采用壓縮感知的貝葉斯信道估計算法

呂治國， 李　穎

(1. 西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071;2. 洛陽理工學院 計算機與信息工程學院，河南 洛陽 471003)

高階多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)系統[1]在發射端和接收端配置大量的天線，可有效提高能量效率，改善數據傳輸的可靠性．為了恢復信道中傳輸的數據信號，接收端必須估計信道狀態信息(Channel State Information，CSI)．如果發射端需要進行預編碼，則接收端還需要把估計的CSI反饋給發射端．通常情況下，發射端發射導頻信號，接收端根據收到的導頻信號估計信道．為了區分不同發射天線的導頻信號，不同發射天線的導頻序列需要兩兩正交，因此，導頻序列的長度不能小于發射天線的數目．由于高階MIMO系統天線數量巨大，在信道相干時間有限的條件下，無法提供足夠數量的正交導頻序列．因此，如何用較短的非正交導頻序列估計高階MIMO信道則成為一個熱點問題．傳統的信道模型認為信道衰減系數都是服從獨立高斯分布的隨機變量，但在很多情況下無線信道都表現出稀疏特性[2-3]，即信道的很多元素數值非常小，可以近似為零．近年來，一些研究者引入壓縮感知技術[4-6]，利用信道稀疏特性完成基于非正交短導頻序列的信道估計．

文獻[7-8]采用基于壓縮感知的匹配追蹤(Matching Pursuit，MP)算法和正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法來估計稀疏信道，降低了導頻序列長度．文獻[9]提出另一種基于壓縮感知的信道估計算法，利用信道在角度域上的稀疏特性，通過選擇合適的預編碼和合并矢量估計特定到達角和出發角上的信道信息．文獻[10]把一位模數轉換器輸出的數據反饋給發射端，發射端根據這些反饋數據估計信道并設計預編碼和合并矢量．上述算法有一個共同的缺點，若在估計過程中選擇了錯誤的原子(測量矩陣列向量)，則后續的估計過程就無法糾正這個錯誤．文獻[11]引入了一種回溯機制，使已經入選的原子在后續的迭代運算中能夠被剔除．文獻[12]把這種回溯思想應用到稀疏信道估計中，通過不斷篩選支撐集中的位置元素來降低選錯的概率．文獻[13]提出的支持不可知的貝葉斯匹配追蹤(Support Agnostic Bayesian Matching Pursuit，SABMP)算法采用信道的數學期望作為信道估計值來提高估計精度．但在確定每個稀疏度的最佳支撐集時，需要計算并比較所有支撐集的發生概率，使算法過于復雜．

在以上算法的基礎上，筆者提出了期望修剪匹配追蹤(Expectation Prune Matching Pursuit，EPMP)算法．對于每一個稀疏度，首先通過選擇與觀測矢量(或殘差)內積值較大原子所在位置組成支撐集；然后對各個稀疏度的支撐集進行檢驗，糾正支撐集中選錯的位置元素；最后對各個稀疏度支撐集對應信道估計值求概率平均，并作為最終的信道估計值．算法復雜度分析和仿真結果表明，同SABMP算法相比，EPMP算法能在保證估計精度的前提下降低計算復雜度．

1　信道模型

1.1　稀疏信號模型

一個稀疏信號矢量可以表示為

h=ha⊙hb,

(1)

其中，h是一個N長的稀疏信號列矢量；⊙表示哈達瑪乘積；ha是長度為N的列矢量，矢量中的每一個元素都是服從某種分布的隨機變量；hb是長度為N的隨機變量列矢量，其中每一個元素都服從參數為p1的伯努利分布．信道稀疏的含義是指h中很多元素為零，即p1的取值很小．在這里ha中元素的具體分布以及信道稀疏性的波動都不影響后面所介紹算法的有效性．如果實際信號不是稀疏的，則可以通過稀疏字典轉換為稀疏的形式．常用的稀疏字典可以是離散傅里葉變換矩陣、離散余弦變換矩陣和K奇異值分解矩陣[14]．文中僅考慮已經具有稀疏形式的信號．

根據壓縮感知理論，即使在有噪的環境下，通過構造合適的測量矩陣，高維稀疏矢量h也可以通過低維測量信號y重構，即

y=Φh+n,

(2)

其中，n表示噪聲；M×N維測量矩陣Φ滿足有限等間距性質，且M

1.2　高階MIMO系統

考慮一個發射端和接收端分別配置P和Q根天線的高階MIMO系統，系統發射信號和接收信號之間的關系可以表示為

Y=ΨH+W,

(3)

其中，H是一個P×Q維矩陣，表示信道矩陣；Ψ=[ψ(1)，…，ψ(L)]，是一個Lp×P維矩陣，表示導頻矩陣，ψ(i)代表所有P根發射天線在i時刻發射的 1×P導頻向量，Lp是導頻序列的長度；W是一個Lp×Q維矩陣，表示加性高斯白噪聲．矩陣W中的每一個元素都是服從均值為0、方差為σ2的高斯變量．

對H進行矢量化處理，即每次取出H中的一列，依次堆積構成一個QP×1 列矢量；對接收矩陣Y和噪聲矩陣W也進行相同的處理，則收到的信號列矢量可以表示為

vec(Y)=(IQ?Ψ) vec(H)+vec(W)=Φh+vec(W),

(4)

其中，vec(·)表示矢量化處理；IQ表示Q階單位陣，?表示張量積，Φ=(IQ?Ψ)，表示測量矩陣．由于高階MIMO信道矩陣可以轉換為矢量形式，且矢量形式的信道估計過程更容易敘述，所以文中僅討論式(4)矢量形式的信道估計問題．

2　信道估計算法

2.1　基本概念

定義1稀疏度．一個稀疏矢量信號中非零元素的個數稱之為稀疏信號的稀疏度，用k表示．

定義2支撐集．一個k稀疏信號非零元素所在位置的集合稱之為支撐集，用sk表示．

定義3最佳支撐集．發生概率最大的支撐集稱之為最佳支撐集．

定義4殘差．用k個原子線性組合得到的合成信號與測量信號之間的差稱之為殘差，即

(5)

2.2　EPMP算法

EPMP算法詳細描述如下: 當k=1時，計算每一個原子和接收信號的內積，對這些內積值按照從大到小順序排列，將最大內積值所對應的位置元素放入集合s1．采用最小二乘(Least Squares，LS)算法計算s1對應信道的估計值:

(6)

并由式(5)計算殘差R1．

通過迭代運算，可以在sk和Rk基礎上計算得到sk+1和Rk+1．重復迭代運算可以獲得kmax個稀疏度的最佳支撐集和各個最佳支撐集對應信道的估計值，kmax表示稀疏度可以取到的最大值．

針對每個稀疏度得到最佳支撐集后，根據文獻[13]的結論，按照下式計算這些最佳支撐集的發生概率對數值:

計算各個最佳支撐集發生的相對概率為

(8)

其中，ev為數學期望．最后，用

(9)

計算信道的數學期望，并作為最后的信道估計值．

EPMP算法的核心在于支撐集的迭代運算．假設稀疏度為k時的最佳支撐集sk和殘差Rk已經得到，可按照如下步驟計算sk+1和Rk+1:

迭代運算偽代碼由函數Reselects(Φ，y，k，Rk，Sk，imax)表示，其中函數 [svalue，spos]= maxk(z，k)，表示把矢量z中模值最大的k個數保留，其余位置全部置零，得到新矢量svalue以及新矢量svalue的支撐集spos．

EPMP算法的運算步驟如下：

Function Reselects(Φ，y，k，Rk，Sk，imax)

inputΦ，y，k，Rk，Sk，imax

z=ΦHRk;

[svalue，spos]=maxk(z，k+1);

itera=1;

while (itera

[svalue，spos]=maxk(z，k+1);

break;

else

end if

itera=itera+1;

end while}

outputSk+1，Rk+1，hk+1．

與SABMP算法相比，EPMP算法主要進行了兩個方面的改進：

(1) 選擇最佳支撐集．在SABMP算法中，sk是在sk-1基礎上再添加一個位置元素組成的．添加的位置元素需要搜索集合sk-1以外的所有位置元素，并根據式(7)分別計算添加了新元素后支撐集的發生概率并比較大小，發生概率最大的支撐集就是sk．對于每一個k，需要多次利用式(7)確定最佳支撐集，并計算其發生概率．它的計算量隨著sk中元素個數增加而急劇變大．為了降低計算量，EPMP算法通過計算各個原子和Rk-1的內積，把獲得最大內積值的原子所處位置與sk-1合并，得到sk，即

(10)

再用式(7)計算sk的發生概率，從而降低尋找sk的計算復雜度．

(2) 計算信道期望．由于噪聲和其他因素的影響，選擇的支撐集可能不是真正的最佳支撐集．為了減小誤選對估計性能的影響，SABMP算法在同一個k下考慮T種不同的支撐集．根據發生概率的大小，選擇T個互不相同的支撐集，并保留各自的發生概率．這些支撐集對應信道估計值全部參與了最終信道期望的運算，導致算法復雜度增加為原來的T倍．EPMP算法對各個k下的最佳支撐集進行檢驗，在sk中添加新的位置元素，使支撐集中的元素個數多于當前稀疏度k．然后從中再選擇一個k元素支撐集，并通過比較這兩個k元素支撐集所對應的殘差信號范數的大小，來確定新的支撐集是否更可靠．由于最佳支撐集得到了檢驗，因此EPMP算法中同一個k只需要一個sk，降低了信道期望的運算量．

2.3　復雜度分析

各種算法的理論復雜度在表1中給出比較，實際運算時間也進行了對比．仿真所用電腦處理器型號為Intel I5-4590，主頻為 3.3 GHz，OMP、MP、SABMP和EPMP算法運算時間分別為 9.09 s、0.04 s、63.67 s 和 47.98 s．從理論分析和實際仿真可以看出，同SABMP算法比較，EPMP算法具有更低的算法復雜度．

表1　不同算法的計算復雜度比較

3　仿真結果

仿真參數設置如下: 發射天線數目P=64，接收天線數目Q=16，等效信道矢量長度N= 1 024，觀測值個數M= 256，非零概率p1= 0.02，SABMP重復計算次數T=8，所有算法迭代次數相同．為了從直觀上觀測估計信道和真實信道的接近程度，圖1分別給出了采用EPMP算法估計信道和真實信道的實部和虛部．通過比較可以看出，無論是非零元素的位置，還是非零元素的數值，估計信道和真實信道都是非常接近的．

為了對估計信道和真實信道接近程度給出一個定量的衡量標準，論文采用均方誤差作為估計精確度的度量，定義如下:

(11)

為了觀測導頻序列長度對EPMP算法信道估計性能的影響，圖3給出了不同導頻序列長度在不同信噪比下的NMSE性能．從圖3可以看出，序列長度越長，信道估計越精確，但信息傳輸效率越低．因此實際通信系統可以在信道估計準確性和信息傳輸效率之間尋找平衡．

圖1 EMPM算法估計信道和真實信道比較圖2 不同算法均方誤差性能比較

圖3 導頻長度對EPMP算法性能的影響圖4 不同算法的誤比特率性能比較

圖4給出了不同信道估計算法的誤比特率(Bit Error Rate，BER)性能比較．發射天線數目P= 64，接收天線數目Q=4，信道元素非零概率p1= 0.2，調制方式采用十六進制正交振幅調制(16-ary Quadrature Amplitude Modulation，16QAM)，采用碼率為0.5的卷積碼作為信道編碼，譯碼采用維特比算法．從圖4中可以看出，EPMP算法獲得了比OMP算法更低的BER，基本和高復雜度的SABMP算法的BER曲線重合．接收端完美估計信道衰落系數情況下的BER性能曲線也被給出作為一個下界．從圖4可以看到，各種實際估計算法的BER曲線和下界都有較大差距，這是由于相對于加性高斯白噪聲，信道衰落系數對系統BER性能的影響更大．

4　結 束 語

文中提出了一種改進的基于壓縮感知的EPMP信道估計算法．該算法利用了信道的稀疏特性，可以在相同條件下降低導頻序列長度．針對SABMP算法復雜度高的問題，EPMP算法改進支撐集搜索方案，減少了最佳支撐集的重復計算次數．為了不降低估計精度，EPMP算法對入選最佳支撐集的位置元素進行檢驗，剔除選錯的位置元素，采用貝葉斯估計算法的思想，計算信道期望并將它作為最終的信道估計值．通過比較EPMP算法和其他各種算法在不同信噪比條件下估計誤差性能和誤比特率性能，驗證了EPMP算法可以在保證估計精度的前提下降低計算復雜度的特性．

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