結合零空間交與多播的K用戶BC網絡分析

王　越， 劉　鋒， 曾連蓀

(上海海事大學 信息工程學院， 上海 201306)

眾所周知，通過采用多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)空間復用技術在多條獨立的鏈路中傳輸不同的數據碼流，可以成倍地提高數據的吞吐量．但是，使用多輸入多輸出技術的系統仍然受到消息之間的相互干擾，使得系統性能受到影響．對于無線網絡系統的容量研究是十分困難的，因此考慮從另一個角度——自由度來衡量系統的容量大小．有關多輸入多輸出的單播網絡研究已經非常多了，如廣播信道(Broadcast Channel，BC)[1-3]、互擾信道(Interference Channel，IC)[4]、X信道(X Channel，XC)[5]等，但是有關多播網絡的研究相對比較少．文獻[6]提出多播的概念，并且導出網絡的可達區域以及外界; 文獻[7]提出的結合多播的模型改善了系統的頻譜和能量效率; 文獻[8]介紹了一種在移動系統中的多輸入多輸出多播和廣播方案可伸縮視頻編碼的傳輸，可改善個人用戶的信道質量．在多輸入多輸出網絡中，自由度主要受到干擾的影響，尤其是多播網絡，干擾消息主要來自網絡內部和網絡之間．因此，對多播網絡的干擾處理并獲得更大的自由度的研究是非常必要的．處理干擾的方法有很多種，如干擾中和、干擾對齊和迫零等，筆者提出并使用結合零空間交[9]的迫零方案來消除干擾．該方案的主要思想是: 針對多播網絡的同一個接收端存在多個干擾消息，通過收發端合理的天線配置，使得多個干擾消息對應的零空間可以取得交空間，再將多個干擾消息同時置于這個交空間中，這樣就可以使得干擾消息迫零，從而在接收端可以解碼出期望信號．

在以往的研究中已經使用迫零方法得到了單播的廣播信道、互擾信道、X信道等簡單模型的自由度．然而對于更加復雜的多播信道的自由度，研究仍然較少．所以，筆者考慮將迫零方法引入到多播系統中，以便展開對多播理論的深入研究．

筆者主要研究的是多播的K用戶廣播信道網絡的自由度，這是一種新的廣播信道模型．不同于以往的簡單單播廣播信道模型，筆者提出的模型采用“循環模式”為每個接收端分配期望消息，同時，采用結合零空間交的迫零方案，將同一個接收端的多個干擾消息置于對應零空間的交空間中，以實現同時迫零多個干擾消息．

圖1　K用戶廣播信道多播網絡的系統模型

1　系統模型

K用戶廣播信道多播網絡自由度研究的系統模型如圖1所示．

系統模型的發送端發送K個消息，每個接收端均接收到K-N個期望消息和N個干擾消息．由于在每個接收端都存在N個干擾消息，所以要使用某種方法消除接收端的N個干擾消息．在這里，使用筆者提出的迫零方案——零空間交，使接收端的干擾消息全部迫零，以消除干擾消息．

對期望消息與干擾消息的簡要說明: {W1，W2，W3，…，WK-1，WK}是發送端發送的K個消息．接收端1共收到K個消息，其中有K-N個期望信號，分別是{W1，WN+2，WN+3， …，WK-1，WK}，其他N個消息都是干擾消息; 接收端2共收到K個消息，其中有K-N個期望信號，分別是{W1，W2，WN+3，WN+4，…，WK-1，WK}，其他N個消息都是干擾消息; 其他接收端情況依此類推．

圖2 每個接收端存在2個干擾消息

針對接收端信號采用“循環模式”: 對于發送端信號{W1，W2，W3，…，WK-1，WK}，將W1發送給從第1個接收端開始的共N個接收端;將W2發送給從第2個接收端開始的共N個接收端; 依此類推，即可得到筆者提出的“循環模式”系統模型．圖2給出了一個采用“循環模式”的系統模型．

多播K用戶廣播信道網絡的系統模型的輸入輸出關系為

Yj=HjX+Zj,

(1)

其中，Yj代表的是維度為(K-N)×1、第j(j=1，2，3，…，K)個接收端的輸出信號;Hj代表的是發送端到接收端j、維度為 (K-N)×K的信道矩陣;X表示廣播信道模型的發送信號;Zj表示 (K-N)×1 維信道的加性高斯白噪聲．

對這種多播系統模型的自由度定義為多播網絡系統的自由度就是系統接收端解碼消息的總數．根據多播系統模型的自由度大小，可間接衡量系統的容量大小，也是判定系統模型性能優劣的一個重要指標．

2　方案分析與設計

針對上面提出的系統模型，采用了結合零空間交的迫零方案，分析如何從帶有干擾消息的信號中解碼出期望消息，同時得到系統的自由度大小．為了便于分析，先從4用戶模型開始向一般模型過渡逐步分析．

2.1　4用戶情況

2.1.1每個接收端存在2個干擾消息的情況

在圖2中，發送端發送4個消息，每個接收端根據“循環模式”分別從發送的4個消息中接收2個期望消息，同時消除另外2個干擾消息．其中，發送端至少配置5根天線，接收端均配置2根天線．

該模型采用迫零方法來處理干擾消息，從而解碼出期望消息．具體就是，接收端1有兩個干擾消息W1和W4，只有2個期望信號W2和W3; 其他類似．設波束成形向量F= [f1,f2,f3,f4]5×4．該模型的輸入輸出關系滿足式(1)．其中，Hk的維度為 2×5 ; 消息信號矩陣S的維度為 4×1．

要實現迫零某個干擾信號，只要將該干擾信號置于信道矩陣構成的零空間的交空間．針對當前模型來說，接收端3和4的干擾消息W1置于H3和H4構成的零空間的交空間中; 接收端1和4的干擾消息W2置于H1和H4構成的零空間的交空間中; 接收端1和2的干擾消息W3置于H1和H2構成的零空間的交空間中; 接收端2和3的干擾消息W4置于H2和H3構成的零空間的交空間中．

首先給出一個關于零空間交的引理，如下．

由上述引理可導出一條重要結論．若(m+p)×n矩陣C的秩r=rank(C)，則它的右奇異向量{ν1，ν2，…，νn}中，與n-r個零奇異值對應的右奇異向量{νr+1，νr+2，…，νn}構成零空間的交 null(A)∩ null(B)的標準正交基．若零空間的交存在，則必有n-r≥ 1; 而矩陣C是滿秩的，有r= min(m+p，n)．由此可以得到關系式

(2)

簡化后得到零空間交的重要結論:n≥m+p+1． 再依據上述引理，可設Q1= [H3;H4]，Q2= [H1;H4]，Q3= [H1;H2]，Q4= [H2;H3]，維度均為 4×5，則波束成形向量滿足:

fi∈null(Qi)．

(3)

(4)

其中，Vij(i=1， 2， 3，4;j=5)表示取矩陣Vi的第5列．

通過上述簡單分析，可以找到當前信道模型的波束成形向量，使得每個接收端的干擾消息迫零，同時可以得到當前模型的自由度為 2×4=8．

圖3 每個接收端存在1個干擾消息

2.1.2每個接收端存在1個干擾消息的情況

在圖3中，發送端發送4個消息，每個接收端根據“循環模式”分別從發送的4個消息中接收3個期望消息，同時消除1個干擾消息．其中，發送端至少配置4根天線，接收端均配置3根天線．

對于該情況，每個接收端只有1個干擾消息，不存在零空間交，可看成零空間交的退化情況．同樣使用上一小節的方式迫零干擾消息，獲得期望信號．同時，可得當前的4用戶模型自由度為 4×3= 12．

2.2　K用戶情況

上節主要分析了4用戶模型，并給出了如何使每個接收端的干擾消息迫零，同時也指出了對應模型的自由度．考慮到實際工程中應盡量節省成本，依據上節提出的迫零方案，下面將針對更一般的K(K>3) 用戶系統模型，分析如何最優配置天線以實現迫零干擾，同時簡要分析一般模型的自由度大小．

2.2.1最優天線配置

K用戶系統模型如圖1所示．對于接收端，可以配置天線數量與期望信號數量相同，即每個接收端均配置K-N根天線．下面來分析發送端的天線數量的最優配置問題．

定理對于多播K用戶廣播信道網絡，每個接收端都配K-N根天線，則使用結合零空間交的迫零方案，發送端至少配置NK- (N2-1) 根天線，即可在每個接收端收到K-N個期望消息，并迫零N個干擾信號，同時系統模型的自由度為 (K-N)K．

證明對于筆者提出的“循環模式”的系統模型，不妨從信道維度來分析天線的具體配置問題，并假設發送端至少配置L根天線，才可以實現在每個接收端獲取對應的K-N個消息，同時消除N個干擾消息．已知Hi(i=1， 2， 3，…)表示發送端到接收端的信道矩陣，其維度用 (K-N)×L表示．

與4用戶情況類似，在每個接收端要實現存在N個干擾消息的接收消息中獲得K-N個期望消息，就必須將干擾消息置于對應信道矩陣的零空間交中．即接收端1至N的干擾消息W1置于{H1，H2，…，HN}構成的零空間; 接收端2至N+1 的干擾消息W2置于{H2，H3，…，HN+1}構成的零空間;以此類推．同時，可以確定對應信道矩陣的維度為N(K-N)×L．

再根據引理及其導出結論:n≥m+p+1，可以確定n和m+p表示上述零空間的維度，即n=L且m+p=N(K-N)，因此可以得出L≥N(K-N)+1．即得證當前模型的發送端最優天線配置為N(K-N)+1 根．又因為每個接收端均解碼出K-N個消息，因此可以確定該系統模型的自由度為K(K-N)．

2.2.2干擾處理分析

上一小節已經詳細分析了K用戶模型的最優天線配置問題，接下來展開分析如何實現在接收端消除干擾，以便獲取相應的期望消息．在這里采用迫零方案，關鍵在于將干擾消息同時置于多個信道矩陣構成的零空間中，實現將干擾迫零．具體的分析如下．

假設波束成形向量F=[f1，f2，f3，…，fK-1，fK]．將發送消息Wi(i=1， 2， 3， 4，…，K)看成干擾消息時，必然對應N個接收端將該消息視為干擾消息，將N個接收端對應信道矩陣組合起來，并用Q表示，形如Q= [H2;H3]．

對圖1所示的模型，不妨用Q1表示干擾消息W1對應的組合信道矩陣．以此類推，可得到QK表示干擾消息WK對應的組合信道矩陣．從而得出波束成形的列向量與組合信道矩陣Qi(i=1， 2， 3， 4，…，K)之間的關系:

fi∈null(Qi)．

(5)

(6)

其中，m=N(K-N)+1，Vim表示取Vi(i=1，2，3，…，K)的第m列向量．

通過上述分析，可以找到使干擾消息迫零的波束成形向量F，進而每個接收端可以解碼出期望消息，同時消除干擾消息．

2.2.3復雜度分析

依據前面的天線配置方案及干擾處理，在這里對系統的復雜度展開分析．根據矩陣理論可知: 對于秩為r的m×n的矩陣A，對A進行奇異值分解或求取廣義逆，其復雜度均為O(mnr); 同時，對于m×n的矩陣A和n×p的矩陣B，兩者相乘的復雜度為O(mnp)．

首先分析發送端的復雜度．構成零空間的組合矩陣的維度可從前面得知為N(K-N)×L，對該組合矩陣進行奇異值分解，可以得到為獲得每個發送消息對應的波束成形向量的計算過程的復雜度為O(N(K-N)2L)，其中L就是發送端最低天線配置數量，即L取值N(K-N)+1．又因為該廣播信道網絡發送K個消息，因此發送端的總復雜度CT=O(KN(K-N)2L)，即

CT=O(KN(K-N)2(N(K-N)+1))=O(KN2(K-N)3)．

(7)

然后分析接收端的復雜度．在每個接收端通過使用HkF的廣義逆實現線性編碼方案，其中Hk的維度為 (K-N)×L，F的維度為L×K．首先，Hk與F相乘的復雜度為O((K-N)LK)，再對HkF進行廣義逆計算，其復雜度為O(K(K-N)2)．因此，每個接收端的總復雜度CR=O((K-N)LK)+O(K(K-N)2)，即

CR=O(KN(K-N)2+K(K-N)2)=O(KN(K-N)2)．

(8)

對于整個廣播信道網絡而言，總的系統復雜度C=CT+CRK．將式(7)和式(8)代入，并經過整理之后，可以得到

C=O(KN2(K-N)3+K2N(K-N)2)=O(KN2(K-N)3)．

(9)

整個多播廣播信道網絡總的系統復雜度如式(9)的結論．

3　仿真與分析

依據前面的方案分析，在本節使用了Matlab對廣播信道網絡模型進行了仿真分析．假設每個信道為不相關的瑞利衰落信道，發送端的發送功率為P，發送端在滿足總的功率限制下，對每個用戶的發送功率平均分配，每個用戶接收端噪聲方差都相同且設為σ2．同時，假設發送端可獲知它所發送的所有用戶的無差錯等效信道狀態信息，每個用戶同樣可獲知接收端到發送端的信道狀態信息．

用戶i的消息經過一列處理之后，在接收端的接收信噪比為

RSINRi=Pe/(σ2+Pi),

(10)

其中，Pe表示每個接收端的期望消息功率，Pi表示每個接收端的干擾消息功率．用戶i的期望消息的速率為

Ri=lb(1+RSINRi)．

(11)

因此，可以得到系統的總和速率為

(12)

依據上述對和速率的分析，可以對系統的和速率[10]進行分析，并得到仿真結果，如圖4和圖5．

圖4 2干擾多用戶模型的和速率與信噪比的關系圖5 8用戶多干擾模型的和速率與信噪比的關系

圖4描述的是每個接收端均有2個干擾消息的多用戶系統的和速率與信噪比之間的變化關系．當用戶數從4增加到8時，系統的自由度相應地從8增加到48．從圖中可以看出，在固定每個接收端的干擾消息數量N的情況下，系統自由度隨著用戶數K增加而增加，并且仿真結果與理論結果一致．

圖5描述的是8用戶多干擾消息的系統的和速率與信噪比之間的變化關系．當每個接收端的干擾消息數量相同且從1個增加到6個干擾消息時，對應的自由度大小從56減少到16．從圖中可以看出，在固定用戶數的情況下，系統自由度隨著干擾消息數N增加而線性減少．這個結果同樣與理論結果一致．

圖4和圖5中還描述了單播多用戶的和速率隨著信噪比的變化關系．從圖中可以看出，在相同信噪比條件下，多播廣播信道網絡的和速率明顯高于單播廣播信道網絡的．

對比兩幅圖不難得出，如果期望獲取更大的系統自由度，可以從兩個角度考慮問題:控制用戶數量，使其盡量得多;控制每個接收端的干擾消息數量，使其盡可能得少．

4　結 束 語

筆者嘗試采用以零空間交為基礎構造一種新的對干擾消息迫零方案，研究了多播的K用戶廣播信道網絡模型．與常見單播廣播信道網絡模型相比較，筆者提出的模型具有更高的系統性能和速率．同時，筆者提出的模型采用“循環模式”的天線配置方式，使接收端的干擾消息數量可控，從而可給出一般化模型的統一的最優天線配置方案．在結合迫零方法和天線配置方案的基礎上，證明了筆者提出的模型的正確性及方案的可行性，并針對這種模型進行了仿真分析，驗證了理論與實際結果的一致性．同時，該迫零方案也可應用于每個接收端的干擾消息數量不等的模型，這部分內容可單獨深入研究．下一步的工作可將本方案應用于其他系統中，如用戶數量與發送消息數量不等的多播廣播信道系統，或多播互擾信道系統，或多播X信道系統，以便更深入地研究多播問題．

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