極值點偏移問題破解策略

■甘肅省秦安縣第二中學　羅文軍

一、極值點偏移的概念

1.極值點不偏移

已知函數y=f(x)是連續函數,在區間(x1,x2)上有且只有一個極值點x0,且f(x1)=f(x2),若極值點左右的“增減速度”相同,,我們稱這種狀態為“極值點不偏移”(如圖1)。

2.極值點偏移

已知函數y=f(x)是連續函數,在區間(x1,x2)上有且只有一個極值點x0(即y=f(x)為單峰函數),且f(x1)=f(x2),若極值點左右的“增減速度”不同,函數的圖像不具有對稱性,常有極的情況,我們稱這種狀態為“極值點偏移”(如圖2)。

圖1

圖2

二、解題策略

1.比值(差值)代換

運用比值(差值)代換法不需要討論所給函數的單調性,也不需要求出參數的取值范圍,而是直接根據題意列出方程,然后結合分析法消去參數,得出只含有x1和x2的等式或者不等式,最后通過比值(差值)代換,構造新函數,證明不等式。

(甘肅省蘭州第一中學2018屆高三第一次模擬試題)

(1)討論函數f(x)的單調性;

①當a≤0時,f'(x)＞0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

②當a＞0時,解f'(x)＞0得x＞a,解f'(x)＜0得0＜x＜a。所以f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增。

綜上,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;當a＞0時,f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增。

(2)f(x)=b有兩個不相等的實數根x1,x2,不妨設0＜x1＜x2。

點評:本題第一問考查了利用導數研究含參函數的單調性問題,運用了分類討論的思想方法;第二問利用導數研究函數的極值點偏移問題,運用了比值代換法。

(2017年福建省八校適應性考試)已知函數f(x)=x-aex(a∈R,e為自然對數的底數),若函數f(x)有兩個不同的零點x1,x2,求證:x1+x2＞2。

證明：函數f(x)有兩個不同的零點x1,x2,所以x1=aex1,x2=aex2。

記h(t)=(t-2)et+t+2(t＞0),則h'(t)=(t-1)et+1。

記m(t)=(t-1)et+1,則m'(t)=tet。當t＞0時,m'(t)＞0,m(t)＞m(0)=0,h'(t)＞0,h(t)＞h(0)=0。

故(t-2)et+t+2＞0成立,x1+x2＞2。

點評:本題解法運用了差值代換法,沒有討論所給函數的單調性,也沒有求出參數a的取值范圍,而是直接根據題意列出兩個方程,然后對兩個方程相加減,并結合分析法消去參數得出只含有x1,x2的不等式,最后通過差值代換,構造新函數,再二次求導,證明不等式。

對于極值點偏移問題,如果原函數的解析式中含有lnx,那么通常考慮用比值代換法;如果原函數的解析式中含有ex,那么可以考慮用差值代換法。

2.構造差函數法

構造差函數破解函數極值點的偏移問題的基本步驟為:

(1)求出函數f(x)的極值點x0。

(2)構造一元差函數F(x)=f(x)-f(2x0-x);

(3)對差函數F(x)求導,判斷其導數的符號,確定F(x)的單調性;

(4)結合F(x0)=0,判斷F(x)的符號;

(5)由f(x1)=f(x2)＞f(2x0-x1)(或＜f(2x0-x1),結合f(x)的單調性得到x2＞(或＜)2x0-x1,從而確定＜)x0。

(2017年河北省石家莊市二檢)已知函數f(x)=xlnx+x2-ax+2,其中a∈R,若f(x)有兩個零點x1,x2,求證:x1+x2＞2。

令g'(x)=0,得x=1或-2(舍去)。

當0＜x＜1時,g'(x)＜0,當x＞1時,g'(x)＞0。

故g(x)在(0,1)上為減函數,在(1,+∞)上為增函數,x=1為g(x)的極小值點。

若f(x)有兩個零點x1,x2,不妨設x1＜x2,則0＜x1＜1＜x2。

當x∈(0,1)時,G'(x)＜0,G(x)單調遞減,G(x)＞G(1)=0。

g(x2)=g(x1)＞g(2-x1),所以x2＞2-x1,即x1+x2＞2。

點評:本題屬于導數中的極值點偏移問題,由于對函數f(x)的解析式求導后不好操作,并且函數f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)的解析式中提取x后,構造新函數g(x),f(x)與g(x)有共同零點,再運用構造差函數法進行破解。

3.對數平均不等式法

兩個正數a和b的對數平均值定義:

對數平均值與算術平均值、幾何平均值的大小關系為:當a＞0,b＞0時,有 ab≤L(僅當a=b時,取“=”),這個不等式鏈叫對數平均不等式。可以利用這個不等式鏈破解極值點的偏移問題。

函數f(x)=m(x-1)-ln2x-1,當m＞1時,方程f(x)=0的兩根為x1,x2,且x1≠x2。證明:x1+x2＞1+

證明：由題意知m(x1-1)-ln2x1-1=0。①

點評:本題屬于導數中的極值點偏移問題,利用對數平均不等式可順利解決。

從理論上來說,以上三類方法都是破解極值點偏移問題的通法,但不同題目,選取不同方法的煩瑣程度不同,具體題目中選取哪一種方法,同學們要根據具體問題具體分析。