多站雷達功率分配自修正凸松弛算法

馮涵哲， 嚴俊坤， 劉宏偉

(1. 西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071;2. 西安電子科技大學 信息感知技術協同創新中心，陜西 西安 710071)

在實際中，由于雷達平臺的負載、能源等有限，多站分布式雷達系統在對目標進行定位時發射機總功率會受到相應的限制．近年來，已經有越來越多的學者開始研究如何使多站分布式雷達系統在有限資源約束下獲取更好的目標定位跟蹤性能和更長的工作時間[1-9]．功率分配是該類問題的一個重要子類，已得到國內外廣泛研究[1，6-7，10-11]．功率分配在多個領域均有廣泛應用．例如，在通信領域，對站點不足的區域，將距離信源較近的幾個基站進行合理的資源優化，可以使有限的基站承擔更多的通訊任務; 在互聯網傳輸領域，由于每根網線傳輸速率有限，且不同服務器對所下載資料的貢獻度不同，通過對距離較近的幾個服務器資源進行分配，可提升下載速度．

多站分布式雷達功率分配最常見的方法是在其發射總功率恒定的前提下，通過調整各站的功率分布來提升目標定位精度．該方法可通過多種優化算法[1，6-7，10-11]快速獲取優化結果．在多站分布式雷達背景下，文獻[4，12]率先提出了針對目標定位的數學模型，并采用了凸松弛算法和域分解方法(Domain Decomposition Methods，DDM)對該模型進行優化．凸松弛算法操作簡單，速度快，可直接通過CVX優化軟件包得到解，編程方便，故目前非常流行．然而，凸松弛后模型的最優解與原問題模型實際最優結果之間存在一定的間隙，會引起額外誤差．其中，間隙的大小、高度依賴于凸松弛參數的設定．而域分解方法則采用了一種類似于窮舉搜索的貪婪算法的方法進行求解．該方法雖能準確求得最優解，但需花費大量時間進行優化．

針對上述兩種算法所存在的缺陷，筆者在凸松弛算法的基礎上提出了一種自修正的凸松弛算法．該方法首先采用傳統的凸松弛模塊對代價函數進行優化；然后，將所得到的結果進行處理，自修正凸松弛參數，經過多次迭代，逐步逼近域分解方法可以得到的理論最優解；最后，對提出的算法和已有的算法進行了有針對性的仿真實驗，驗證該算法在實際應用背景下的快速性和有效性．

1　數學模型

1.1　目標定位誤差的克拉美羅界

如果噪聲是方差為σω的高斯獨立同分布，那么待估計變量u的誤差先驗條件概率密度函數可寫為[13]

(1)

待估計變量u的著名費舍爾信息矩陣可表示為[14]

J(u)=E{[lnf(r|u)] [lnf(r|u)]H}．

(2)

式(2)代表似然函數梯度的協方差矩陣，可以導出克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound，CRLB)．

在文中，可調變量為多站分布式雷達系統各個發射站的發射功率pm，它們組成的矢量p= [p1，…，pM]．由于克拉美羅下界代表目標定位精度的下界，可以將其作為目標定位精度的衡量尺度．因此，現有工作大多將克拉美羅下界用作功率分配的代價函數[4-5]．在多站分布式雷達對目標定位時，誤差的克拉美羅下界與費舍爾信息矩陣密切相關聯，可表示為[5]

(3)

其中，J(u)是待估計變量u的費舍爾信息矩陣，tr(·)是矩陣的求跡運算．式(3)中，b= (d+e)，而A=deT-qqT． 其中，d= [d1，…，dM]T，e= [e1，…，eM]T和q= [q1，…，qM]T[15]:

1.2　功率分配的優化問題和凸松弛后的優化問題

一旦得到了克拉美羅下界的函數表達式(3)，在總功率和單部雷達最大最小功率約束下，功率分配的優化模型可表示為

(7)

其中，IM=[1，1，…，1]T，是M×1矢量；Pmax和Pmin分別為每部發射雷達工作時的最大額定功率和最小待機功率．式(7)中約束是凸的，但目標函數是非凸非線性函數．因此，在優化過程中需要非線性搜索且可能存在局部最小點，求解難度較大．采用凸松弛技術[16]可以簡化以上目標函數．

從式(7)的分式形式代價函數可以看出，其分子是線性函數，分母是凸二次型函數．通過將比值性的代價函數凸松弛為加性代價函數，可使其變為凸函數．凸松弛后，優化式(7)變為

(8)

其中，η是預先設定的自修正參數值．式(8)是典型的凸二次規劃，采用CVX優化軟件包來求解十分方便．

2　自修正凸松弛算法

從原理上來講，自修正凸松弛算法就是在凸松弛算法的基礎上，引入修正變量，對凸松弛參數進行校正來降低凸松弛引入的額外誤差．該文以優化式(8)為基礎，多次反饋修正參數以逼近最優解．

從式(4)～式(6)可發現，系統定位目標的精度與雷達的發射功率、距離方位信息以及目標的雷達散射截面等都有關． 式(8)是凸松弛為凸問題的優化模型，可以直接采用現今廣泛使用的CVX優化軟件包對其直接求解[5]．該算法的優點是求解過程簡單，但凸松弛會引入額外誤差．自修正凸松弛算法在凸優化的基礎上引入了一種反饋校正的策略修正凸松弛引入的額外誤差，具體算法如下．

自修正凸松弛算法的求解過程:

(2) 使用CVX優化軟件包來求解式(8)的問題，得到凸松弛后優化結果pout．

(4) 若|η1-η0|≤ε，(收斂條件取ε=10-8)，則停止迭代; 否則，令η0=η1，返回(2)，進行下一次的搜索循環．

總的來說，由上述算法可以快速簡便地獲取多站分布式雷達系統定位過程近似最優的資源分配方式．在模塊化優化過程的同時，有效地減少了凸松弛帶來的額外誤差．

3　實驗結果分析

為了驗證筆者提出的算法在多基地雷達對目標定位的背景下能夠有效、快速地修正凸松弛帶來的額外誤差，逼近最優功率分配，針對多站分布式雷達系統設計了一種目標定位仿真場景．將筆者提出的算法與凸松弛算法和域分解方法進行比較來驗證其有效性．為簡化仿真，實驗中假設各部雷達發射參數相同，如表1所示．

表1　雷達發射信號參數

3.1　目標定位背景下不同算法優化性能比較

現有功率分配優化方法，如凸松弛算法和域分解方法[5]都存在缺陷．凸松弛算法求出的結果與實際最優解存在一定的額外誤差;域分解方法采用的是一種貪婪算法，優化需要大量的計算時間．為了方便與這些算法進行性能對比，這里設計一種對目標聯合定位的實驗場景，通過該仿真來驗證自修正凸松弛算法的優越性．圖1給出了目標與雷達的空間位置分布示意圖．

圖1 收發共置雷達與目標的空間位置關系圖2 多種密切相關算法獲得的結果對比

圖3　多種算法計算時間對比

在不同的功率條件下，設定凸松弛參數η均為10．圖2給出多種優化算法得出的定位精度．圖2中的結果與理論分析一致，域分解方法能夠獲得最優的定位精度; 凸松弛算法因額外誤差的引入只得到較差的定位精度; 修正凸松弛算法則能夠有效地修正凸松弛帶來的誤差．值得注意的是，在大多數情況下，第1次修正明顯減少了額外誤差;在此之后的修正對額外誤差的減少并不明顯．圖3給出了幾種優化算法優化過程所需要的時間．從圖2和圖3中可以看出，自修正凸松弛算法因為修正過程要進行多次(2至3次)凸優化，所以計算時間相比已有凸松弛算法的要長，但還是遠小于域分解方法所需的計算時間．因此，自修正凸松弛算法以少量計算時間的增加獲得更好的性能．

3.2　不同凸松弛參數自修正凸松弛算法優化性能比較

為了顯示凸松弛算法對凸松弛參數的高度依賴性，設計了如下實驗，所有發射信號參數與表1相同，發射站、接收站和目標位置分布如圖1所示．

該實驗中，在不同凸松弛參數η0的條件下，比較了凸松弛算法對性能帶來的損失以及修正后的效果．圖4為η0取10條件下，采用凸松弛算法、域分解方法和自修正凸松弛算法分別獲得的優化結果．圖5為η0取1條件下，采用凸松弛算法、域分解方法和自修正凸松弛算法分別獲得的優化結果．比較圖4與圖5可以看出，在參數為1的條件下，凸松弛算法性能損失遠大于參數為10條件下進行的凸松弛算法．相應地 ， 在參數為1的條件下 ， 進行修正改進效果更加明顯．

圖4 凸松弛參數設定為10時,優化結果對比圖5 凸松弛參數設定為1時,優化結果對比

該實驗驗證了凸松弛算法的性能損失高度依賴于凸松弛參數的設定，自修正凸松弛算法能夠自適應地找到最優的凸松弛參數．

4　結 束 語

在多站分布式雷達系統下，筆者提出了一種可以采用CVX優化軟件包的目標定位功率分配的自修正凸松弛算法．該算法能根據分布式組網雷達系統各部雷達的發射參數，在功率有限等約束下快速獲取更好的定位性能．具體工作方式是在各個時刻，將功率盡可能地分配給優勢雷達以對現有目標進行更好的定位．與傳統的功率分配算法相比，筆者提出的算法優勢如下:可以使用CVX優化軟件包進行求解，便于軟件編程和工程實際操作;通過反饋來修正凸松弛參數，有效地降低了凸松弛時引入的額外誤差，優化結果接近最優結果．未來，將繼續改進自修正凸松弛算法，并推廣應用于分布式雷達目標跟蹤檢測等問題．

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