網狀可展開天線經編金屬絲網的力學性能分析

朱日升， 張逸群， 楊東武， 楊癸庚

(西安電子科技大學 電子裝備結構設計教育部重點實驗室，陜西 西安 710071)

鑒于火箭運載空間和能力限制，可展開性成為現代大口徑星載天線的典型特征之一．網狀可展開天線具有形面精度高、收納率高、面密度小等特點，是目前大口徑高精度可展開天線的研究熱點．根據柔性金屬絲網的支撐形式和桁架展開驅動方式的不同，網狀可展開天線可分為纏繞肋、徑向肋、周邊桁架和構架式等幾種類型[1-3]．周邊桁架可展開天線是目前大型高精度可展開天線的主流形式，該類型天線主要由上、下網面，金屬絲網，環形桁架以及調節索組成，如圖1所示．經編金屬絲網被鋪設在上網面，火箭發射時保持折疊收攏的狀態; 衛星進入運行軌道后要求編織金屬絲網能安全展開，且展開后網孔尺寸需要滿足天線的工作頻段要求，保證天線正常工作．

圖1　周邊桁架網狀天線的基本組成結構

經編金屬絲網被廣泛應用于可展開天線[4]，其編織結構、網孔形狀、尺寸大小和網面各向延展性等因素直接影響天線的電性能與力學性能[5]．在實際應用中，天線的工作頻段(波長)往往決定了金屬絲網的網孔大小，因此，在設計索網結構的初始形態時，應結合絲網的力學性能分析其對索網結構的影響，以保證天線的形面精度、結構的穩定性和網孔大小滿足天線的工作要求．目前，雖然文獻[6]已將經編金屬絲網廣泛應用于網狀可展開天線，但尚未有公開文獻涉及絲網的力學特性分析．而國內，文獻[7-8]主要是通過絲網的拉伸實驗研究其力學性能，但缺少必要的理論分析基礎．文獻[9]以雙梳鍛類結構絲網為研究對象，建立其有限元模型，并實現了靜力學分析，但是缺少對模型準確性較為全面的驗證．

針對上述問題，筆者以網眼式金屬絲網為研究對象，建立其三維幾何模型，基于絲網拉伸過程一直處于黏結接觸狀態的假設，采用增廣的拉格朗日法推導了絲網考慮接觸問題后的增量有限元求解方程，實現了絲網的力學性能分析; 最后結合絲網雙向拉伸的仿真分析和實驗，通過對比仿真與實驗數據，驗證了絲網力學性能分析方法的正確性，絲網的仿真分析結果可真實反映出實物的力學特性．

1　經編金屬絲網的三維幾何建模

圖2　網眼式經編金屬絲網

由編織工藝學可知，經編金屬絲網是由多個最小重復結構單元組成的周期性結構，最小重復結構之間通過線圈在縱向的相互穿套實現連接，其結構復雜多變．根據經編線圈的結構特點，可以將線圈主干與延展線視為一個整體，如圖2所示．紡織學者對經編結構幾何描述的研究已有60余年，但關于其三維幾何建模的研究還處于起步階段．目前，學者一般基于文獻[10-11]提出的三維線圈模型，根據特定的編織結構，定義描述線圈形狀的型值點三維坐標，然后采用非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS)曲線擬合得到線圈的中心線走向，最終線圈間通過連接對應的延展線型值點，可建立得到絲網的三維幾何模型[12-13]．

絲網在編織過程中，其單絲在經編線圈中的走向彎曲多變，為能較好地描述線圈的實際形狀，文中共采用11個型值點定義成圈線圈的形狀，若忽略線圈的傾斜，線圈的幾何形狀如圖3(a)所示．其中，線圈主干主要由型值點P0～P6點所定義的曲線構成; 成圈線圈的延展線主要由P6～P10點所定義的曲線構成，起著連接上下橫列線圈的作用．絲網線圈的型值點P0～P10三維坐標由線圈的理論形狀確定，而針對絲網實際編織過程中線圈存在的誤差和不一致性，型值點也可通過實測獲得．最終由NURBS曲線擬合得到最小重復結構如圖3(b)所示，絲網局部的幾何模型如圖3(c)所示．

圖3　網眼式經編金屬絲網的幾何模型

2　經編金屬絲網的有限元分析

2.1　彈性體有限元方程

一般情況下，彈性體基于初始構型的當前平衡關系，其虛功方程為

(1)

其中，Pv和Ps分別為作用在彈性體上的體積力和面力，q、σ和ε分別表示彈性體的位移、應力和應變．式(1)的左端為由變形引起的內力虛功，右端項分別為體積力及面力做的虛功．進而，根據虛功原理，可得到彈性體的有限元方程為

(KL+KNL)q=R-RS,

(2)

2.2　絲網單絲間的交叉接觸分析

絲網內相互串套的線圈單絲以及相互交叉的延展線單絲存在著高度非線性的交叉接觸問題，直接影響絲網的力學性能，因此，如何有效地簡化并實現絲網的接觸分析具有重要意義．通過觀察絲網的雙向拉伸過程可知，單絲間的滑動位移量相比于線圈的變形量是微小的，進而，為簡化絲網的接觸問題且保證其迭代求解的收斂性，假設拉伸過程中絲網發生接觸的單絲一直處于黏結接觸狀態，忽略絲網在編織過程中線圈形狀的不一致性，假設絲網的每個最小重復結構對應的網孔形狀和大小均相同．下面以絲網任意一處單絲的交叉接觸為例，如圖4所示，描述含接觸問題的彈性體有限元求解過程．

2.2.1黏結接觸狀態的約束條件

任意t時刻的黏結接觸狀態約束條件[14]可歸結為

(7)

其中，t-ΔtξA和t-ΔtξB分別是接觸體A和目標體B在(t-Δt)時刻接觸點的節點坐標;tnB為目標體B上接觸點的單位法向量．

圖4　絲網單絲之間接觸的描述

式(4)和式(6)表示黏結接觸的切向摩擦力條件，且接觸體間處于靜摩擦狀態，μτ為靜摩擦系數;tqT為接觸體A、目標體B上對應接觸點對切向的相對滑動位移．

式(5)表示接觸面上的法向接觸力為壓力，接觸力的符號由圖4沿坐標系z的正向定義．

2.2.2黏結接觸狀態下的接觸力描述

含接觸問題的彈性體在滿足接觸約束方程的前提下，其虛功方程可表示為

(8)

其中，右端的第3項為接觸力做的虛功，即

(9)

構造勢能泛函時，以增廣的拉格朗日乘子法將接觸約束條件引入勢能泛函中，可定義其廣義泛函為

Π=Πu+ΠCL+ΠCP,

(10)

其中，Πu為不包括接觸約束條件的勢能;ΠCL和ΠCP分別為以拉格朗日乘子法和罰函數法引入接觸約束條件的附加泛函．基于黏結接觸問題的約束條件，所構造的ΠCL和ΠCP可表示為

其中，N、τ1和τ2分別是圖4接觸面局部坐標系的法向、切向1和切向2．令δΠ=δΠu+δΠCL+δΠCP=0，則有

(13)

結合式(13)與式(8)可知，黏結接觸狀態下接觸力與拉格朗日乘子λ、罰數α間的關系為

Fc=-λ-αP(qA-qB)-αNgc,

(14)

2.3　彈性體黏結接觸的有限元方程

基于虛功原理，對于考慮接觸問題的彈性體，其增量形式的有限元求解方程[14]為

(KL+KNL) Δq=R+Qc-RS,

(15)

其中，Δq為節點位移增量，Δq=t+Δtq-tq，tq和t+Δtq分別為t和t+Δt時刻的節點位移向量；Qc為等效節點接觸力．等效節點接觸力Qc可由接觸力Fc表示為

(16)

其中，T為坐標轉換矩陣．假設αN=ατ1=ατ2=α，則第k對接觸點對的等效節點接觸力(Qc)k可簡化為

(17)

黏結接觸狀態的約束條件式(3)和式(4)可寫成

(18)

將式(17)代入式(15)，并結合約束條件式(18)，基于增廣拉格朗日乘子法的黏結接觸狀態增量形式有限元平衡方程為

(19)

式(19)屬于靜態接觸問題，以Newmark隱式算法迭代求解，則求解的隱式算法遞推公式為

(20)

3　經編金屬絲網力學性能的仿真與實驗對比

圖5　雙向拉伸的金屬絲網變形示意圖

為說明文中方法的正確性，對1 m×1 m方形絲網結構分別進行了雙向拉伸的仿真分析和實驗．由于絲網四周均受相同的載荷拉伸時，其橫、縱向產生的承載力通過成圈線圈結構相互影響制約，單絲的殘余預應力相比于其所受的承載力是微小的，因而仿真與實驗中尚未考慮絲網的應力釋放問題．

記絲網的橫向平行于X軸，縱向平行于Y軸，如圖5所示，絲網四周受相同載荷拉伸后，橫向、縱向應變可定義為

(21)

其中，X0和Y0分別為絲網橫向和縱向的初始長度，X和Y分別為絲網受雙向拉伸后的橫向和縱向長度．

網眼式經編金屬絲網的具體參數如下: 縱密32個/(5 cm)，橫密25個/(5 cm)，絲網單絲的材料為不銹鋼絲，直徑為 0.05 mm，彈性模量為 1 200 MPa，泊松比為0.3．對絲網進行雙向拉伸仿真分析，仿真的橫、縱向應變結果列于表1中．

表1　絲網雙向拉伸的橫縱向應變值

圖6　絲網的雙向拉伸實驗

絲網的雙向拉伸實驗由如圖6(b)所示的四周均載受力-變形試驗臺實現，實驗步驟如下:取 1 m× 1 m 規格的金屬絲網作為實驗對象，為避免絲網在拉伸過程中發生滑移，對試樣夾頭處進行特種膠處理．絲網四周的載荷由初始的 5 N/m 加載至 50 N/m，即每次加載均在每邊平穩放置5N的砝碼，載荷的加載次數計為10次．每次加完砝碼待穩定后，測量橫向和縱向的絲網伸長量，計算其應變值．絲網雙向拉伸的橫、縱向應變值列于表1中，圖7為雙向拉伸的絲網其仿真與實驗的拉伸曲線圖．

圖7　雙向拉伸的絲網其仿真與實驗的拉伸曲線圖

從表1可知，仿真與實驗的橫向應變值最大誤差為0.071 2，平均誤差為0.035 4; 縱向應變值的最大誤差為 0.091 7，平均誤差為 0.050 9，說明了文中絲網力學分析方法的正確性，其較真實地反映出實際結構的力學性能．而從圖7可知，仿真與實驗的橫、縱向拉伸曲線趨勢基本一致，拉伸初期曲線呈現出微弱的非線性; 隨著載荷的增加，曲線段逐漸呈線性．當絲網的橫、縱方向承受相同的載荷時，其橫向伸長量要大于縱向伸長量，呈現出較強的各向異性特點．這是因為參與編織的金屬單絲沿結構的縱向穿套成圈，橫向由延展線連接，當絲網受雙向拉伸時，縱向拉伸力主要由圈柱承載，橫向拉伸力主要由圈弧承載，圈柱受到外力后易伸直，變形量遠遠小于橫向圈弧的轉移和伸直的變形量．因此，絲網承載相同的載荷時，其橫向伸長量均大于縱向伸長量．

洙趙新河流域西靠黃河，東臨南陽湖，北接梁濟河流域，南與萬福河和東魚河搭界，屬黃泛沖積平原，地勢西高東低，流域總面積4 206 km2。其中菏澤市境內流域面積4 119 km2，流域內耕地 431萬畝（28.73萬 hm2）、人口450萬人，糧食單產600 kg以上，棉花單產60 kg以上。含有京九鐵路、兗新鐵路、菏澤電廠、濟菏高速、巨野煤礦等重要保護目標。

4　結 束 語

為了實現含接觸問題的經編金屬絲網力學分析，文中建立了絲網的三維幾何模型，并基于增廣拉格朗日法，將接觸約束方程引入結構的勢能泛函中，推導了絲網力學分析的增量有限元求解方程．通過對比絲網雙向拉伸的仿真和實驗數據，說明了分析方法的有效性．分析結果表明，網眼式金屬絲網呈現出較強的各向異性特性，可為未來索網-金屬絲網整體結構找形分析與設計、金屬絲網的鋪設過程提供參考．

文中求解接觸問題時，一些接觸參數選取主要是基于大量仿真與實驗對比的總結獲得．針對經編金屬絲網，如何給出通用化的參數選取準則，將是下一步研究的方向之一．

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