數圖結合，架起理解的橋梁
——關于“用有余數除法解決按規律排列的問題”的教學思考

浙江象山縣丹城第四小學（315700）

“解決問題”是指綜合地、創造性地運用各種數學知識去解決生活中的實際問題和源于數學內部的問題，它滲透在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大領域中。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“解決問題”列為思維總目標之一，它明確指出：增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。由此可見，“解決問題”在小學數學教學中的地位和作用，它既是小學數學教學中的重難點，更是一項基本技能。

在教學中，筆者和很多教師一樣，面對眾多的“解決問題”而感到痛苦和困惑，故通過“用有余數除法解決按規律排列的問題”一課的磨課過程談談對小學第一學段“解決問題”教學的思考。

發現——為何學生依然選擇“畫一畫”

“用有余數除法解決按規律排列的問題”是小學低段（第一學段）眾多“解決問題”教學中較為典型的一節課。初讀教材之后，筆者很快確定了本節課的教學重點：讓學生通過操作、觀察，感知余數所表示的基數含義與其相對應的序數之間的聯系。為了完成這一教學目標，筆者先給出兩個題組，試圖讓學生在解決問題的過程中，通過對比和觀察，感知余數所表示的基數含義與其相對應的序數之間的聯系。

題組一：按照下面的規律擺小旗。

（1）第16面小旗應該是什么顏色？（2）第23面小旗應該是什么顏色？（3）第27面小旗應該是什么顏色？

題組二：按照下面的規律串一串珠子。

（1）第21顆珠子應該是什么顏色？（2）第24顆珠子應該是什么顏色？（3）第30顆珠子應該是什么顏色？

第一步，通過題組一的第（1）題“第16面小旗應該是什么顏色？”，讓學生在“嘗試解題——反饋交流——呈現方法多樣化”的過程中，了解到解決周期問題既可以“畫一畫、數一數”，也可以用有余數除法來“算一算”。緊接著讓學生選擇自己喜歡的方法來解決題組一中的第（2）題和第（3）題，學生在解決問題的過程中能體會到用除法解決問題的簡便性，并掌握用有余數除法解題的方法。第二步，給出題組二，引導學生用有余數除法解決這三個問題，并鞏固“算一算”的方法。第三步，通過觀察和比較兩個題組中六個問題的解題過程，引導學生得出用余數解決周期問題的一般規律：余數是幾，所求數是下一組的第幾個；沒有余數，所求數是最后一組的最后一個。

自以為以上是完美的教學設計，卻在第一次教學嘗試中問題頻出。于是，筆者對出現的主要問題以及成因進行簡單的分析：

課堂上，筆者和選用“畫一畫”的學生進行了談話，他們都表示：知道用有余數除法來解決的方法更好，但還是喜歡用“畫一畫”的方法，因為“畫一畫”的方法簡單。不難看出，這部分學生對用有余數除法的方法不理解，不明白為什么可以用除法解決，以及如何用除法解決，他們與解題組二用“除以3”來列式計算的學生一樣，本質上是對“用有余數除法解決按規律排列的問題”方法的不理解。

分析——立足教材與學生，重定重點

基于問題，對癥下藥，再次研讀教材，重新審視教學過程，回顧學生的學習過程，找出教學中的漏洞。

1.研讀教材

“用有余數除法解決按規律排列的問題”是人教版教材二年級下冊第六單元《有余數的除法》中的內容，本單元的學習內容包括：認識有余數的除法——余數和除數的關系——有余數除法的計算——解決問題（進一法）——解決問題（按規律排列的問題），“用有余數除法解決按規律排列的問題”為本單元的最后一課，看似獨立的內容，實則與學生在之前所學習的除法的意義息息相關。

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從上表可以看出，教材中僅用了一個問題，即“第16面小旗應該是什么顏色？”，通過對這個問題的解決，促使學生親歷解題的全過程，體會解決問題的策略和方法的多樣性，理解并掌握“用有余數除法解決按規律排列的問題”的思路和方法。在第一次嘗試中，筆者避重就輕，過于注重余數所表示的基數含義與其相對應的序數之間的聯系這一規律的得出，而忽略了學生用有余數除法解決例題的思路和方法，盡管有學生提出了可以用除法解決問題，但大部分學生對于如何用除法解決這類問題并不明確，導致不會用有余數除法解決問題。

2.分析學情

課程標準指出：教師教學應該以學生的認知水平和已有的經驗為基礎。教師只有了解學生的知識儲備和已有認知水平，才能讓教學更有效。

在學習本節課之前，學生已有經驗中與本課息息相關的內容主要有以下兩部分：

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從上表中可以看出，學生學習“用有余數除法解決按規律排列的問題”的知識儲備是比較豐富的。但二年級的學生年齡小，理解能力有限，思維還處于形象思維發展的初始階段，加上“找規律”和“有余數的除法”這兩塊內容相對獨立、互不相干，所以，如何能讓學生更好地理解“用有余數除法的知識來解決有規律排列中的數學問題”，是筆者在教學中需要解決的問題。立足教材的編排意圖和學生的實際情況，在教學設計整體結構不做改動的情況下，細化新知教學環節的設計，添加動態實物圖，促使學生更好地理解“用有余數除法解決按規律排列的問題”的方法，讓學生在學習的過程中不再是被動地接受，而是“知其然，更知其所以然”。

細化——化抽象為具體，逐步滲透

【片段一】呈現方法多樣性

1.出示問題，收集信息

師（出示PPT）：按照下面的規律擺小旗。這樣擺下去，第16面小旗應該是什么顏色？

師：說一說，通過讀題，你知道了什么？

2.引導學生嘗試解決問題

師：能把你的想法記錄在探究卡上嗎？可以畫一畫、寫一寫。

3.匯報交流方法，指名學生展示解題過程

預設一：①畫一畫（畫全部）②畫一畫（接著畫）

師：這兩種都是用畫一畫的方法解題，你更喜歡哪一種方法？為什么？

第13面第16面）

預設二：算一算 ：16÷3=5（組）……1（面）

（學生展示算一算的方法，并說一說自己是怎么想的，這個算式表示什么意思）

4.數形結合，理解算式師（PPT動態演示）：

（動畫演示將16面小旗按照3面為一組進行分組的過程，幫助學生理解16÷3=5（組）……1（面）的含義，及“余1面”表示的含義）

【片段二】優化解題方法

師：第23面小旗應該是什么顏色？第27面小旗應該是什么顏色？（引導學生用自己喜歡的方法解題，讓學生在解題過程中感受用“算一算”的方法解題更方便）

師：說說 23÷3=7（組）……2（面）的含義。

師（PPT動態演示）：（教師解釋27÷3=9（組）的含義）師（PPT動態演示）：

【設計意圖：本課教學內容中，學生理解的最大難點在于“為什么按規律排列的問題可以用除法解決”和“為什么余數是幾就表示下一組的第幾個”。基于這兩個難點，筆者通過在講解例題以及練習中引入實物圖，并動畫演示平均分的過程，幫助學生理解“按規律排列的物體可以按規律進行平均分，除法的實質即為平均分，所以此類問題就可以用除法解決”，并引導學生通過觀察實物圖得知“余數是幾，所求小旗即為下一組的第幾個”，從而在余數所表示的基數含義同解題中所需理解的順數含義之間建立聯系。】

教學的成功往往都體現在細節處，在整體設計不變的情況下，只需要在介紹用有余數除法解題的方法時，展示動態的實物圖，就能讓學生在觀察中感知將16面小旗“按每3面為一組，進行平均分”的過程，學生自然而然就會接受用有余數除法解題的方法，不需要教師過多的講解亦能明白其中的道理。在教學第一學段的眾多“解決問題”時，都可以在分析問題和講解方法時引入圖示，根據學生的認知特點，將抽象的問題具體化，并讓學生在觀察圖示的過程中感知用數學方法解題的理由，使教學達到事半功倍的效果。

深思——數圖結合，架起理解的橋梁

例如，一年級上冊P98的例6：

教師可以引導學生通過“畫一畫”的方法理解題意，將文字形式的題意用形象的示意圖展現出來：

由于受到原有經驗的影響，學生看到“剩下”二字，就容易想到減法，在選擇運算方法上就產生了困擾。呈現示意圖，就能幫助學生通過對圖的解讀，明白為什么求“原來有多少？”這樣的問題要用加法而非減法。

又如，三年級上冊P52例3：

“求一個數的幾倍是多少”的本質是“求幾個幾是多少”，對于如何將新知的“求一個數的幾倍是多少”與舊知“求幾個幾是多少”建立聯系，教師就可以在教學過程中引入線段圖：

通過對線段圖的解讀，學生很快就理解了“求象棋的價錢，就是求4個8元是多少”，即用乘法計算；通過線段圖直觀展現了“求一個數的幾倍是多少”的數量關系，學生就能聯想到乘法的含義，從而理解為什么用乘法解題。

有效的課堂教學應尊重學生的認知發展規律和教材的編排意圖，由于學生的思維水平正處于形象思維發展階段，因此，在低年級教學“解決問題”時，不應過度抽象，可用“圖”來解讀“數”的形象手段，讓數與圖有效地結合，這樣才能在“實際問題”與“數學方法”之間架起一座助力學生理解的橋梁。