檢驗結果

2.3　模型的驗證

2.4　VaR 估計及返回測試

VaR指在某一特定時期內，在給定的置信度下，某一金融資產或證券組合的最大可能損失。用α表示概率，則在持有期中一個金融頭寸概率為α的VaR定義為

VaR1-α(L)=inf{x|FL(x)≥1-α}

(9)

其中：inf表示滿足條件的實數x中的最小值；隨機變量L表示一個金融頭寸在某持有期內的損失(空頭的損失為資產收益率，多頭的損失為資產收益率的相反數)；FL(x)為L的累積分布函數；α表示概率水平(α∈(0,1)，常取值為5%或1%)。

VaR是基于模型和損失變量的波動率給出的一個風險價值，其本質上是一個估計值，有必要對其預測能力的有效性進行返回值測試。本研究用Kupiec提出的失敗率檢驗法來檢驗模型的風險預測結果的準確性[11]。如果損失小于VaR值則視為成功，記為1；如果損失大于VaR值則視為失敗，記為0。

觀察到的失敗總次數服從概率為p的二項分布。原假設為H0:p=q，備擇假設為H1:p≠q。q=N/T為失敗率，N為失敗總天數，即實際損失超過VaR值的天數，T為實際考察總天數。Kupiec給出的似然比檢驗LR為

LR=-2ln(qN(1-q)T-N)+2ln(pN(1-p)T-N)

(10)

表4給出兩組模型在兩種概率水平下VaR估計結果的均值和方差。表5給出VaR估計的返回測試結果。

表4　VaR估計的均值和方差

表5　VaR估計結果對比

由表5可知：當α=0.05時，兩組模型的風險度量效果普遍較好，似然比檢驗LR值都比較小，已實現GARCH-GED模型的p值0.932大于已實現GARCH模型的p值0.724，說明已實現GARCH-GED模型度量效果優于已實現GARCH模型，誤差項分布的處理提升了模型的風險度量效果。

當α=0.01時，兩組模型失敗率都較為接近，似然比檢驗LR都比α=0.05時大，但p值都大于0.01不顯著，因此認為估計結果還是有效的，當已實現GARCH-GED模型的p值0.381大于已實現GARCH模型的p值0.245時，已實現GARCH-GED模型度量效果也比已實現GARCH模型好。

綜上，兩組模型在不同概率水平下，已實現GARCH-GED模型的度量效果都比已實現GARCH模型更為精確。

3　結束語

采用GED作為已實現GARCH模型的誤差分布，同時將杠桿函數的冪次放松為一個待估參數的情形，提出了已實現GARCH-GED模型。用MLE對經典的已實現GARCH模型和已實現GARCH-GED模型的參數進行了估計，通過兩組模型參數估計值的比較，發現已實現GARCH-GED模型相對于已實現GARCH模型更能刻畫股票市場中價格波動的杠桿效應。同時對模型進行了充分性檢驗，得到已實現GARCH-GED模型是充分的結論。然后提出了基于已實現GARCH-GED模型的VaR方法，對收益的未來風險價值VaR進行預測，并采用Kupiec失敗率檢驗法通過似然比檢驗LR對風險價值VaR的預測結果進行檢驗，結果表明：已實現GARCH-GED模型能更好地預測上證50指數的收益風險。

參考文獻：

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[2]ENGLE R F.Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation[J].Econometrica,1982,50(4):987-1007.

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[11] KUPIEC P.Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models[J].Social Science Electronic Publishing,1995,3(2):73-84.