函數與導數綜合應用專題測試卷B參考答案

一、選擇題

1.A 2.C 3.A 4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.A 10.D 11.B 12.B 13.B 14.B 15.C 16.A 17.B 18.A 19.B 20.A 21.A 22.A 23.D 24.C 25.B 26.B 27.B

二、填空題

三、解答題

42.(1)由已知得f'(x)=ex-2ax。

由題設得f'(1)=e-2a=b,f(1)=ea=b+1,解得a=1,b=e-2。

(2)由(1)知f(x)=ex-x2,所以f'(x)=ex-2x,f″(x)=ex-2。

所以f'(x)在(0,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增。

所以f'(x)≥f'(ln2)=2-2ln2＞0,所以f(x)在[0,1]上單調遞增。

所以f(x)max=f(1)=e-1。

(3)因為f(0)=1,由(2)知,f(x)過點(1,e-1),且y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-2)x+1,故可猜測：當x＞0,且x≠1時,f(x)的圖像恒在切線y=(e-2)x+1的上方。

證明：當x＞0時,f(x)≥(e-2)x+1。

設g(x)=f(x)-(e-2)x+1,x＞0,則g'(x)=ex-2x-(e-2),g″(x)=ex-2。

由(2)知,g'(x)在(0,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增。

因為g'(0)=3-e＞0,g'(1)=0,0＜ln2＜1,所以g'(ln2)＜0。

所以,存在x0∈(0,1),使得g'(x)=0。

所以,當x∈(0,x0)∪(1,+∞)時,g'(x)＞0;當x∈(x0,1)時,g'(x)＜0。

故g(x)在(0,x0)和(1,+∞)上單調遞增,在(x0,1)上單調遞減。

因為g(0)=g(1)=0,所以g(x)=exx2-(e-2)x-1≥0,當且僅當x=1時取等號,故

由(2)知ex≥x+1,故x≥ln(x+1),所以x-1≥lnx,當且僅當x=1時取等號,所以,即,得 ex+(2-e)x-1≥xlnx+x,即ex+(1-e)x-1-xlnx≥0成立,當x=1時,等號成立。

所以f(x)的單調增區間為(e32,+∞),單調減區間為(2)令,則

當x∈[e,+∞)時,f(x)≤0,所以y=存在以(x,g(x))為切點,斜率為6的00切線。

因為x＞0,a≠1,所以,當a＞1時,f'(x)＞0恒成立;當a＜1時,f'(x)＞0?x∈(0,1-a),f'(x)＜0?x∈(1-a,+∞)。

所以,當a＞1時,單增區間為(0,+∞),無單減區間;當a＜1時,單增區間為(0,1-a),單減區間為(1-a,+∞)。

(2)由(1)知,當f(x)在(1,2)上增時,1-a≥2或a＞1即可,得a≤-1或a＞1。

45.(1)f'(x)=3x2+2ax+b,則f(-1)=a-b+c-1,f'(-1)=-2a+b+3,故切線方程是y=(3-2a+b)x+(-a+c+2)。

又因為切線方程是y=-5x+5,所以

故f(x)在[-3,-2)上遞增,在上遞減,在上遞增。

由f,故y=f(x)在[-3,2]上的最小值是,最大值是f(-2)=13。

46.(1)由題意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x)。

(2)由f(x)-g(x)＞0,得f(x)＞g(x),即loga(x+1)＞loga(4-2x)。①

當a＞1時,由①可得x+1＞4-2x,解得x＞1,又-1＜x＜2,所以1＜x＜2;

當0＜a＜1時,由①可得x+1＜4-2x,解得x＜1,又-1＜x＜2,所以-1＜x＜1。

綜上所述：當a＞1時,x的取值范圍是(1,2);當0＜a＜1時,x的取值范圍是(-1,1)。

47.(1)因為拋物線y=2x2-4x+a的開口向上,對稱軸為x=1,所以函數f(x)在(-∞,1]上單調遞減,在[1,+∞)單調遞增。

因為函數f(x)在[-1,2m]上不單調,所以2m＞1,即

所以實數m的取值范圍為

(2)①因為f(1)=g(1),所以-2+a=0,所以實數a的值為2。

(2)依題意知f(x)為偶函數,故f(-x)=f(x),即即,即在上恒成立,所以

(3)由(2)可知f(x)=log2(1+x)+log2(1-x)=log2(1-x2),所以g(x)=x2+x-1-2t,它的圖像的對稱軸為直線

依題意知g(x)在(-1,1)內有兩個不同的零點,只需,解得

所以實數t的取值范圍是

49.(1)設(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變為C上的點(x,y)。

不妨設P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點坐標為,所以所求直線的斜率,于是所求直線方程為

化為極坐標方程,并整理得2ρcosθ-,即

平方相加得(x+4)2+(y-3)2=1。

(2)由已知得P點坐標為(-4,4),設Q點坐標為(8cosθ,3sinθ),則M點坐標為

又直線的普通方程為x-2y-7=0,所以M到直線的距離為