周期胞元平面桁架結構等效動力學分析

柳劍波　王立峰　金棟平

摘要：基于能量等效研究了周期胞元構成的平面桁架結構等效動力學建模問題。通過相鄰胞元應變協調條件，將胞元的應變場階次降階為Timoshenko梁對應的應變場階次。根據周期胞元的中心位移，獲得胞元應變能與動能，進而利用Hamilton原理得到平面桁架結構等效連續體動力學方程。基于等效連續體模型和有限元模型，對周期胞元桁架結構進行了固有特性分析，驗證了等效連續體模型的正確性和精度。

關鍵詞：結構動力學；平面桁架；周期胞元；連續體；能量等效

中圖分類號：V414.2 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0067-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.008

引言

桁架結構由于具有構造簡單、質量輕、方便收攏及展開等特點而廣泛地應用于航天領域，如作為衛星天線的框架、太空望遠鏡的支撐結構、空間站的骨架等。這些大型空間結構通常由多個幾何形狀、材料均相同的單元（簡稱為胞元）周期排列而成。如果能利用這種結構內部胞元周期排列特征建立簡化等效動力學模型，則不僅可以降低動力學分析的計算量，而且可以為動力學控制提供降階模型。

人們很早就考慮采用均勻化方法，建立具有周期排列胞元桁架的等效連續體模型。例如，Heki和Saka建立胞元與連續體相應微段力之間的關系，得到了各向異性結構的拉伸、彎曲、剪切剛度以及它們之間的耦合項，并討論了不同胞元的穩定性。該領域的相關工作建立了不同構型桁架胞元的等效剛度矩陣和質量矩陣，比較了它們的有效剛度，即剛度與密度的比值。Noor和Russel建立了含周期排列胞元的長方體狀桁架等效連續體模型。由于胞元的不對稱性，該桁架的軸向變形與剪切變形，彎曲與扭轉均存在耦合。Lee采用譜元法建立了一個含周期排列胞元的大型梁結構的連續體模型，通過組裝胞元內每個構件的譜元矩陣得到轉換矩陣。Burgardt和Cartraud基于能量等效，用平均化方法建立了平面梁型桁架的連續體模型，并對其進行了靜力學分析。

近期，salehian和Inman研究了由周期排列胞元組成的直線式平面桁架的等效連續體模型。該桁架胞元由一個四邊形單元（單隔間）構成，由單隔間組成的胞元對其橫截面內應變分量進行Taylor級數展開時無需考慮二階項的影響。他們基于能量等效得到等效連續體模型，分析了桁架面內振動的動力學特性。此外，他們研究了連續體等效動能計算時應變項對等效精度的影響、桁架中阻尼等效以及胞元中含繩索等動力學問題。郭宏偉和劉榮強針對由單隔間胞元構成的橫截面為矩形的索桿鉸接式伸展臂，研究了等效連續體模型，劉福壽和金棟平在研究大型環形桁架天線時，將單隔間胞元等效為一維空間梁，得到了由多個一維梁拼接而成的簡化模型。

本文研究對象是一種由周期排列胞元組成的平面桁架，它在航天領域有廣泛應用。與salehian和Inman的研究對象不同之處是，該桁架的胞元由兩個四邊形單元（雙隔間）構成。為充分考慮橫截面內的局部變形，Noor等在對這種類型胞元橫截面內的應變分量進行Taylor級數展開時取到二階項，本文則研究了其他高階項的影響。郭宏偉等與劉福壽等在推導等效連續體模型時先計算胞元的動能和應變能，使之與等效連續體模型的動能和應變能分別相等，從而得到連續體模型的等效質量矩陣和剛度矩陣。本文在得到了胞元的動能和應變能后，直接運用Hamilton原理建立連續體模型的偏微分動力學方程，解析求解不同邊界條件下桁架固有振動頻率，通過與有限元結果對比，驗證等效模型的正確性。本文還基于等效連續體模型，分析彈性模量對桁架各階固有頻率的影響，得到有助于結構動力學性能設計的結論。

1平面桁架的等效連續體模型

研究圖1所示含有周期胞元的平面桁架結構，每個胞元由4根縱桿、2根斜桿及3根橫桿組成，圖中l，b和d分別對應于縱桿、橫桿和斜桿。由于左右兩側橫桿為相鄰兩個胞元所共用，因此計算橫桿的截面特性時取為原值的一半。在建立桁架等效連續體梁模型時，需要推導胞元應變能及動能關于胞元中心處位移分量導數的表達式。將這些位移分量作為連續體梁模型的位移分量，利用Hamilton原理得到桁架的偏微分動力學方程。

1.1胞元應變能

對于圖1中平面桁架的典型胞元，按照右手定則建立原點位于胞元中心的直角坐標系o-xz。對于小變形，胞元橫截面任意點x和z軸上位移分量u和w沿x軸線性變化，因而可將橫截面上任意點的位移表示為

2算例分析

根據式（29）解析求解不同邊界條件下的固有振動頻率。為驗證梁等效模型的正確性，運用Patran建立平面桁架的有限元模型，采用bar單元離散桁架中的桿件。以有限元計算結果作為參考值，定義相對誤差為

（31）式中f_i和f^eq_i分別為桁架有限元模型和梁等效模型的第i階固有頻率。表1和2分別為兩端簡支邊界條件下9個胞元組成的平面桁架彎曲固有振動和軸向固有振動的頻率對比。結果表明，采用等效模型解析得到的固有頻率與有限元計算結果相互吻合。隨模態階次提高，梁等效模型的誤差逐漸增大。這是由于低階模態波長更大，單個波長包含的胞元數目更多，等效模型的誤差就會更小。

為進一步驗證等效連續體模型的精度，現對比分析連續體模型和有限元模型在兩端自由邊界條件下的彎曲固有振動頻率和軸向固有振動頻率，結果如表3和4所示，可見等效連續體模型具有較高精度。

兩端簡支含不同胞元數的桁架等效連續體模型計算精度如圖3和4所示。由圖4可見，當胞元數增加時，等效連續體模型的各階模態等效精度逐漸增加，這是由于胞元數增加，單個波長包含更多的胞元數目，桁架的梁特征更加顯著。

得到了等效連續體模型后，可比較方便地分析不同材料參數、結構參數對桁架固有振動特性的影響。圖5給出了橫桿、縱桿、斜桿彈性模量對兩端簡支桁架各階彎曲振動頻率的影響。縱坐標增大的百分比定義為

由圖5可見，彎曲振動頻率隨著縱桿和斜桿的彈性模量增加而提升，而橫桿彈性模量對彎曲振動頻率基本無影響。此外，縱桿彈性模量對低階彎曲頻率影響大，而斜杠彈性模量則對高階彎曲頻率影響大。這是因為桁架彎曲振動時，主要是上下兩根縱桿一根抗拉，另一根抗壓，所以縱桿的拉伸剛度對桁架的彎曲振動頻率影響更大。當桿件橫截面積不變時，縱桿彈性模量對桁架彎曲振動頻率影響更大。

3結論

基于能量等效原理，獲得了周期胞元結構平面桁架的Timoshenko梁模型，證明了該雙隔間胞元橫截面內應變分量的Taylor級數展開式不僅二階項為零，其余高階項均為零。解析給出了不同邊界條件下的桁架固有振動頻率，通過與有限元計算結果對比，驗證了桁架等效連續體模型的正確性和計算精度。結果表明，胞元越多，等效連續體模型計算精度越高；桁架低階固有振動頻率受縱桿彈性模量影響大、高階固有振動頻率受斜桿彈性模量影響大、橫桿彈性模量對固有振動頻率基本無影響。當對桁架動力學性能設計時，若需增大桁架的低階固有振動頻率可調節縱桿的材料參數，選擇彈性模量更大的材料，而若需增大桁架的高階固有振動頻率則可相應調節斜桿的材料參數，從而實現快速結構設計。