2018年全國高考數學考綱關鍵詞解讀及預測分析（3）
——函數與導數

■北京市第十二中學高中部 高慧明

一、函數概念與基本初等函數中的關鍵詞——函數、指數函數、對數函數、冪函數

1.函數。

(1)會求一些簡單函數的定義域和值域;了解映射的概念。

(2)在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖像法、列表法、解析法)表示函數。

(3)能理解簡單的分段函數(函數分段不超過三段)。

(4)理解函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義;了解函數奇偶性的含義。

(5)會運用基本初等函數的圖像分析函數的性質。

2.指數函數。

(1)理解有理指數冪的含義,掌握冪的運算法則。

(2)理解指數函數的概念及其單調性,掌握指數函數圖像通過的特殊點,會畫底數為的指數函數的圖像。

3.對數函數。

(1)理解對數的概念及其運算性質,知道用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數。

(2)理解對數函數的概念及其單調性,掌握對數函數圖像通過的特殊點,會畫底數為的對數函數的圖像。

4.冪函數。

5.函數與方程。

結合二次函數的圖像,了解函數的零點與方程根的聯系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個數。

6.函數模型及其應用。

了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用。

解讀：如同談論釣魚島先談其主權歸屬問題一樣,“函數”問題優先考慮定義域,定義域隱含在與函數有關的每一道考題中,成為考生解題過程中的“影子殺手”。分段函數與函數的奇偶性、單調性、零點、解不等式等問題的綜合成為近幾年高考命題的熱點,解決此類問題要注意數形結合、轉化與劃歸等思想方法的綜合應用。

分析函數性質的時候,命題者往往是將函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性等進行綜合考查,對于數形結合這么好用的工具,千萬要熟練掌握。指數函數的圖像和性質往往與其他知識相結合綜合命題,不要忘記其底數對函數單調性的影響。要注意對數的運算與化簡問題,特別是換底公式與冪的對數的運算。

定義域成為對數函數的一塊“心病”!基本的對數函數的圖像要會畫,這是利用數形結合方法解題的基本功,當然也不要忽視底數對單調性的影響。對冪函數應注意其圖像的變化特征。零點是高考命題的熱點,函數的零點與函數的性質、函數的極值等相結合,背景多樣化,常以方程的根、兩函數圖像的交點等形式出現,要注意轉化。研究分段函數的時候,尤其要注意它的單調性的分析,要充分利用函數圖像進行性質分析。

二、導數及其應用中的關鍵詞——導數的幾何意義、求導法則、單調性

(1)通過函數圖像直觀理解導數的幾何意義。

(2)能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數,能求簡單復合函數(僅限于形如f(ax+b)的復合函數)的導數。

(3)能利用導數研究函數的單調性,會求函數的單調區間(其中多項式函數不超過三次)。

(4)會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數不超過三次);會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數不超過三次)。

(5)會用導數解決某些實際問題。

解讀：在通過函數圖像直觀理解導數的幾何意義時,切記“函數圖像上某點處切線的斜率為該點的導數值”。基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則是求解函數的導數的重要依據,一定要準確記憶,熟練靈活應用。能求簡單的復合函數的導數,說明復合函數中的內函數僅限于一次函數,其他就超出考綱要求了。“函數單調性和導數的關系”雖為了解,但后面提出的“能利用導數研究函數的單調性”才是高考命題的重點,而且大多涉及含參函數的單調性!會用導數求函數的極值與最值,“會”這個字的要求并不低,不要忽視!定積分的要求為“了解”,但在高考中常考,所以不僅要了解,而且要會求,還要會用!

導數綜合問題對考生能力層次要求比較高。首先,要熟練掌握常見函數的導數及求導運算法則;其次,要對最值、極值、極值點的概念能明確進行辨析。求函數的極小值時,僅僅有f'(x0)=0并不足以說明x0是極小值點,需要說明函數的單調性。在導數問題中,需要涉及分類討論的思想方法,是高中數學知識的一個難點。

命題預測：全國卷對函數與導數的命題：2～3個小題,1個大題,客觀題主要以考查函數的基本性質、函數圖像及變換、函數零點、導數的幾何意義、定積分等為主,也有可能與不等式等知識綜合考查,全國卷近幾年在選擇、填空題部分強化了對導數函數問題的研究,強調導數研究函數的性態這一特征(強調對特征值、特征線的認識),綜合性較強;對于由指數函數、對數函數與冪函數的積、商構成的函數,其函數性質、圖像走勢構成解決問題的基礎,對此同學們應該掌握;解答題主要是以導數為工具解決函數、方程、不等式等的應用問題。

例1已知函數f'(x)為函數f(x)的導函數。

(1)當a=1時,求函數f(x)的極小值;

(2)當a≥0時,求函數g(x)=f'(x)·x2-(2a+1)x的單調區間。

解析：(1)當a=1時

若f'(x)=0,得x=1。

當0＜x＜1時,x2＜1,lnx＜0,所以x2+lnx-1＜0,即f'(x)＜0,所以f(x)單調遞減;

當x＞1時,x2＞1,lnx＞0,所以x2+lnx-1＞0,即f'(x)＞0,所以f(x)單調遞增。

所以函數f(x)的極小值為f(1)=0。

(2)g(x)=f'(x)·x2-(2a+1)x=ax2+lnx-1-(2a+1)x,則

之后對a進行分類討論即可。

例2已知函數f(x)=(x-2)ex+ax2+bx,x=1是f(x)的一個極值點。

(1)若x=1是f(x)的唯一極值點,求實數a的取值范圍;

(2)討論f(x)的單調性;

(3)若存在正數x0,使得f(x0)＜a,求實數a的取值范圍。

解析：(1)f'(x)=(x-1)ex+2ax+b,因為x=1是極值點,所以f'(1)=0,得2a+b=0,即b=-2a。

因為x=1是唯一的極值點,所以ex+2a≥0恒成立或ex+2a≤0恒成立。

由ex+2a≥0恒成立得2a≥-ex,又ex＞0,所以a≥0;

由ex+2a≤0恒成立得2a≤-ex,而-ex不存在最小值,所以ex+2a≤0不可能恒成立。

綜上可得a≥0。

(2)由(1)知,若a≥0,則當x＜1時,f'(x)＜0;當x＞1時,f'(x)＞0。

所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增。

當x＜ln(-2a)時,f'(x)＞0;當ln(-2a)＜x＜1時,f'(x)＜0;當x＞1時,f'(x)＞0。

所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(1,+∞)上單調遞增,在(ln(-2a),1)上單調遞減。

(3)當a≥0時,f(1)=-e-a＜a,滿足題意。

故a的取值范圍為或a＞-2。

例3已知定義在正實數集上的函數其中a＞0。設兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點,且在該點處的切線相同。

(1)用a表示b,并求b的最大值;

(2)求證：f(x)≥g(x)(x＞0)。

解析：(1)設兩曲線的公共點為(x0,y0),

由題意知f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),即

當t(1-3lnt)＞0,即時,h'(t)＞0;當t(1-3lnt)＜0,即時,h'(t)＜0。

故h(t)在上為增函數,在上為減函數。

所以h(t)在(0,+∞)上的最大值為即b的最大值為

所以F(x)在(0,a)上為減函數,在(a,+∞)上為增函數。

所以F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0。

故當x＞0時,有f(x)-g(x)≥0,即當x＞0時,f(x)≥g(x)。

注意：(1)利用導數解不等式,一般可構造函數,利用已知條件確定函數單調性解不等式。

(2)證明不等式f(x)＜g(x),可構造函數F(x)=f(x)-g(x),利用導數求F(x)的值域,從而得到F(x)＜0即可。

(3)利用導數研究不等式恒成立問題,首先要構造函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍;也可分離變量,構造函數,直接把問題轉化為函數的最值問題。

例4已知函數f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為-2。

(1)求a;

(2)證明：當k＜1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點。

解析：(1)由已知可得f'(x)=3x2-6x+a,所以f'(0)=a,所以曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=ax+2。

(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2。

設g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4。

由題設知1-k＞0,當x≤0時,g'(x)=3x2-6x+1-k＞0,g(x)單調遞增。

因為g(-1)=k-1＜0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一實根。

當x＞0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x＞h(x)。

因為h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以h(x)在(0,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增。

所以g(x)＞h(x)≥h(2)=0。

所以g(x)=0在(0,+∞)上沒有實根。

綜上,g(x)=0在R上有唯一實根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點。

注意：研究方程根的情況,可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等,根據題目要求,畫出函數圖像,研究其走勢及規律,標明函數極(最)值的位置,通過數形結合的思想去分析問題,可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現。

總結：(1)利用導數的方法證明不等式f(x)＞g(x)時,找到函數h(x)=f(x)-g(x)的零點是解題的突破口。

(2)在討論方程的根的個數、研究函數圖像與x軸(或某直線)的交點個數、不等式恒成立等問題時,常常需要求出其中參數的取值范圍,這類問題的實質就是函數的單調性與函數的極(最)值的應用。

(3)在實際問題中,如果函數在區間內只有一個極值點,那么只要根據實際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點的函數值進行比較。

提醒：(1)利用導數解決恒成立問題時,若分離參數后得到“a＜f(x)恒成立”,要根據f(x)的值確定a的范圍中端點能否取到。

(2)利用導數解決實際生活中的優化問題,要注意問題的實際意義。

【同步練習】

(1)求證：f(x)的圖像關于點M(a,-1)對稱;

(2)若f(x)≥-2x在x≥a上恒成立,求實數a的取值范圍。

2.已知函數f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的導函數f'(x)為偶函數,且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為4-c。

(1)確定a,b的值;

(2)若f(x)有極值,求c的取值范圍。

3.已知函數在x=1處的切線方程為

(1)求a,b的值;

(2)當x＞0且x≠1時,求證：f(x)＞

【參考答案】

1.(1)設f(x)的圖像上任一點為P(x,y),則關于點M(a,-1)的對稱點為P'(2a-x,-2-y),則

說明點P'(2a-x,-2-y)也在函數y=f(x)的圖像上。

故f(x)的圖像關于點M(a,-1)對稱。

(2)由f(x)≥-2x,化簡為(2x)2+2a·2x-2·2a≥0在x≥a上恒成立。

令t=2x≥2a,則g(t)=t2+2a·t-2·2a≥0恒成立,因為y=g(t)的對稱軸為x=所以y=g(t)在[2a,+∞)上遞增,所以g(2a)≥0,解得a≥0。

2.(1)f'(x)=2ae2x+2be-2x-c。

因為f'(x)為偶函數,所以f'(-x)=f'(x)恒成立,即2ae-2x+2be2x-c=2ae2x+2be-2x-c,得a=b。

因為曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為4-c,所以f'(0)=2a+2bc=4-c,得a=b=1。

(2)由f(x)有極值知f'(x)=2e2x+存在零點,即y=2(e2x)2-c·e2x+2存在零點。

記t=e2x＞0,則上式可寫為y=2t2-c·t+2(t＞0)。

當x∈(0,1-ln2)時,F″(x)＜0,故F'(x)在(0,1-ln2)上為減函數;

當x∈(1-ln2,+∞)時,F″(x)＞0,故F'(x)在(1-ln2,+∞)上為增函數。

圖1

因此,對一切x∈(0,+∞),有F(x)≥F(1)=0,即在(0,+∞)上都成立。

又G(1)=0,所以當0＜x＜1時,G(x)＜0,即所以當x＞1時,G(x)＞0,即lnx-,所以