空間薄膜天線索膜結(jié)構(gòu)建模與形狀優(yōu)化

曹　鵬， 保　宏， 杜敬利， 彭福軍

(1. 西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室，陜西 西安 710071;2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201108)

在衛(wèi)星通信、地球觀測及深空探測等領(lǐng)域，可展開天線是必不可少的關(guān)鍵設(shè)備[1-2]．平面薄膜天線收納比大、質(zhì)量輕、加工成本低，是空間天線結(jié)構(gòu)的研究熱點之一．其中，天線精度是結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要指標(biāo)，而薄膜邊界形狀對膜面應(yīng)力分布及膜面精度有著重要影響[3]，已成為平面薄膜天線的重要研究內(nèi)容．

由于平面薄膜天線在邊界處存在索膜滑移現(xiàn)象，所以建模時不容忽略．文獻(xiàn)[4]在對一種新型薄膜材料進(jìn)行張拉分析時，將邊界處張拉帶與薄膜采用相同單元劃分并共享節(jié)點，該方法使邊界變形更加協(xié)調(diào)，但實際是對邊界進(jìn)行簡化處理，并未解決滑移問題．文獻(xiàn)[5]基于索膜滑移過程中節(jié)點索力連續(xù)及全局索力平衡關(guān)系建立了滑移索單元與滑移膜單元，但僅得到靜力平衡結(jié)果，無法模擬索段滑移的運動過程．文獻(xiàn)[6]采用動力松弛法建立了一種滑移索單元，但未考慮索膜間的摩擦力因素．文獻(xiàn)[7]將連續(xù)索離散成質(zhì)點集合，并基于質(zhì)點運動的牛頓第二定律，推導(dǎo)了滑移索單元的內(nèi)力公式．文獻(xiàn)[8]根據(jù)滑移索拉力與長度之比的變化推導(dǎo)了索段的滑移剛度．但上述研究著重考慮索段與支點之間的切點變化，未考慮索段與支點的滑移穩(wěn)定問題．

針對薄膜邊界形狀如何確定的問題，學(xué)者主要研究了拋物線、圓弧及橢圓等特定形狀．文獻(xiàn)[9]對圓弧邊界薄膜施加雙軸等值拉力，發(fā)現(xiàn)膜面應(yīng)力分布較為理想，可有效避免褶皺產(chǎn)生．文獻(xiàn)[10]認(rèn)為當(dāng)膜面處于雙軸等值應(yīng)力狀態(tài)時，褶皺出現(xiàn)的可能性最小，并基于張力場理論證明了薄膜在雙軸等值應(yīng)力狀態(tài)下形成的邊界曲線為圓弧．文獻(xiàn)[11]分別對薄膜施加一定張拉力及熱載荷進(jìn)行實驗，發(fā)現(xiàn)薄膜邊界褶皺區(qū)域近似為橢圓，因此認(rèn)為將橢圓形褶皺區(qū)域裁剪掉，便可得到理想薄膜邊界．類似地，文獻(xiàn)[12]也通過大量張拉實驗總結(jié)出薄膜邊界褶皺區(qū)域裁剪曲線的經(jīng)驗公式．但上述研究主觀性較強，缺少理論證明，難以應(yīng)用到實際工程中．文獻(xiàn)[13]采用橢圓曲線建立薄膜初始邊界，通過對應(yīng)力集中區(qū)的曲線進(jìn)行修正來減少膜面變形．文獻(xiàn)[14]中針對圓弧形邊界薄膜分析了在一定壓力條件下，薄膜的固有頻率與邊界幾何參數(shù)之間的關(guān)系，認(rèn)為當(dāng)邊界形狀致使薄膜面積減少時，薄膜的固有頻率增加．

目前對薄膜邊界形狀的研究存在兩點不足: 首先，內(nèi)懸索與薄膜在建模時按理想化處理，將邊界處索元與膜元共享節(jié)點，簡化誤差較大; 其次，對薄膜邊界形狀的研究均針對特定形狀展開，如拋物線、圓弧、橢圓等，具有很大的局限性，且當(dāng)特定形狀薄膜受張拉后，邊界發(fā)生變形，與預(yù)設(shè)形狀不一致，將對結(jié)構(gòu)分析帶來一定誤差．針對以上問題，筆者考慮了索膜在受張拉時產(chǎn)生滑動的情況，建立了一種非線性有限元模型，并在此基礎(chǔ)上，將索膜邊界視為B樣條曲線，以曲線控制點位移為設(shè)計變量，通過優(yōu)化索膜結(jié)構(gòu)實際應(yīng)力與工程參考應(yīng)力間的偏差，實現(xiàn)了對薄膜在任意初始邊界下的形狀優(yōu)化，科學(xué)、合理地確定了邊界形狀．

1　平面薄膜天線索膜結(jié)構(gòu)邊界建模

圖1　平面薄膜天線結(jié)構(gòu)示意圖

平面薄膜天線結(jié)構(gòu)如圖1所示，薄膜通過牽連索及內(nèi)懸索張拉于周邊剛架上; 內(nèi)懸索與薄膜的連接方式以及邊界形狀等因素會直接影響懸索與薄膜間的應(yīng)力傳遞，進(jìn)而影響膜面精度．在實際中，為實現(xiàn)懸索對膜面的均勻張拉，內(nèi)懸索會置于乳膠管中，當(dāng)內(nèi)懸索受張力作用時將與薄膜產(chǎn)生相對滑動．傳統(tǒng)的有限元建模將邊界處索元與膜元共享節(jié)點，忽略了索膜間的滑動作用，這將對結(jié)構(gòu)分析等帶來一定誤差．

懸索與薄膜間相對滑動是應(yīng)力平衡的過程．在滑動作用下，索膜應(yīng)力集中程度降低，膜面應(yīng)力分布將更加均勻，這一過程與彈簧的作用類似，因此筆者采用彈簧單元建立內(nèi)懸索與薄膜邊界的連接關(guān)系．在進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元建模時，邊界處索節(jié)點與膜節(jié)點處于同一位置，在懸索與薄膜重合節(jié)點之間建立兩個零長度的面內(nèi)單自由度彈簧單元．設(shè)薄膜法向為z，則兩彈簧單元分別在x及y向承受拉伸作用，彈簧單元的面內(nèi)形變可模擬索膜間的相對滑動．

2　平面薄膜天線邊界形狀優(yōu)化

樣條曲線是由一組控制點插值或逼近得到的光滑曲線，其中B樣條曲線定義如下:

(1)

其中，Pi為曲線控制點，F(xiàn)t，n(t)為n次B樣條基函數(shù)，其形式為

(2)

B樣條曲線采用分段定義．若給定m+n+1個頂點Pi(i=0，1，2，…，m+n)，則可定義m+1 段n次B樣條曲線，且曲線在頂點處n-1 階連續(xù)．與其他樣條曲線相比，B樣條曲線更加靈活，局部形狀受頂點控制更加明顯，具有良好的局部修改能力和較好的逼近性能．基于此，采用B樣條曲線建立薄膜邊界并進(jìn)行形狀優(yōu)化，計算模型如圖2所示．

圖2 索膜結(jié)構(gòu)計算模型

天線結(jié)構(gòu)優(yōu)化通常以精度或質(zhì)量作為優(yōu)化目標(biāo)，而薄膜抗彎剛度小，易屈曲，應(yīng)力分布會嚴(yán)重影響膜面剛度及精度．一般來說，膜面應(yīng)力越大，抗變形能力越強．然而，一味尋求較大的應(yīng)力必然會降低材料的使用壽命．經(jīng)綜合考慮，膜面應(yīng)力應(yīng)盡可能地接近工程期望的參考應(yīng)力狀態(tài)．因此，筆者以圖2所示曲線控制點Pi(i=1，2，…，N)的位移為設(shè)計變量，通過最小化結(jié)構(gòu)實際應(yīng)力與工程參考應(yīng)力間的偏差來尋求最優(yōu)邊界形狀．

假設(shè)薄膜邊界由L段B樣條曲線組成，每段曲線取M個控制點，每個控制點賦予兩個面內(nèi)自由度，則邊界形狀優(yōu)化的設(shè)計變量數(shù)N為2LM，曲線形狀變化如圖2中局部放大圖所示，曲線垂跨比μ=h/l．設(shè)薄膜共劃分為n個單元，內(nèi)懸索共劃分為m個單元，牽連索張拉力為Fi(i=1，2，…，L)．約束條件如下:薄膜應(yīng)力不超過材料容許應(yīng)力[σ]mem；懸索應(yīng)力不超過材料容許應(yīng)力[σ]cab;結(jié)構(gòu)基頻不低于給定值f0；控制點位移最小值為Pl;控制點位移最大值為Pu．

優(yōu)化模型如下:

圖3　仿真校驗?zāi)Ｐ褪疽鈭D

3　仿真校驗

通過如下算例對筆者提出的索膜結(jié)構(gòu)邊界建模及形狀優(yōu)化方法進(jìn)行仿真校驗．

3.1　索膜結(jié)構(gòu)邊界建模仿真算例

采用彈簧單元模擬索膜結(jié)構(gòu)邊界處的滑動現(xiàn)象，并基于圖3(a)所示模型進(jìn)行了數(shù)值仿真．材料參數(shù)如表1所示．懸索通過初應(yīng)變施加預(yù)張力并使膜面產(chǎn)生一定預(yù)應(yīng)力．為對比彈簧單元建模法與共享節(jié)點建模法的區(qū)別，模擬了膜面在空間受一定光壓的工況進(jìn)行分析．在實際中，太空光壓約為 9× 10-6Pa，數(shù)值較?。疄榉奖惴治鰧Ρ?，對膜面施加 1 Pa 的法向壓力．研究表明，薄膜屈曲變形主要由第2主應(yīng)力決定，故此處提取膜面第2主應(yīng)力進(jìn)行對比．經(jīng)多次求解發(fā)現(xiàn)，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)k取值位于[0， 2× 107N/m] 范圍內(nèi)時，隨剛度系數(shù)的增大，彈簧單元法計算結(jié)果與共享節(jié)點法計算結(jié)果越接近，直至相等．為有效模擬索膜間的滑移作用，彈簧剛度系數(shù)取值不宜過大，此處取 2× 103N/m．其中，薄膜應(yīng)力數(shù)值如表2所示，薄膜應(yīng)力分布如圖4所示．

由表2可知，與共享節(jié)點建模法相比，建立彈簧單元后膜面第2主應(yīng)力平均值、最大值及均方根值均減小，說明膜面應(yīng)力分布更均勻，應(yīng)力集中程度降低．由圖4可知，建立彈簧單元后，薄膜第2主應(yīng)力分布形式和應(yīng)力梯度發(fā)生了明顯變化，由云圖與數(shù)值同樣可看出結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中程度降低．在實際中，懸索與薄膜相對滑動是應(yīng)力平衡的過程．在滑動作用下，索膜應(yīng)力集中程度將降低，膜面應(yīng)力分布將更均勻．?dāng)?shù)值模擬結(jié)果與實際規(guī)律一致，說明彈簧單元可有效地模擬索膜滑動的效果．該方法將使薄膜天線索膜邊界建模與結(jié)構(gòu)分析更加準(zhǔn)確．

表1　材料參數(shù)

表2薄膜第2主應(yīng)力靜力分析結(jié)果MPa

圖4　薄膜第2主應(yīng)力云圖

3.2　薄膜邊界形狀優(yōu)化算例

以如圖3(b)所示模型為例對優(yōu)化方法進(jìn)行校驗．該模型邊界由16段B樣條曲線組成，每段曲線取7個控制點．為保證結(jié)構(gòu)對稱性并減小計算量，首先將16段樣條曲線相同位置的控制點Pi(i=1，2，…，N)歸并為一類，并將每段曲線兩端固定，中間5個控制點按對稱性歸并為3類，則該優(yōu)化問題最終有3個設(shè)計變量，分別為P1、P2和P3．以弦長為 25 cm、圓心角為60°的圓弧為基準(zhǔn)建立曲線的初始邊界，則初始形狀的垂跨比μ為0.134．以初始位置為基準(zhǔn)，當(dāng)控制點沿徑向遠(yuǎn)離薄膜對稱中心移動時，位移為負(fù)，反之為正．

設(shè)定控制點P1的位移范圍為[-15 mm，10 mm]，P2為[-15 mm，10 mm]，P3為 [-22 mm，22 mm]．薄膜工程參考應(yīng)力值為 1.315 MPa，內(nèi)懸索工程參考應(yīng)力值為 2.581 MPa，結(jié)構(gòu)基頻不低于 0.062 Hz．尼龍拉索直徑為 1.4 mm，容許應(yīng)力為 1 670 MPa；聚酰亞胺薄膜厚度為 0.025 mm，容許應(yīng)力為 231 MPa．牽連索張力大小如圖3(b)所示．調(diào)用Matlab軟件中的fmincon庫函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表3所示．薄膜初始形狀及優(yōu)化形狀對比如圖5所示．

表3　優(yōu)化結(jié)果

圖5 優(yōu)化結(jié)果對比圖圖6 張拉索膜系統(tǒng)實物樣機(jī)

由表3可知，經(jīng)過優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)值即索膜結(jié)構(gòu)單元應(yīng)力偏差由 0.895 MPa 降低到 0.646 MPa，降幅為27.8%；曲線垂跨比由0.134變?yōu)?.176，結(jié)構(gòu)基頻有一定提高．由圖5可知，優(yōu)化形狀合理性強，符合工程中的一般規(guī)律，優(yōu)化結(jié)果驗證了筆者提出方法的有效性．

4　實驗驗證

為檢驗優(yōu)化結(jié)果的可靠性，根據(jù)圖3(a)所示尺寸制作了圖6所示張拉索膜系統(tǒng)樣機(jī)，并以優(yōu)化形狀裁剪薄膜進(jìn)行張拉實驗．薄膜由懸索張拉于周邊剛架上，懸索張力由拉力傳感器測量．對懸索施加圖3(b)所示的張力后，采用攝影測量技術(shù)獲得膜面變形的均方根誤差．經(jīng)測量，膜面均方根誤差為 0.13 mm，精度較高，形狀優(yōu)化取得了良好的效果．由于硬件限制，膜面應(yīng)力暫無法測量，完善的實驗研究將在后期繼續(xù)進(jìn)行．

5　總　　結(jié)

針對平面薄膜天線邊界處懸索與薄膜存在滑動的特點，建立了一種考慮索膜滑動的非線性有限元模型，并通過數(shù)值模擬說明了該方法的有效性．筆者提出的方法將使平面索膜結(jié)構(gòu)的建模與分析更加準(zhǔn)確．

基于非線性有限元模型，將薄膜邊界視為B樣條曲線，通過優(yōu)化曲線控制點位移得到最優(yōu)邊界形狀，并通過數(shù)值仿真和實驗測量對該方法進(jìn)行了驗證．該優(yōu)化方法突破了特定邊界形狀的局限性，科學(xué)、合理地確定了最優(yōu)邊界形狀．此外，通過優(yōu)化，膜面應(yīng)力分布更接近工程期望值，使得膜面剛度更加合理，將有助于提高材料使用壽命并降低膜面變形率．該方法為薄膜邊界形狀設(shè)計提供了一定的參考．

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