借助意義教學(xué)促進(jìn)有效建模
——以“乘法分配律”的教學(xué)為例

廣東廣州市荔灣區(qū)海北小學(xué)（510378）

人教版教材第八冊(cè)中的“乘法分配律”教學(xué)內(nèi)容一直以來都是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的成效會(huì)直接影響后續(xù)的學(xué)習(xí)。常見的教學(xué)流程為“給出一個(gè)問題背景→強(qiáng)調(diào)從計(jì)算人手→急于比較、研究→引導(dǎo)觀察→過早地給出結(jié)論→得出乘法分配律→機(jī)械式地套用→利用練習(xí)鞏固知識(shí)”。在這個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生通過記憶和重復(fù)練習(xí)來建立數(shù)學(xué)模型，但不知道為什么乘法分配律會(huì)成立，對(duì)乘法分配律的意義理解不透。這并不利于學(xué)生掌握知識(shí)的本質(zhì)，還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)用乘法分配律時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：第一個(gè)加數(shù)乘上乘數(shù)后，就直接加上另一個(gè)加數(shù)，另一個(gè)加數(shù)沒有乘上乘數(shù)，就完成計(jì)算了。如（8+7）×125=8×125+7，錯(cuò)誤的根本原因是對(duì)“乘法分配律”的意義理解不夠深刻。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：“讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”因此，我提出意義建模法：強(qiáng)調(diào)從乘法的意義人手，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解為什么乘法分配律會(huì)成立，從而幫助學(xué)生掌握知識(shí)，從而建立數(shù)學(xué)模型。而數(shù)學(xué)建模通常以“問題情境——建立模型——解釋應(yīng)用與拓展”的基本形式展開。

一、運(yùn)用幾何直觀，數(shù)形結(jié)合充分感知模型

課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”。因此，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生從生活原型中提煉出數(shù)學(xué)模型，并在初步感知模型的基礎(chǔ)上，逐步建構(gòu)模型。

【教學(xué)片段1】

師：春裝校服75元一套。小劉家買了2套，小李家買了3套。他們兩家一共要付多少元？

生1：75×2+75×3=150+225=375（元）。

師：75×2與75×3分別算出的是什么？為什么用乘法計(jì)算？（學(xué)生回答略）

師：如果說 75×（2+3）=75×5=375（元），（2+3）算出的5是什么？75×5表示什么？

生2：表示5個(gè)75相加的和是多少。

師：通過計(jì)算你們發(fā)現(xiàn)了什么?

生3：75×（2+3）=75×2+75×3。

師：如果不計(jì)算，你能說明 75×（2+3）與 75×2+75×3相等嗎?

生4：等式左邊表示5個(gè)75相加，等式右邊表示2個(gè)75加上3個(gè)75，都是5個(gè)75相加。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法的基礎(chǔ)知識(shí)，知道用乘法可以求幾個(gè)相同加數(shù)的和。基于本節(jié)課數(shù)學(xué)建模的需要，復(fù)習(xí)乘法的意義也就成為學(xué)習(xí)乘法分配律的立足點(diǎn)與起點(diǎn)。在新舊知識(shí)的連接點(diǎn)上開拓學(xué)生的思維，使新知的教學(xué)起點(diǎn)與學(xué)生已有的舊知緊密相連，就能使新知成為舊知的自然延伸、發(fā)展，做到環(huán)環(huán)緊扣、步步遞進(jìn)，把知識(shí)串成一條知識(shí)線，幫助學(xué)生掌握知識(shí)整體。

【教學(xué)片段2】

師：結(jié)合下圖，與同桌說說等式（6＋4）×3=6×3＋4×3為什么會(huì)成立。

生：圖的左邊可以理解為10個(gè)3相加，圖的右邊分別是6個(gè)3相加和4個(gè)3相加，也就是10個(gè)3相加，所以（6＋4）×3=6×3＋4×3。

為了順應(yīng)中年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)的建模教學(xué)應(yīng)當(dāng)充分運(yùn)用這種幾何直觀教學(xué)法。學(xué)生已經(jīng)熟練掌握長方形的面積計(jì)算方法，只要圖式結(jié)合，算理就一目了然。在學(xué)生思考的過程中，教師要注意并重視培養(yǎng)學(xué)生在表達(dá)和交流過程中語言描述的能力，為學(xué)生總結(jié)乘法分配律做好鋪墊。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，形與數(shù)往往是聯(lián)系在一起的，因此，數(shù)與形之間存在著本質(zhì)的聯(lián)系。在教學(xué)過程中，教師要強(qiáng)調(diào)乘法的意義，并以這種數(shù)形結(jié)合的方式生動(dòng)形象地幫助學(xué)生解釋“乘法分配律”的本質(zhì)意義，這樣不僅能為后面的模型應(yīng)用做足準(zhǔn)備，也有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思想。

二、意義教學(xué)，抽象并建構(gòu)模型

初步感知模型后，教師要提供更多類似的、系列的學(xué)習(xí)材料來為學(xué)生進(jìn)一步感悟模型做鋪墊，并給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生在舉例子的過程中一步一步地將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律準(zhǔn)確地加以描述和歸納，最終建立數(shù)學(xué)模型。

【教學(xué)片段3】

1.觀察等式，探索規(guī)律

師（在學(xué)生完成題目后）：觀察這幾組等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師（引導(dǎo)學(xué)生觀察左右兩邊算式的特點(diǎn)）：左邊的算式都是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘；右邊的算式都是這兩個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加；左右兩邊的計(jì)算結(jié)果相等。

2.舉例驗(yàn)證，歸納規(guī)律

師：這個(gè)計(jì)算規(guī)律是否在哪里都成立呢？我們能不能再舉些類似的例子來驗(yàn)證一下？請(qǐng)同桌之間互相說一說。

生1：我舉的例子是（4＋5）×15=4×15＋5×15。

師：這個(gè)式子的左右兩邊分別表示什么？

生1：左邊表示9個(gè)15的和；右邊表示4個(gè)15的和，加上5個(gè)15的和。

生2：我舉的例子是（5＋3）×6=5×6＋3×6。

師：請(qǐng)你解釋一下。

生2：左邊表示8個(gè)6的和，右邊是5個(gè)6與3個(gè)6的和。8個(gè)6的和等于5個(gè)6與3個(gè)6的和。

生3：（20＋10）×3=20×3＋10×3。

師：請(qǐng)你解釋一下。

生3：左邊是30個(gè)3相加；右邊是20個(gè)3相加，再加上10個(gè)3相加，加起來就是30個(gè)3相加。

師：同學(xué)們舉了不同的例子來驗(yàn)證我們的發(fā)現(xiàn)，看來這個(gè)計(jì)算規(guī)律是成立的。這個(gè)計(jì)算規(guī)律在數(shù)學(xué)中就叫作“乘法分配律”。如果別人問你，什么叫“乘法分配律”，你該怎樣告訴他呢？能用自己的語言描述這個(gè)規(guī)律嗎？

生5：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于這兩個(gè)數(shù)分別與那個(gè)數(shù)相乘，再相加。

師：把“那個(gè)數(shù)”改為——“這個(gè)數(shù)”。

（教師讓學(xué)生獨(dú)立思考：（▲+█）×●=？師生共同抽象出數(shù)學(xué)模型：（▲+█）×●=▲×●+█×●；在肯定了學(xué)生或不太嚴(yán)謹(jǐn)，或不太全面的回答之后，師生共同歸納乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。最后，請(qǐng)學(xué)生把課本翻到26頁，讀一讀這個(gè)規(guī)律，并在讀的過程中體會(huì)規(guī)律。）

3.交流總結(jié)，表示規(guī)律

師：用數(shù)學(xué)的語言——數(shù)學(xué)符號(hào)來表示規(guī)律，得出“乘法分配律”的字母公式“（a+b）×c=a×c+b×c”。

數(shù)學(xué)表象是對(duì)客觀事物從形式或結(jié)構(gòu)等方面概括而得到的觀念性表象，圖式表象是其中的一種類型。乘法分配律的圖式表象是（▲+█）×●=▲×●+█×●的模式形象。學(xué)生在初步感知計(jì)算規(guī)律的狀態(tài)下，通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并嘗試用自己的語言描述規(guī)律，最后用數(shù)學(xué)的語言簡化規(guī)律，歸納出“乘法分配律”的字母公式。這種語言的描述就是嘗試著將數(shù)學(xué)的實(shí)際規(guī)律抽象化，就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，這是數(shù)學(xué)建模最為艱難也是最為關(guān)鍵的一步。要較好地完成這一步，在數(shù)學(xué)建模過程中，教師應(yīng)當(dāng)不失時(shí)機(jī)地讓那些有能力的學(xué)生嘗試用符號(hào)語言建構(gòu)和表達(dá)模型。

三、解決問題，解釋并應(yīng)用模型

在乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型的具體運(yùn)用過程中，有相當(dāng)多的學(xué)生在從 a×c+b×c=（a+b）×c過渡到（a+b）×c=a×c+b×c的過程中存在障礙，只能停留在a個(gè)c加b個(gè)c等于（a+b）個(gè)c的模型中，缺乏對(duì)乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型逆向運(yùn)用的一種直觀的感知和深度的理解。因此，如何幫助學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)這一過渡，尤為重要。加強(qiáng)練習(xí)，強(qiáng)化乘法意義的理解，內(nèi)化模型，是實(shí)現(xiàn)有效建模的途徑。

1.基本練習(xí)：根據(jù)乘法分配律，填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（12+40）×3=___×3+___×3

15×（40+8）=15 ×___+15×___

35×69+35×31=（___+___）×35

2.辨析練習(xí)：判斷對(duì)錯(cuò)。

56×（19+28）=56×19+28（）

32×（7×3）=32×7+32×3（）

64×64+36×64=（64+36）×64（）

3.完成課本第26頁第2題,用豎式計(jì)算25×12=？觀察豎式，說說在計(jì)算過程中運(yùn)用了什么運(yùn)算定律。

（板書:25×12=25×（2+10）=25×2+25×10=50+250=300）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以分為機(jī)械學(xué)習(xí)與有意義學(xué)習(xí)，而有意義學(xué)習(xí)要靠理解。意義建模法強(qiáng)調(diào)從乘法的意義入手，在“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)科數(shù)學(xué)”之間搭建橋梁，引導(dǎo)學(xué)生從生活原型中提煉出數(shù)學(xué)模型，以數(shù)形結(jié)合的方式生動(dòng)形象地幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握運(yùn)算律的本質(zhì)及其教學(xué)價(jià)值，強(qiáng)化乘法分配律的本質(zhì)意義。這樣，不僅有利于提高相關(guān)教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性和有效性，而且有利于學(xué)生對(duì)“乘法分配律”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的意義的建構(gòu)，感悟蘊(yùn)含在運(yùn)算律知識(shí)及相關(guān)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中的基本數(shù)學(xué)思想。

［參考文獻(xiàn)］

［1］汪繩祖主編.小學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)（1997年11月第1版）［M］.北京：高等教育出版社，1997.8.

［2］曹培英.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心詞的實(shí)踐解讀之八-模型思想（上）［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（12）.

［3］曹培英.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心詞的實(shí)踐解讀之八-模型思想（下）［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（2）.