參數(shù)方程經(jīng)典題突破方法

■河南省許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉 龍

坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一,高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程,二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用。尤其是直線、圓、橢圓的極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用出現(xiàn)頻率最高,在極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的交匯中突出化歸思想與方程思想的考查。

一、極徑ρ的幾何意義的應(yīng)用

例1在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25。

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;

(2)直線l的參數(shù)方程是為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,求l的斜率。

解析：(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcosθ+11=0。

(2)解法1：由直線l的參數(shù)方程消參可得y=x·tanα。

設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為kx-y=0。

由圓C的方程(x+6)2+y2=25,可知圓心坐標(biāo)為(-6,0),半徑為5。

又|AB|=10,由垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式得即解得即l的斜率為

解法2：在第(1)問建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R)。

設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別是ρ1,ρ2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosα+11=0,所以ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11。

所以直線l的斜率為

評(píng)注：曲線的極坐標(biāo)方程問題需要熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互換公式,還要求能夠理解極徑的幾何意義,巧用極徑的幾何意義可以使解題過程由復(fù)雜變?yōu)楹唵巍?/p>

二、直線參數(shù)方程中t的幾何意義的應(yīng)用

例2已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ。以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))。

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且求直線l的傾斜角α的值。

解析：(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ,其直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4。

(2)把直線l的參數(shù)方程(t是參數(shù)),代入圓C的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化簡得t2-2tcosα-3=0。

設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1,t2,則t1+t2=2cosα,t1t2=-3。

評(píng)注：應(yīng)用直線的參數(shù)方程時(shí),一定要注意直線參數(shù)方程是否為標(biāo)準(zhǔn)形式,即是參數(shù),是直線的傾斜α角,再確定t的幾何意義。

三、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

例3在直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,并取與直角坐標(biāo)系相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ。

(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若P,Q分別是曲線C1和C2上的任意一點(diǎn),求|PQ|的最小值。

解析：(1)對(duì)于曲線C,有1即,故曲線C1的普通方程為

因?yàn)棣?cosθ,所以x2+y2=x,即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為

(3)設(shè)P(2cosα,2sinα),由(1)可知圓心

評(píng)注：在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會(huì)使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解。