函數圖像在解題中的應用

■河南省許昌高級中學 張文龍

函數圖像在高中函數學習中的運用其實是非常普遍的,其目的主要是提高解題速度和解題的準確性。本文主要就筆者的切身經驗談談函數圖像在解題中的幾種應用。

題型一：在集合問題中的應用

例1若集合M=,集合N=且則b的取值范圍為。

解析：若(x,y)滿足集合,則賦予幾何意義后可知,點(x,y)在半圓x2+y2=9(0＜y≤1)上移動,問題轉化為：直線y=x+b與半圓x2+y2=9(0＜y≤1)有公共點。

集合M表示以3為半徑的圓在x軸上方的部分,集合N則表示一條直線,其斜率k=1,縱截距為b,如圖1所示。欲使M∩N≠?,即直線y=x+b與半圓有公共點,由圖形可知,b的最小逼近值是-3,最大值是

圖1

評注：將代數形式的解析式賦予幾何意義,利用函數圖像的性質來解決代數問題,這是數形結合的一個重要體現,在解題中應注意適當使用。

題型二：在方程問題中的應用

例2已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數k的取值范圍是( )。

C.(1,2) D.(2,+∞)

解析：畫出f(x)=|x-2|+1的圖像,如圖2所示。

由圖可知,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則函數g(x)與f(x)的圖像應有兩個不同的交點。

圖2

函數y=kx的圖像恒過坐標原點,斜率為k。由圖2可知,當1＜k＜1時,兩函數圖2像有兩個交點,即方程有兩個不等的實根。故選B。

評注：此類方程解的個數或函數的零點個數問題可利用函數的單調性或轉化為兩個函數圖像的交點個數,然后根據圖像的直觀性得到結果。所以能熟練并精準地作出常見函數的圖像是解題的關鍵。

題型三：在有關函數性質問題中的應用

例3用min{a,b,c}表示a,b,c三個數中的最小值。設f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大值為( )。

A.4 B.5 C.6 D.7

解析：令2x=x+2?x1＜0(舍)或x2=2。

令2x=10-x,即2x+x=10,則2＜x＜3。

可知f(x)的大致圖像如圖3中的實線所示,即f(x)≤6。故選C。

評注：數形結合的思想就是用“形”的直觀來反映“數”的性 質,同 時,用“數”的簡練來展現“形”中的性質。對于求函數的最值問題,利用數形結合去解決,把數量關系轉化為相應的圖形關系,使問題得到快速解答。

圖3

題型四：在不等式問題中的應用

例4設f(x)=x2-2ax+2,當x∈[-1,+∞)時,f(x)＞a恒成立,求a的取值范圍。

解法1：由f(x)＞a在[-1,+∞)上恒成立?x2-2ax+2-a＞0在[-1,+∞)上恒成立。

考查函數g(x)=x2-2ax+2-a的圖像在[-1,+∞)上的兩種情況,如圖4和圖5所示。

圖4

圖5

綜上所述：a∈(-3,1)。

解法2：由f(x)＞a?x2+2＞a(2x+1),令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個數函數的圖像。

圖6

如圖6,滿足條件的直線l位于l1與l2之間,而直線l1、l2對應的a值(即直線的斜率)分別為1,-3,故a的取值范圍為(-3,1)。

評注：解決含參數的不等式問題,常利用參數分離、構造函數等方法,把握數形結合思想,借助于圖像的直觀性和函數的性質尋求突破,得出所滿足的關系式。

其實函數圖像在高中數學解題中的應用是非常廣泛的。有時候它能夠有效地提升我們的解題速度,但前提是同學們必須掌握各種函數的基本性質,對于函數的相關模型要有充分的理解。這就需要同學們多做相關的習題進行針對性的練習,平時要多加思考。