導數中的分類討論問題

■河南省鄭州市第七中學高三(13)班　范若聰

數學解題離不開分類討論,導數的應用也是如此。所謂分類討論思想,就是根據所研究對象的性質差異,分各種不同的情況予以分析解決。分類討論題覆蓋知識點較多,利于考查同學們的知識面、數學思想和解題技巧。樹立分類討論思想,應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧,做到“確定對象的全體,明確分類的標準,分層別類不重復、不遺漏地分析討論”。那么,在導數問題中引起分類討論的根源有哪些呢?下面加以分類解析,供同學們參考。

一、參數引起的分類討論

已知函數f(x)=a(x2+1)+lnx。

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若對任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)＞a2成立,求實數m的取值范圍。

綜上,當a≥0時,f(x)在(0,+∞)上是增函數;

(2)由題意,知對任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)＞a2成立,等價于ma-a2＞f(x)max。

由(1)知,當a∈(-4,-2)時,f(x)在[1,3]上是減函數,所以f(x)max=f(1)=2a。

所以ma-a2＞2a,即m＜a+2。

因為a∈(-4,-2),所以-2＜a+2＜0。所以實數m的取值范圍為m≤-2。

評注:由于參數a不同的取值影響到極值點是否存在,所以必須分類討論。

二、判別式引起的分類討論

表1

故減區間為(-∞,x1),(x2,0),增區間為(x1,x2),g(x)有兩個極值點x1,x2。

故減區間為(-∞,-4),增區間為(-4,0),g(x)有一個極值點x=-4。

評注:當求極值點時涉及含參數的二次方程,必須通過對判別式Δ的討論,來確定極值點是否存在和極值點的個數。

三、二次函數對稱軸與給定區間引起的分類討論

設h(x)=4x2+4(1-a)x+1-4a,其對稱軸為

綜上知,實數a的取值范圍是a≤0。

評注:當把導數的單調性問題轉化為含參二次函數恒大于零或恒小于零問題時,往往要通過討論二次函數的對稱軸的位置來確定二次函數的值在定義域內的正負。

四、極值點與給定區間引起的分類討論

已知函數f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a＜0。

(1)當a=-4時,求f(x)的單調遞增區間;

(2)若f(x)在區間[1,4]上的最小值為8,求a的值。

綜上有a=-10。

評注:由于極值點是否在給定的區間上,直接制約著函數在給定區間上的單調性,所以必須對極值點是否在給定的區間上進行分類討論。

五、單調性不確定引起的分類討論

(2)若函數f(x)在[-1,1]上為單調函數,求實數a的取值范圍。

令f'(x)=0,得ex=1或ex=2,即x=0或x=ln2。

令f'(x)＞0,則x＜0或x＞ln2;令f'(x)＜0,則0＜x＜ln2。

所以f(x)的增區間是(-∞,0],[ln2,+∞),減區間是(0,ln2)。

當t∈(2,e]時,h'(t)＞0,函數h(t)為單調增函數。

由于函數f(x)在[-1,1]上為單調函數,則:

評注:第(2)小題沒有明確函數f(x)在[-1,1]上為單調增函數還是單調減函數,故需分類討論。解答本題的關鍵是利用導數與單調性的關系將問題轉化為不等式的恒成立問題,進而通過分離參數將不等式的恒成立問題轉化為求函數的最值問題來處理。

本文最后提醒大家,在新課標高考數學命題中,對函數與導數的考查往往以綜合題的形式出現在壓軸題中,試題中的函數往往含有參數,這類試題不僅僅考查函數與導數的相關知識,更是考查分類討論思想的靈活運用,望能引起同學們的高度重視。