滲透數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)算理與算法的有效融合

廣西南寧市橫縣橫州鎮(zhèn)城東小學(xué)（530304）

縱觀我校的計(jì)算教學(xué)，還有許多不盡人意之處：注重算法，忽視算理的理解；課堂上以教師的講解為主，學(xué)生練得少；教師不敢放手讓學(xué)生自主探索算理或是放了收不了，把握不好“放”的度；教師的講解不清楚，沒能有效指導(dǎo)學(xué)生理解算理；等等。那么，在計(jì)算教學(xué)中如何促進(jìn)學(xué)生將算理與算法有效融合呢？在本文中，筆者將結(jié)合自己的認(rèn)識(shí)談一談。

一、算理與算法的含義

算理是指計(jì)算的道理或原理，主要解決“為什么這樣算”的問題，它是計(jì)算的理論依據(jù)，是算法的基礎(chǔ)。算法是計(jì)算的基本程序和方法，主要解決“怎么算”的問題，是根據(jù)算理提煉出來(lái)的計(jì)算方法和規(guī)則。算理和算法是相輔相成，缺一不可的。因此，在教學(xué)時(shí)，教師必須指導(dǎo)學(xué)生理解算理，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，從而形成計(jì)算技能，提高運(yùn)算能力。

二、什么是數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想就像一個(gè)人的靈魂，看不到、摸不著，隱含在顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)中，卻決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方向。

計(jì)算往往被認(rèn)為是最簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容。其實(shí)不然，看似簡(jiǎn)單的計(jì)算卻蘊(yùn)含了非常豐富的數(shù)學(xué)思想，教師在教學(xué)中應(yīng)充分抓住算理的形成過程，使其中的數(shù)學(xué)思想得到挖掘和提煉，進(jìn)而提升學(xué)生的計(jì)算綜合素質(zhì)。

三、滲透數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)算理與算法有效融合

1.數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生理解算理，掌握算法

數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問題的思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

例如，一教師在教學(xué)“多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算”時(shí)，就分三步引導(dǎo)學(xué)生用豎式計(jì)算12×3。

第一步：學(xué)生列出算式12×3=36后，教師在36后面寫了一個(gè)“？”，并提出問題“怎樣驗(yàn)證12×3=36呢？”然后請(qǐng)學(xué)生在作業(yè)本上用畫圖或列算式的方法驗(yàn)證。在展示匯報(bào)環(huán)節(jié)，教師展示了兩種方法：

圖1

圖2

緊接著，教師借助小棒直觀圖和口算的過程，幫助學(xué)生理解12×3=36的算理。

第二步：教師提出要求：請(qǐng)把思考過程用豎式表示出來(lái)。在展示匯報(bào)環(huán)節(jié)，教師展示了兩種方法：

教師先讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)這兩種方法分別是什么原理。有學(xué)生說(shuō)：“先算 2×3=6，再算 10×3=30，最后算 30＋6=36。”接著，教師問：“這三步計(jì)算在畫圖和口算的方法中出現(xiàn)過嗎？”如果學(xué)生能指出，就說(shuō)明他們已經(jīng)理解了筆算過程每一步的算理。這時(shí)，可再請(qǐng)幾名學(xué)生說(shuō)一說(shuō)是怎么算的。

第三步：比較這兩個(gè)豎式，總結(jié)簡(jiǎn)便寫法。

在整個(gè)教學(xué)過程中，教師通過圖式對(duì)照，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的直觀教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生探索口算和筆算的算理，使學(xué)生感悟到筆算方法的合理性，從而掌握筆算的方法。

2.借助轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生理解算理，掌握算法

人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，若應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決某問題時(shí)，往往需要將問題不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。

例如，在教學(xué)“小數(shù)乘整數(shù)”時(shí)，當(dāng)學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立計(jì)算出買3個(gè)蝴蝶風(fēng)箏所需要的錢數(shù)后，教師可讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)他們是怎樣計(jì)算的。

當(dāng)時(shí)學(xué)生的計(jì)算思路有：用加法進(jìn)行計(jì)算；改寫為復(fù)名數(shù)后再進(jìn)行計(jì)算；把“元”化為“角”后再進(jìn)行計(jì)算；等等。

教師組織學(xué)生重點(diǎn)分析，探究把“元”化為“角”算法的原理。在學(xué)生分析、對(duì)比、討論后，教師再引導(dǎo)學(xué)生概括：先把3.5元轉(zhuǎn)化為35角，再計(jì)算35×3=105（角），最后將結(jié)果105角轉(zhuǎn)化成10.5元。學(xué)生從中能明白這種算法的關(guān)鍵是把“元”化成“角”作單位后，將小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)后再進(jìn)行計(jì)算。

至此，學(xué)生了解到小數(shù)乘整數(shù)還可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘整數(shù)后再進(jìn)行計(jì)算，感悟到小數(shù)乘整數(shù)的算理和算法。

3.滲透優(yōu)化思想，加強(qiáng)不同算法之間的對(duì)比

優(yōu)化思想就是在有限種或無(wú)限種可行方案（決策）中挑選最優(yōu)的方案（決策）的思想。

學(xué)生自主探究后往往能得到多樣化的算法。教師要有效利用學(xué)生的差異性學(xué)習(xí)資源，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)多樣化的算法進(jìn)行對(duì)比，以達(dá)到優(yōu)化。

例如，教學(xué)“乘法中的簡(jiǎn)便運(yùn)算”時(shí)，學(xué)生計(jì)算12×25有很多種方法。

此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生比較算法，擇優(yōu)算法：這么多的算法，哪一種算法最簡(jiǎn)便？哪些算法不夠簡(jiǎn)便？為什么？然后，再把幾種不簡(jiǎn)便的算法圈出來(lái)。接著選擇其中用乘法分配律計(jì)算的兩個(gè)算式“（10+2）×25和（6+6）×25”，讓學(xué)生進(jìn)行比較：這兩道題都運(yùn)用了什么定律？哪種拆數(shù)會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便呢？學(xué)生通過比較得出，把12拆成10+2的和計(jì)算更簡(jiǎn)便，因?yàn)?0×25和2×25比6×25更便于口算，而便于口算的方法就是比較簡(jiǎn)便的方法。

通過加強(qiáng)對(duì)不同算法之間的對(duì)比，增強(qiáng)了學(xué)生使用簡(jiǎn)便算法的擇優(yōu)意識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。

4.滲透歸納思想，循序漸進(jìn)地總結(jié)算法

歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。不完全歸納法在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)用比較廣泛。

例如，在教學(xué)“商中間有0的除法”時(shí)，一教師在講解了兩個(gè)例題后，就引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)法則：求出商的最高位數(shù)后，除到被除數(shù)的哪一位不夠商1，就對(duì)著這一位商0。當(dāng)時(shí)筆者覺得這樣的做法很唐突，怎么就能總結(jié)出這樣的法則了呢？這個(gè)法則并沒有緊扣商中間有0的計(jì)算方法，只是教師生硬地導(dǎo)出來(lái)的，學(xué)生沒有真正理解其含義。課后，備課組成員提出修改意見，該教師經(jīng)過深思后，決定改變教學(xué)方式。

先講解 208÷2，再計(jì)算 604÷2 和 804÷4 這兩道題，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)算法。

師：這幾道豎式有什么相同的地方？

生1：百位上沒有余數(shù)。

師：為什么商的十位都是0？

生2：被除數(shù)的十位上是0，0除以任何不是0的數(shù)都得0。

師：歸納成一句話就是“百位上沒有余數(shù)，十位上是0，就商0。

師（小結(jié)）：百位上沒有余數(shù)，十位上的數(shù)比除數(shù)小，也商0。

這樣的小結(jié)，是在學(xué)生真正理解算理的基礎(chǔ)上得到的，也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。像這樣根據(jù)幾個(gè)有限的例子總結(jié)出的計(jì)算方法，運(yùn)用的就是不完全歸納推理思想。

總之，在計(jì)算教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，能夠幫助學(xué)生探索算理、掌握算法，有助于促進(jìn)學(xué)生由形象思維轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笏季S的能力，使學(xué)生變得更聰明。