聚焦函數與導數的交匯創新問題

■河南省淮陽中學 魏于涵

導數與函數的工具性決定著其應用的廣泛性,在函數與導數交匯處設計創新試題,是高考中一道亮麗的風景線,本文聚焦函數與導數交匯創新問題中的“構造法”。

聚焦1——構建直線和曲線相切的條件求最值

例1(河南百校聯盟2018屆高三11月質檢)已知函數f(x)=-f'(0)ex+2x,點P為曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線l上的一點,點Q在曲線y=ex上,則|PQ|的最小值為____。

解析：由f(x)=-f'(0)ex+2x求導得f'(x)=-f'(0)ex+2,賦值有f'(0)=-f'(0)e0+2,解得f'(0)=1,則f(x)=-ex+2x,f(0)=-e0+0=-1,則在點(0,f(0))處的切線l：y=x-1。因為y=ex的導數為y'=ex,在點Q處的切線與l平行時,距離最短。由ex=1,可得x=0,即切點Q(0,1),則點Q到切線l的距離為,則|PQ|的最小值為

提煉：求曲線上的點和曲線外的直線上兩點之間距離的最小值,可以構建在曲線上某一點處的切線與直線平行,轉化為兩平行線間的距離,利用導數的幾何意義確定切點進而求最值。

聚焦2——構造輔助函數求解抽象函數不等式或比較大小

例2(湖北荊州2018屆高三第一次質檢)設函數f(x)在R上存在導函數f'(x),對任意的實數x都有f(x)=4x2-f(-x),當x∈(-∞,0)時4x。若f(m+1)＜f(-m)+4m+2,則實數m的取值范圍是。

解析：令F(x)=f(x)-2x2,則F'(x)=f'(x)-4x。又則則函數F(x)=f(x)-2x2在x∈(-∞,0)上單調遞減。因f(x)=4x2-f(-x),則F(-x)+F(x)=f(-x)+f(x)-4x2=0,即F(-x)=-F(x),故F(x)=f(x)-2x2是奇函數。則不等式f(m+1)＜f(-m)+4m+2可化為F(m+1)≤F(-m),由函數的單調性可得m+1≥-m,即

提煉：解抽象函數不等式問題,關鍵在于依據題設構造輔助函數研究其單調性和奇偶性,本題構造函數,求導判斷單調性,將不等式f(m+1)＜f(-m)+4m+2合理轉化。

聚焦3——構造輔助函數求解方程根或函數零點的問題

例3(河北石家莊2018屆高三上學期第一次質檢)若存在正實數m,使得關于x的方程x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0有兩個不同的根,其中e為自然對數的底數,則實數a的取值范圍是____。

解析：當a=0時,方程只有一個解,不滿足題意,所以a≠0,所以原方程有兩個不同的根等價于方程有兩個不同的根。令則2(2e-t)lnt。設f(t)=2(2e-t)lnt,則當t＞e時,f'(t)＜0。當1＜t＜e時,f'(t)＞0。所以f(t)在(e,+∞)上單調遞減,在(1,e)上單調遞增,所以f(t)≤f(e)=2e,且1＜t＜e時,f(t)＞0,當t→+∞時,f(t)→-∞,所以要使2(2e-t)lnt存在兩解,則需a＞0,所以2e且a＞0,即所以a的取值范圍為

提煉：將方程根的問題合理轉化為兩函數圖像之間的關系問題,分離參數構建輔助函數,利用導數研究其函數圖像的變化趨勢,構建函數值所滿足的不等式組求解參數范圍,其中構建函數利用導數研究區間上的最值及圖像是關鍵,求解后注意進行驗證。

聚焦4——構造輔助函數求解不等式恒成立或能成立問題

例4(云南省師范大學附屬中學2018屆高三高考適應性月考)已知函數

(1)求f(x)的單調區間;

解析：(1)函數f(x)的定義域為(-1,由于f'(0)=0,令g(x則g(x)在(-1,+∞)上是減函數,所以當-1＜x＜0時,f'(x)＞0;當x＞0時,f'(x)＜0。所以f(x)的單調遞增區間為(-1,0),單調遞減區間為(0,+∞)。

提煉：解決含參不等式的恒成立或能成立問題,首先研究參數前面函數的值域,然后分離參數構造輔助函數,利用導數研究新函數的單調性求出最值,進而得出相應的含參不等式滿足的關系解出取值范圍。當參數求不出時直接把問題轉化為函數的最值滿足的關系式求解。

聚焦5——構造輔助函數求證關于數列和的不等式問題

例5(廣西貴港2018屆高三上學期12月聯考)已知函數(1+a)x,其中a＜1。(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)證明：對任意x∈N*時

解析：

①若a≤0,當0＜x＜1時,f'(x)＜0,當x＞1時,f'(x)＞0。所以f(x)的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(0,1)。

②若0＜a＜1,當a＜x＜1時,f'(x)＜0,當0＜x＜a或x＞1時,f'(x)＞0。所以f(x)的單調遞增區間為(0,a),(1,+∞),單調遞減區間為(a,1)。

提煉：對于有關數列和的不等式的證明,正確發現規律,借助前問結論特殊賦值,對通項適當地放縮是求解的關鍵。