導數九類熱點問題剖析

■河南省洛陽市第一高級中學 閆雍恒

高考中的導數主要圍繞“利用導數求曲線的切線、確定單調區間 、求極值和最值、求參數范圍,以及用導數研究函數零點和解決與函數有關的不等式”等熱點問題展開,彰顯導數的工具性和應用性。

剖析1——利用導數的幾何意義探究曲線的切線問題

例1(2018年貴州貴陽高三8月摸底)已知函數f(x)=xn-xn+1(n∈N*),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線與y軸的交點的縱坐標為bn,則數列{bn}的通項公式為____。

解析：依據導數的幾何意義按部就班求出在切點處的切線方程,對函數求導可得f'(x)=nxn-1-(n+1)xn,則f'(2)=n×2n-1-(n+1)×2n=(-n-2)×2n-1,且f(2)=2n-2n+1=-2n,曲線在點(2,f(2))處的切線方程為y+2n=(-n-2)×2n-1×(x-2)。令x=0 可得y=(2n+2)×2n-1=(n+1)2n,則數列{bn}的通項公式為bn=(n+1)2n。

提煉：設P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點,則以P為切點的切線方程為yy0=f'(x0)(x-x0)。若曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線平行于y軸(即導數不存在)時,由切線定義知,切線方程為x=x0。謹記,有切點直接代入切點,沒切點設切點,建立方程組求切點。

剖析2——由切線之間的關系構造函數求最值或參數范圍問題

例2(江西撫州七校2017屆高三上學期聯考)已知函數f(x)=的圖像上存在不同的兩點A,B,使得曲線y=f(x)在這兩點處的切線重合,則實數a的取值范圍是( )。

解析：分段函數分類求導,設切點確定切線方程,由切線重合溝通切點之間的關系。當x＜0時,f'(x)=2x+1;當x＞0時,設A(x,y),B(x,y)且1122x1＜x2。當x1＜x2＜0或0＜x1＜x2時,f'(x1)≠f'(x2),故x1＜0＜x2,當x1＜0時,函數f(x)在點A(x1,y1)處的切線方程為y-(x21+x1+a)=(2x1+1)(x-x1),即y=(2x1+1)x-x21+a;當x2＞0時,函數f(x)在點B(x2,y2)處的切線方程為,即兩切線重合的充要條件是且(0,1),消去x得1令則構造函數則g'(t)=所以g'(t)在上單調遞減,在上單調遞增。又g'(0)＜0,g'(1)＜0,所以在(0,1)上g'(x)＜0,所以g(x)在(0,1)上單調遞減,所以,即故選C。

提煉：通過“分段函數的切線滿足關系或兩曲線在一點處有公切線”來探究參數的取值范圍,常常“設而不求”,利用“在切點處的導數值相等且在該點處的函數值也相等”的條件,溝通切點的橫坐標之間的關系,再降元換元化歸為輔助函數的值域求解,凸顯導數的幾何意義的 “溝通作用”和導數的工具性,以及函數方程和等價轉化思想的靈活應用。

剖析3——導數法判斷或研究函數的單調性

例3(江蘇南京2017屆高三調研)已知函數f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R。

(1)當a=b=1時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)當b=2a+1時,討論函數f(x)的單調性。

解析：(1)由導數的幾何意義易求切線方程為2x-y-2=0。

(2)當b=2a+1時,可得f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,從而

若a≤0,當x∈(0,1)時,f'(x)＞0,當x∈(1,+∞)時,f'(x)＜0,所以f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減。

提煉：導數法研究函數單調性→求定義域→求導數f'(x)→求f'(x)=0在定義域內的根→用求得的根劃分定義區間→確定f'(x)在各個開區間內的符號→得相應開區間上的單調性。題設中含有參數時,求解方程f'(x)=0的根導致分類討論,分類依據導函數不等式形式正確確定→最高項系數與0的大小關系→ 兩根大小等。注意單調區間是定義域的子集,單調性相同的兩個區間一般要用“和”或“,”連接。

剖析4——利用導數研究函數的極值等有關問題

例4(湖北荊州2017屆高三上學期第一次質量)已知函數為自然對數的底數。

(1)當a＞0時,試求f(x)的單調區間;

解析：(1)借助題設條件運用導數求解。函數的定義域為

當a＞0時,對于x∈(0,+∞),有ex+ax＞0恒成立。若x＞1,f'(x)＞0,若0＜x＜1,f'(x)＜0,所以f(x)的單調增區間為(1,+∞),單調減區間為(0,1)。

(2)依據題設進行轉化,構造函數運用導數知識探求。由條件可知f'(x)=0,在上有三個不同的根,即ex+ax=0在上有兩個不同的根,且a≠-e。令,則所以上單調遞增,在x∈(1,2)上單調遞減。所以g(x)的最大值為而所以

提煉：函數y=f(x)在x=x0處取極值的充要條件應為：(1)f'(x0)=0,(2)在x=x0左右兩側的導數值的符號相反。從解題規范性角度出發,要求類似問題最后都要進行檢驗。本題第(2)問則通過構造函數運用求導法則及數形結合,分析推證建立不等式,使得問題獲解,要學會這種研究函數極值的思維方法。

剖析5——用導數研究函數在閉區間上的最值問題

例5(2017年山西三區八校二模)已知函數f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b為常數且a≠0)在x=1處取得極值。

(1)當a=1時,求f(x)的單調區間;(2)若f(x)在(0,e]上的最大值為1,求a的值。

解析：(1)因為f(x)=lnx+ax2+bx,所以

因為函數f(x)=lnx+ax2+bx在x=1處取得極值,所以f'(1)=1+2a+b=0。

當a=1時

由f'(x)＞0,得;由

故函數f(x)的單調遞增區間為,單調遞減區間為

(2)借助導函數的根和對稱軸合理分類確定最大值的位置。因為f'(1)=1+2a+b=0,所以b=-(2a+1),所以

令f'(x)=0,解得

因為f(x)在x=1處取得極值,所以

提煉：求函數在閉區間[a,b]上的最值,先求導研究函數的單調性,若函數在該區間上單調,則兩端點的值即為最值,若在區間上有極值,比較極值與兩端點的函數值即可求其最值。若由f'(x)不能判斷函數的單調性,這時需要二次求導,構造h(x)=f'(x),再求函數h'(x)的零點,此時h'(x)非負或非正恒成立來確定函數h(x)的單調性,根據單調性求最值,從而判斷f(x)的單調性,求得最值。

剖析6——利用導數研究函數零點有關問題

例6(山西運城2017屆高三上學期期中)已知函數f(x)=lnx-mx(m∈R)。

(1)若曲線y=f(x)過點P(1,-1),求曲線y=f(x)在點P處的切線方程;

(2)若函數f(x)有兩個不同的零點x1,x2,求證：x1x2＞e2。

解析：(1)因為點P(1,-1)在曲線y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1。

(2)不妨設x1＞x2＞0,因為f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2)。

要證明x1x2＞e2,即證明lnx1+lnx2＞2,也就是m(x1+x2)＞2。

所以f(t)＞f(1)=0,即成立,所以原不等式成立。

提煉：解決與函數零點有關的不等式證明問題,可以利用零點所滿足方程變形溝通轉化為同一個參數的函數,然后構造函數,利用導數求其最小值來證明,其中零點的溝通作用和利用所證不等式的結構特征變形構建函數是求解的關鍵。

剖析7——利用導數研究函數單調性進而證明不等式問題

例7(2018年山東濟南高三摸底)已知函數

(1)若f(x)在區間(-∞,2)上為單調遞增函數,求實數a的取值范圍;

(2)若a=0,x0＜1,設直線y=g(x)為函數f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證：f(x)≤g(x)。

解析：(1)易得函數的導數為,由已知得f'(x)≥0對x∈(-∞,2)恒成立,則x≤1-a對x∈(-∞,2)恒成立,所以1-a≥2,所以a≤-1。

故實數a的取值范圍為(-∞,-1]。

(2)由于a=0,則

函數f(x)的圖像在x=x0處的切線方程為

設φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈R,則φ'(x)=-ex0-(1-x0)ex。

因為x0＜1,所以φ'(x)＜0,所以φ(x)在R上單調遞減。

而φ(x0)=0,所以當x＜x0時,φ(x)＞0,當x＞x0時,φ(x)＜0。

所以當x＜x0時,h'(x)＞0,當x＞x0時,h'(x)＜0。

所以h(x)在區間(-∞,x0)上為增函數,在區間(x0,+∞)上為減函數。

所以x∈R時,恒有h(x)≤h(x0)=0,故f(x)≤g(x)。

提煉：利用導數證明不等式的關鍵在于構造函數。若證明f(x)＜g(x),x∈(a,b),可以構造函數F(x)=f(x)-g(x),若F'(x)＜0,則F(x)在(a,b)上是減函數。同時,若F(a)≤0,由減函數的定義可知,x∈(a,b)時,有F(x)＜0,即證明了f(x)＜g(x)。

剖析8——構造輔助函數用導數研究單調性解函數不等式或比大小問題

例8(湖北荊州2017屆高三上學期第一次質量檢測)設函數f(x)在R上存在導函數f'(x),對任意的實數x都有f(x)=4x2-f(-x),當x∈(-∞,0)時若-2m2,則實數m的取值范圍是____。

解析：由已知條件令F(x)=f(x)-2x2,則,則函數F(x)在x∈(-∞,0)上單調遞減;由f(x)=4x2-f(-x),則F(-x)+F(x)=f(-x)+f(x)-4x2=0,即F(-x)=-F(x),故F(x)是奇函數且在R上單調遞減,則不等式f(m+1)-2(m+1)2≤f(-m)-2m2轉化為F(m+1)≤F(-m),由函數的單調性可得

提煉：求解抽象函數不等式或比大小問題,反饋題設結構特征,構造輔助函數,由題設和導數法則逆用確定輔助函數的單調性和奇偶性,進而合理轉化應用單調性求解。本題構造函數F(x)=f(x)-2x2,用題設研究其奇偶性,進而確定其在R上的單調性,使問題簡單化。

剖析9——利用導數證明數列和不等式問題

例9(江西新余第一中學2017屆高三調研)已知函數f(x)=a(x2-1)-lnx。

(Ⅰ)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

解析：(Ⅰ)由已知得

(1)當a≤0時,f'(x)＜0,所以f(x)在[1,+∞)上單調遞減,所以當x＞1時,f(x)＜f(1)=0,與f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立矛盾。

(2)當a＞0時,由f'(x)＞0,得;由f'(x)＜0,得0＜