數(shù)圖結(jié)合，架起理解的橋梁
——關(guān)于“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”的教學(xué)思考

浙江象山縣丹城第四小學(xué)（315700）

“解決問題”是指綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，它滲透在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大領(lǐng)域中?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“解決問題”列為思維總目標(biāo)之一，它明確指出：增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。由此可見，“解決問題”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用，它既是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，更是一項(xiàng)基本技能。

在教學(xué)中，筆者和很多教師一樣，面對(duì)眾多的“解決問題”而感到痛苦和困惑，故通過“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”一課的磨課過程談?wù)剬?duì)小學(xué)第一學(xué)段“解決問題”教學(xué)的思考。

發(fā)現(xiàn)——為何學(xué)生依然選擇“畫一畫”

“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”是小學(xué)低段（第一學(xué)段）眾多“解決問題”教學(xué)中較為典型的一節(jié)課。初讀教材之后，筆者很快確定了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生通過操作、觀察，感知余數(shù)所表示的基數(shù)含義與其相對(duì)應(yīng)的序數(shù)之間的聯(lián)系。為了完成這一教學(xué)目標(biāo)，筆者先給出兩個(gè)題組，試圖讓學(xué)生在解決問題的過程中，通過對(duì)比和觀察，感知余數(shù)所表示的基數(shù)含義與其相對(duì)應(yīng)的序數(shù)之間的聯(lián)系。

題組一：按照下面的規(guī)律擺小旗。

（1）第16面小旗應(yīng)該是什么顏色？（2）第23面小旗應(yīng)該是什么顏色？（3）第27面小旗應(yīng)該是什么顏色？

題組二：按照下面的規(guī)律串一串珠子。

（1）第21顆珠子應(yīng)該是什么顏色？（2）第24顆珠子應(yīng)該是什么顏色？（3）第30顆珠子應(yīng)該是什么顏色？

第一步，通過題組一的第（1）題“第16面小旗應(yīng)該是什么顏色？”，讓學(xué)生在“嘗試解題——反饋交流——呈現(xiàn)方法多樣化”的過程中，了解到解決周期問題既可以“畫一畫、數(shù)一數(shù)”，也可以用有余數(shù)除法來“算一算”。緊接著讓學(xué)生選擇自己喜歡的方法來解決題組一中的第（2）題和第（3）題，學(xué)生在解決問題的過程中能體會(huì)到用除法解決問題的簡(jiǎn)便性，并掌握用有余數(shù)除法解題的方法。第二步，給出題組二，引導(dǎo)學(xué)生用有余數(shù)除法解決這三個(gè)問題，并鞏固“算一算”的方法。第三步，通過觀察和比較兩個(gè)題組中六個(gè)問題的解題過程，引導(dǎo)學(xué)生得出用余數(shù)解決周期問題的一般規(guī)律：余數(shù)是幾，所求數(shù)是下一組的第幾個(gè)；沒有余數(shù)，所求數(shù)是最后一組的最后一個(gè)。

自以為以上是完美的教學(xué)設(shè)計(jì)，卻在第一次教學(xué)嘗試中問題頻出。于是，筆者對(duì)出現(xiàn)的主要問題以及成因進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析：

課堂上，筆者和選用“畫一畫”的學(xué)生進(jìn)行了談話，他們都表示：知道用有余數(shù)除法來解決的方法更好，但還是喜歡用“畫一畫”的方法，因?yàn)椤爱嬕划嫛钡姆椒ê?jiǎn)單。不難看出，這部分學(xué)生對(duì)用有余數(shù)除法的方法不理解，不明白為什么可以用除法解決，以及如何用除法解決，他們與解題組二用“除以3”來列式計(jì)算的學(xué)生一樣，本質(zhì)上是對(duì)“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”方法的不理解。

分析——立足教材與學(xué)生，重定重點(diǎn)

基于問題，對(duì)癥下藥，再次研讀教材，重新審視教學(xué)過程，回顧學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，找出教學(xué)中的漏洞。

1.研讀教材

“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”是人教版教材二年級(jí)下冊(cè)第六單元《有余數(shù)的除法》中的內(nèi)容，本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法——余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系——有余數(shù)除法的計(jì)算——解決問題（進(jìn)一法）——解決問題（按規(guī)律排列的問題），“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”為本單元的最后一課，看似獨(dú)立的內(nèi)容，實(shí)則與學(xué)生在之前所學(xué)習(xí)的除法的意義息息相關(guān)。

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從上表可以看出，教材中僅用了一個(gè)問題，即“第16面小旗應(yīng)該是什么顏色？”，通過對(duì)這個(gè)問題的解決，促使學(xué)生親歷解題的全過程，體會(huì)解決問題的策略和方法的多樣性，理解并掌握“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”的思路和方法。在第一次嘗試中，筆者避重就輕，過于注重余數(shù)所表示的基數(shù)含義與其相對(duì)應(yīng)的序數(shù)之間的聯(lián)系這一規(guī)律的得出，而忽略了學(xué)生用有余數(shù)除法解決例題的思路和方法，盡管有學(xué)生提出了可以用除法解決問題，但大部分學(xué)生對(duì)于如何用除法解決這類問題并不明確，導(dǎo)致不會(huì)用有余數(shù)除法解決問題。

2.分析學(xué)情

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。教師只有了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和已有認(rèn)知水平，才能讓教學(xué)更有效。

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中與本課息息相關(guān)的內(nèi)容主要有以下兩部分：

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從上表中可以看出，學(xué)生學(xué)習(xí)“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”的知識(shí)儲(chǔ)備是比較豐富的。但二年級(jí)的學(xué)生年齡小，理解能力有限，思維還處于形象思維發(fā)展的初始階段，加上“找規(guī)律”和“有余數(shù)的除法”這兩塊內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立、互不相干，所以，如何能讓學(xué)生更好地理解“用有余數(shù)除法的知識(shí)來解決有規(guī)律排列中的數(shù)學(xué)問題”，是筆者在教學(xué)中需要解決的問題。立足教材的編排意圖和學(xué)生的實(shí)際情況，在教學(xué)設(shè)計(jì)整體結(jié)構(gòu)不做改動(dòng)的情況下，細(xì)化新知教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，添加動(dòng)態(tài)實(shí)物圖，促使學(xué)生更好地理解“用有余數(shù)除法解決按規(guī)律排列的問題”的方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不再是被動(dòng)地接受，而是“知其然，更知其所以然”。

細(xì)化——化抽象為具體，逐步滲透

【片段一】呈現(xiàn)方法多樣性

1.出示問題，收集信息

師（出示PPT）：按照下面的規(guī)律擺小旗。這樣擺下去，第16面小旗應(yīng)該是什么顏色？

師：說一說，通過讀題，你知道了什么？

2.引導(dǎo)學(xué)生嘗試解決問題

師：能把你的想法記錄在探究卡上嗎？可以畫一畫、寫一寫。

3.匯報(bào)交流方法，指名學(xué)生展示解題過程

預(yù)設(shè)一：①畫一畫（畫全部）②畫一畫（接著畫）

師：這兩種都是用畫一畫的方法解題，你更喜歡哪一種方法？為什么？

第13面第16面）

預(yù)設(shè)二：算一算 ：16÷3=5（組）……1（面）

（學(xué)生展示算一算的方法，并說一說自己是怎么想的，這個(gè)算式表示什么意思）

4.數(shù)形結(jié)合，理解算式師（PPT動(dòng)態(tài)演示）：

（動(dòng)畫演示將16面小旗按照3面為一組進(jìn)行分組的過程，幫助學(xué)生理解16÷3=5（組）……1（面）的含義，及“余1面”表示的含義）

【片段二】?jī)?yōu)化解題方法

師：第23面小旗應(yīng)該是什么顏色？第27面小旗應(yīng)該是什么顏色？（引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方法解題，讓學(xué)生在解題過程中感受用“算一算”的方法解題更方便）

師：說說 23÷3=7（組）……2（面）的含義。

師（PPT動(dòng)態(tài)演示）：（教師解釋27÷3=9（組）的含義）師（PPT動(dòng)態(tài)演示）：

【設(shè)計(jì)意圖：本課教學(xué)內(nèi)容中，學(xué)生理解的最大難點(diǎn)在于“為什么按規(guī)律排列的問題可以用除法解決”和“為什么余數(shù)是幾就表示下一組的第幾個(gè)”?；谶@兩個(gè)難點(diǎn)，筆者通過在講解例題以及練習(xí)中引入實(shí)物圖，并動(dòng)畫演示平均分的過程，幫助學(xué)生理解“按規(guī)律排列的物體可以按規(guī)律進(jìn)行平均分，除法的實(shí)質(zhì)即為平均分，所以此類問題就可以用除法解決”，并引導(dǎo)學(xué)生通過觀察實(shí)物圖得知“余數(shù)是幾，所求小旗即為下一組的第幾個(gè)”，從而在余數(shù)所表示的基數(shù)含義同解題中所需理解的順數(shù)含義之間建立聯(lián)系。】

教學(xué)的成功往往都體現(xiàn)在細(xì)節(jié)處，在整體設(shè)計(jì)不變的情況下，只需要在介紹用有余數(shù)除法解題的方法時(shí)，展示動(dòng)態(tài)的實(shí)物圖，就能讓學(xué)生在觀察中感知將16面小旗“按每3面為一組，進(jìn)行平均分”的過程，學(xué)生自然而然就會(huì)接受用有余數(shù)除法解題的方法，不需要教師過多的講解亦能明白其中的道理。在教學(xué)第一學(xué)段的眾多“解決問題”時(shí)，都可以在分析問題和講解方法時(shí)引入圖示，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，將抽象的問題具體化，并讓學(xué)生在觀察圖示的過程中感知用數(shù)學(xué)方法解題的理由，使教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。

深思——數(shù)圖結(jié)合，架起理解的橋梁

例如，一年級(jí)上冊(cè)P98的例6：

教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過“畫一畫”的方法理解題意，將文字形式的題意用形象的示意圖展現(xiàn)出來：

由于受到原有經(jīng)驗(yàn)的影響，學(xué)生看到“剩下”二字，就容易想到減法，在選擇運(yùn)算方法上就產(chǎn)生了困擾。呈現(xiàn)示意圖，就能幫助學(xué)生通過對(duì)圖的解讀，明白為什么求“原來有多少？”這樣的問題要用加法而非減法。

又如，三年級(jí)上冊(cè)P52例3：

“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的本質(zhì)是“求幾個(gè)幾是多少”，對(duì)于如何將新知的“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”與舊知“求幾個(gè)幾是多少”建立聯(lián)系，教師就可以在教學(xué)過程中引入線段圖：

通過對(duì)線段圖的解讀，學(xué)生很快就理解了“求象棋的價(jià)錢，就是求4個(gè)8元是多少”，即用乘法計(jì)算；通過線段圖直觀展現(xiàn)了“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生就能聯(lián)想到乘法的含義，從而理解為什么用乘法解題。

有效的課堂教學(xué)應(yīng)尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和教材的編排意圖，由于學(xué)生的思維水平正處于形象思維發(fā)展階段，因此，在低年級(jí)教學(xué)“解決問題”時(shí)，不應(yīng)過度抽象，可用“圖”來解讀“數(shù)”的形象手段，讓數(shù)與圖有效地結(jié)合，這樣才能在“實(shí)際問題”與“數(shù)學(xué)方法”之間架起一座助力學(xué)生理解的橋梁。