基于移動質量梁列式的混合編組列車—多跨雙線簡支梁橋垂向耦合振動分析

文穎　陶蕤　何旭輝　周智輝

摘要：現有車橋振動分析需逐步判斷輪對與橋梁單元接觸狀態，增加了多線混合編組列車與多跨橋梁耦合關系建模的復雜性。基于輪對與橋梁密貼模型，通過引入窗函數，建立輪對與橋梁狀態變量的顯式關系，推導了移動質量梁動力特性矩陣；將車輛一系簧上部分視為獨立多剛體系統，建立了混合編組列車一多跨雙線簡支梁橋垂向耦合振動分析通用模型。基于Newmark-β法關于狀態變量的遞推公式，提出了車橋系統方程求解的降階算法，確保計算規模為最小。開展算例分析，驗證了模型的正確性。計算了高速列車一三跨雙線簡支箱梁橋垂向耦合振動響應，結果表明：車體垂向位移較其他響應在雙、單線加載時滿足恒定峰值比；橋梁各跨跨中響應最大值在單線行車時基本不變；與單線加載相比，雙線對稱加載橋跨跨中最大垂向位移近似放大2倍，不對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度出現下降。

關鍵詞：車-橋耦合；混合編組列車；多跨雙線簡支梁；移動質量梁；降階算法

中圖分類號：U211.3；U448.13 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0001-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.001

引言

隨著中國高速、重載鐵路的快速發展，簡支梁橋因架設方便，適應地基不均勻沉降而獲得廣泛應用。例如，京滬高鐵橋線比達到80.5%，雙線簡支箱梁約占橋梁總長度的88%。朔黃重載鐵路預應力混凝土簡支梁橋占橋梁總里程的97.57%。與此同時，開行長大列車能降低鐵路運營成本而被公認為鐵路運輸發展的方向。當長大列車經過多跨雙線鐵路橋梁時，車橋垂向動力相互作用分析需要建立上、下行列車各輪對與各跨橋梁耦合關系，呈現出復雜時變特征。此外，長大列車編組呈現多樣性，當調整列車編組后，車橋垂向耦合振動模型隨之變化，給應用帶來不便。因此，開展混合編組列車一多跨雙線簡支梁橋系統垂向振動的高效、通用分析方法研究十分必要。

現有車橋垂向耦合振動分析的列式方法主要分為兩種：一是將列車與橋梁視為相互作用的整體，采用直接積分法求解系統響應；二是分別建立車輛和橋梁子系統的運動方程，以輪軌位移銜接條件及輪軌力趨向定值作為收斂條件，迭代求解系統響應。它們的共同特點是，每一時間步通過逐一判斷各輪對與各橋梁單元是否接觸，分別更新車橋系統動力特性矩陣和輪軌力，未建立車橋相互作用通用顯式模型。開展混合編組列車一多跨雙線鐵路橋梁系統垂向振動分析，逐步判斷車橋接觸狀態而修正車橋耦合作用模型是一項復雜而耗時的工作。文獻提出了長大列車縱向動力學建模的循環變量方法，解決了傳統方法車輛模型通用性差和數據處理效率低的問題，未考慮車橋垂向耦合作用。Yang和Wu提出了車輛一橋梁互制單元，盡管采用動力凝聚技術顯著降低求解規模，仍需逐步更新輪對一橋梁耦合關系，當考慮長大列車通過多線橋梁時，不可避免地消耗大量計算資源。此外，更換列車編組后，必須修正計算程序，不便于工程應用。

本文假定列車輪對與橋梁接觸。將輪對與橋梁視為整體，基于時間窗函數，給出輪對與橋梁狀態變量的關系通式，構造移動質量梁模型。將一系簧上部分（包括車體、轉向架和二系懸掛）視為獨立多剛體系統（忽略縱向車鉤力作用）。基于彈性系統動力學總勢能不變值原理，建立了適用于任意編組列車一多跨雙線簡支梁橋系統垂向振動分析的顯式動力特性矩陣，基于Newmark-β法關于速度和加速度的遞推公式，提出了車橋耦合大系統運動方程求解的降階算法。通過與文獻結果對比及計算單、雙線“先鋒號”高速列車經過某三跨簡支梁橋時車橋系統動力響應，驗證了車橋垂向耦合作用通用模型和求解算法的正確性及適用性。

1車橋系統垂向耦合作用模型

本文考慮混合編組列車與雙線鐵路多跨簡支梁橋的垂向耦合作用（如圖1（a）所示），忽略列車橫向振動與垂向振動的弱耦合特性（當考慮車橋系統在靜平衡位置附近發生垂向線性微振動時，該假定是合理的），主要目的是建立長大列車一多跨雙線鐵路橋梁系統垂向振動的高效、通用分析方法。

1.1車輛獨立多剛體模型

下文選取經典四軸鐵路車輛模型為研究對象，本文提出的車橋系統垂向耦合動力學通用分析方法能模擬系列不同類型車輛而無需修改分析程序。假定列車以恒定車速進出橋梁（上、下行線的列車運行速度分別為v₁和v₂），混合編組列車共包含n_v輛車、n_w個輪對，第n輛車與第n+1輛車的相鄰輪對間距為△d_n。車輛垂向動力學參數如圖1（b）所示，它們的含義是：m_c，J_c和m_t，J_t分別為車體和轉向架的質量和面內轉動慣量；k_tw，c_tw和k_ct，c_ct為一系和二系懸掛剛度和阻尼常數；m_w為輪對質量。

假定列車輪對與橋梁密貼，輪對自由度不再是獨立變量。車輛模型的獨立自由度包括車體點頭角θ_c和沉浮位移z_c，前、后轉向架點頭角θ_t1、θ_t2和沉浮位移z_t1，z_t2。因此，圖1（b）中車輛一系懸掛以上部分形成了獨立多剛體系統。車輛獨立多剛體模型的位移向量為

（1）式中各位移分量的正方向如圖1（b）所示，n（n=1，2，…，n_v）表示車輛在列車編組中的序號。車輛獨立多剛體模型的質量矩陣Mⁿ_v，阻尼矩陣Cⁿ_v和剛度矩陣Kⁿ_v由下式得到

1.2移動質量梁列式

前節已指出列車輪對沒有獨立自由度，將與橋梁形成相互作用的整體。因此，移動輪對與橋梁構成了“移動質量梁”。移動質量梁的慣性特性來源于梁體均布質量m_b、梁截面轉動慣量I_xb和輪對集中質量m_w，剛度與阻尼特性（假定輪對為理想剛體且與橋梁保持完全剛性接觸）與原始橋梁一致。為了定量分析移動車輪對“移動質量梁”慣性特性的貢獻，必須先確定輪對狀態參數（位移、速度及加速度）。當輪對與某橋梁單元接觸后，輪對運動狀態由運行速度及梁單元節點狀態參數唯一確定。

1.2.1輪對一橋梁單元相對位置分析

如前所述，針對混合編組列車一多跨雙線橋梁系統垂向振動分析問題，倘若逐步判斷所有輪對與橋梁單元的接觸狀態，將消耗大量計算資源。文獻在求解系列移動質量引起的簡支梁垂向振動響應時，通過定義窗函數，確定質量單元與簡支梁橋的耦合關系。本文借鑒該思路，引入與橋梁單元對應的窗函數，建立描述輪對與橋梁單元接觸狀態的通用模型。首先引入如圖2所示的單位階躍函數

假定橋梁被劃分為n_b個單元，x^k₁和x^k₂表示第k個單元節點局部坐標（以列車進橋端為坐標系原點，列車前進方向為正方向），則l_k=x^k₂-x^k₁為第k個單元的長度。列車進入橋梁的瞬時計為t₀（上、下行線列車進橋時刻分別標記為t^u₀和t^d₀），則第n輛車第h個輪對到達和離開第k個梁單元的時刻分別為：

進入第k個梁單元的時刻

離開第k個梁單元的時刻

1.2.2列車輪對一橋梁運動狀態參數顯式關系模型

為了突出混合編組列車一雙線多跨簡支梁橋系統垂向振動分析的通用建模方法研究，忽略軌道結構的傳力作用。本節將利用上節得到的輪對與橋梁單元相對位置表達式，建立輪對與橋梁狀態參數間的顯式關系模型。由于該模型與車輛類型無關，適用于混合編組列車建模。基于輪對一橋梁密貼假定，輪對狀態參數滿足如下全微分關系

1.3車輛獨立多剛體系統一移動質量梁耦合關系列式

本文以車輛一系懸掛為界，將車橋系統處理為車輛獨立多剛體一移動質量梁相互作用系統。前兩節已分別建立車輛獨立多剛體系統和移動質量梁的動力特性矩陣。本節從能量原理出發，推導描述車輛獨立多剛體系統一移動質量梁相互作用的動力特性矩陣。一系懸掛內力勢能U_s的一階變分如下

（14）其中與移動質量梁運動狀態相關的子矩陣均是時間的顯式函數，反映了車輛獨立多剛體系統一移動質量梁相互作用的時變特性。

2車橋系統運動方程高效求解的降階算法

本文采用彈性系統動力學總勢能不變值原理和形成矩陣的“對號入座”法則，建立車橋系統運動方程。車橋系統總勢能包括前文提到的車輛獨立多剛體系統慣性力、彈性力及阻尼力勢能U_v、移動質量梁慣性力、彈性力及阻尼力勢能U^I_gb+U^e_gb+U^d_gb、一系懸掛內力勢能U_s以及反映車輛對橋梁靜力加載的車輛重力勢能V_v。因此，車橋系統的動力平衡條件為

（15）

（16）將式（2），（11），（14）和（16）代入式（15），可得車橋系統運動方程如下

本文采用Newmark-β法求解式（17）。對于按四軸車輛編組的列車一雙線鐵路多跨簡支梁橋系統，總自由度數為2×n_v×6+3×N-n_c（n_c為橋梁約束自由度數）。隨著列車編組數量和橋梁跨數的增加，系統動力特性矩陣階數將變得異常龐大，嚴重影響計算效率。為了縮減計算規模，采取分別求解車輛和移動質量梁運動方程的策略。下面以計算車橋系統t+△t時刻動力響應為例進行說明。由New-mark-β法關于計算t+△t時刻速度和加速度的遞推公式得

（20）式（19）和（20）都以t+△t時刻車橋系統位移為待求變量，它們構成聯立代數方程組。當列車總自由度數多于橋梁總自由度數時（例如，考慮單跨雙線鐵路橋梁通行長大列車），將式（19）代入式（20），可得求解q^t+△t_b的聯立方程組

與式（17）相比，式（21）的待求變量僅剩下橋梁位移，待求變量明顯減少。倘若列車總自由度數少于橋梁總自由度數（例如，考慮單輛車通過多跨橋梁），則將式（20）代入式（19），得到以車輛位移q^t+△t_v為全部待求變量的聯立方程組，上述降階算法的目的是確保車橋系統耦合振動分析的待求變量數為最少。

3算例驗證

本節選取文獻中四軸車輛一單跨簡支梁橋系統垂向振動分析算例進行比較說明，車輛和橋梁參數見文獻。車體垂向位移和橋梁跨中撓度時程如圖5（a）和（b）所示。

當t=1.04s時，車體垂向位移達到最大值1.56mm。橋梁跨中最大撓度及其出現時間分別為2.01mm和t=0.86s，均與文獻的結果一致。其他時刻車橋系統動力響應與文獻結果吻合良好，從而驗證了基于移動質量梁列式的車橋垂向耦合振動分析通用模型及運動方程求解的降階算法正確性。

4實例分析

本節考慮混合編組列車一雙線3跨24m混凝土簡支梁橋垂向耦合振動分析。橋梁橫截面如圖6所示。橋梁混凝土密度ρ_b=2500kg/m³，混凝土彈性模量和剪切模量分別為35GPa和14GPa，橋梁阻尼比取2%。箱梁截面特性參數如表1所示。車輛選取“先鋒號”高速列車模型，列車編組為1動+1拖+2動+1拖+1動，車輛模型動力學參數如表2所示。分別計算橋上單線行車（v₁=270km/h）和雙線對開（v₁=v₂=270km/h）條件下車橋垂向耦合振動響應。

由圖7可知，單線加載時首輛動車和拖車車體垂向位移最大值分別為0.474mm和0.537mm，雙線加載時對應的最大值分別為0.782mm和0.888mm，雙、單線行車條件下，動車和拖車車體垂向位移最大值的比值約為1.65且幾乎同時達到最大值。由圖8和9可知，首輛動車和拖車車體垂向最大加速度在雙、單線加載條件下的比值分別為1.79，1.64，最大點頭角之比為1.96，1.48。此外，車體垂向峰值位移在雙、單線加載時滿足一致比例（最大差別在6%以內）。車體垂向加速度和點頭角盡管同時達到峰值，但雙、單線行車峰值響應比并不維持恒定比例。

由圖10不難發現，單線行車條件下各跨橋梁跨中最大垂向位移均穩定在0.828mm，扭轉角為3.25×10^-5rad，跨中垂向位移和扭轉角時程基本滿足一致變化規律，可見列車進入各橋跨的初始狀態對橋梁振動響應并無影響。雙線對開條件下，各跨跨中最大垂向位移分別為1.34，1.60和1.34mm，是單線加載結果的1.63，1.93和1.63倍。由于第二跨橋梁跨中響應達到極值時，雙線列車恰好以跨中對稱布置，跨中撓度近似是單線加載結果的2倍，扭轉角則趨于零。各跨橋梁跨中最大垂向加速度（如圖11所示）在單線加載時保持不變（大致為0.077g），雙線對開加載時各跨橋梁跨中最大垂向加速度分別是單線加載結果的0.73，1.84和0.79倍，顯見對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度獲得放大，但不滿足2倍關系，而不對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度則下降。

5結論

針對雙線混合編組列車一多跨橋梁垂向耦合振動分析通用模型的建立問題，本文通過引入時間窗函數，給出了輪對及橋梁狀態變量通用顯式表達式，提出了考慮輪對對橋梁移動加載作用的移動質量梁列式。將車輛-系簧上部分視為與列車編組無關的獨立多剛體系統，建立了混合編組列車一雙線多跨簡支梁橋垂向耦合振動分析通用模型，推導了車橋系統顯式時變動力特性矩陣，基于Newmark-β法關于相鄰時刻速度和加速度的遞推公式，提出了車橋系統運動方程求解的降階算法，以最低計算規模獲得車橋系統動力響應。

通過分析文獻算例，驗證了車橋垂向耦合振動分析的通用模型和求解算法的正確性和適用性。計算了“先鋒號”高速列車一三跨雙線簡支梁橋系統動力響應，結果表明：

1）車體垂向位移在單、雙線行車條件下幾乎同時達到極值，雙、單線加載的峰值響應比按相同規律變化。車體垂向加速度和點頭角同時達到峰值，但峰值響應比不同。

2）單線行車條件下，各橋跨跨中動力響應的最大值基本不變且具有相同時程（因列車進橋時間不同，相位有差別），反映出列車進橋狀態對橋梁振動影響不大。

3）雙線對開條件下，對稱加載橋跨跨中最大垂向位移是單線的2倍，跨中扭轉角等于零，與靜力加載結果一致；對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度獲得放大，但不滿足2倍關系，不對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度則出現下降。