關(guān)于一道解析幾何考題的解法探究

郭銘紀(jì)

（福建省泉州第一中學(xué)，福建泉州　362000）

這題是2013濟(jì)南市高三3月高考模擬題，筆者把它改編作為一次考試的試題，在考試中，驚喜地發(fā)現(xiàn)了學(xué)生出現(xiàn)了3種不同的解法，說明了在平常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生還是能較好地掌握了一些重要的數(shù)學(xué)思想和方法。筆者也就此題查找了資料，發(fā)現(xiàn)基本就2種解法，深入研究，發(fā)現(xiàn)了6種不同的解法，各種解法聯(lián)系了不同的知識(shí)體系和數(shù)學(xué)方法，是一道不錯(cuò)的一題多解的題目。謹(jǐn)以此文談?wù)劜呗孕灾R(shí)的教學(xué)對(duì)學(xué)生的影響。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多解的現(xiàn)象時(shí)普遍存在的，每個(gè)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備是不同的，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解程度和角度也是各不相同的。高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容有“兩多”：知識(shí)點(diǎn)多，題型多，因此如果一味地講究單純做題而不思考題目背后的東西，是絕對(duì)學(xué)不好數(shù)學(xué)的。一題多解正是一個(gè)學(xué)好數(shù)學(xué)的好方法，一方面一題多解既讓我們復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，又可以發(fā)現(xiàn)題目背后知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，而且它還可以鍛煉創(chuàng)造性思維和多變思維。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過原點(diǎn)O，

（2）由已知，lAC，lBD的斜率存在且不為 0，設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2）

若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，

當(dāng)k=0(此時(shí)m2=2滿足①式)，即直線AB平行于X軸時(shí)的最小值為-2。

評(píng)注：通解通法是平常考試中一時(shí)想不到其他解法的最直接和可靠的解法，也可以鍛煉學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力，運(yùn)算能力。

法二(略解)：由已知，lAC，lBD的斜率存在且不為 0，設(shè) lAC：y=kx 設(shè)，則由得，同理可得

可知： 當(dāng) xA＞0，xB＞0 時(shí)，當(dāng) xA＜0，xB＜0 時(shí)

評(píng)注：方法二是一種數(shù)據(jù)的直覺處理方法，利用點(diǎn)的對(duì)稱性及斜率的關(guān)系直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)，把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為斜率的單變量函數(shù)來處理。

以上兩種方法為常規(guī)常見的解法。通解通法是一種不錯(cuò)的選擇。通過對(duì)解法（一）（二）的詳細(xì)講解，讓學(xué)生能掌握基本的常規(guī)方法，鞏固了所學(xué)過的知識(shí)，突出了本題的重點(diǎn)。仔細(xì)分析、挖掘，發(fā)現(xiàn)了下面的4種解法，可以作為開拓學(xué)生思維，發(fā)揮學(xué)生的積極主動(dòng)性的很好的題型。

評(píng)注：該解法的思路，也就是利用除雙曲線外的幾種曲線的動(dòng)點(diǎn)的最值問題可以用換元法來處理比較簡(jiǎn)單，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)可以用三角換元來處理。

法四(略解)：設(shè)點(diǎn) A（x1，x1），B（x2，y2），由 x2+2y2=8得

當(dāng)x1=x2=2時(shí)取得最大值2，當(dāng)x1=-x2=2時(shí)取得最大值-2。

評(píng)注：這個(gè)處理方法和橢圓的第三定義及點(diǎn)差法類似，通過方程來轉(zhuǎn)化為二元變量，利用均值不等式來處理范圍問題。另：本種解法也可以轉(zhuǎn)化為y1，y2的不等式問題。

法五 (略解)：同解法四得：x12+x22=8，設(shè)

評(píng)注：本解法結(jié)合解法四和解法三來處理問題。到x12+x22=8這一步驟就可以采用圓的三角換元來處理.

法六(略解)：設(shè)點(diǎn) A（x1，y1），B（x2，y2），則，

評(píng)注：方法四是通過方程以及斜率的關(guān)系把變量減少為兩個(gè)，本解法是通過不減少變量，直接利用四個(gè)變量來處理問題。多元變量的處理方法是利用不等式處理最值問題，而柯西不等式可以直接處理x1x2+y1y2問題。

結(jié)語：求解題目的方法有很多，通解通法在一定范圍內(nèi)是一種選擇。通過對(duì)解法（一）（二）的詳細(xì)講解，讓學(xué)生能掌握基本的常規(guī)方法，鞏固了所學(xué)過的知識(shí)，突出了本題的重點(diǎn)。另外的幾種方法的拓展，利用平常所學(xué)的相關(guān)性質(zhì)及解題的方法，不但達(dá)到了認(rèn)知目標(biāo)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的多變思維和創(chuàng)造性思維，讓學(xué)生尋找更加簡(jiǎn)練的解題方法，使學(xué)生擁有成功的喜悅，提高學(xué)習(xí)的興趣。

一題多解和多題一解已廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，更應(yīng)強(qiáng)調(diào)然一題多解和多題一解，以便解決高強(qiáng)度低效率的復(fù)習(xí)效果。一題多解中的“題”指一切數(shù)學(xué)問題，包括基礎(chǔ)知識(shí)、原理和方法，“解”指對(duì)一切數(shù)學(xué)問題多種不同的理解與解決的過程、策略、方法與結(jié)果。可見，一題多解的內(nèi)涵極其豐富，外延十分廣闊。任何解題方法都有其賴以產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而這個(gè)基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)教科書的知識(shí)、結(jié)論、思想方法以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

[1]趙祥枝.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2014（5）：35-37.

[2]周來友.一道課本習(xí)題的十種證法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017（5）：23-25.

[3]周燕偉.女中數(shù)學(xué)變式教學(xué)特點(diǎn)的研究與實(shí)踐[D].蘇州大學(xué),2009.