有限長周期支撐結構貝葉斯概率損傷識別研究

尹濤　尹孟林　賈曉健

摘要：提出了一種有限長周期支撐結構損傷概率識別方法。基于特征波導納原理，分析諧調與存在單一擾亂周期支撐結構的自由波傳播規律，建立含單擾亂周期支撐結構的頻率特征方程。提出一種無量綱自振頻率概念，并運用敏感性分析方法，建立有限長周期支撐結構無量綱自振頻率相對于基本周期單元剛度變化敏感性矩陣的一般形式，分析表明所提出無量綱自振頻率及其敏感性矩陣與周期支撐結構具體幾何材料參數無關，避免敏感性分析對于精確有限元模型的依賴。結合貝葉斯理論與馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）模擬算法，實現基于測量自振頻率變化的有限長周期支撐結構單元損傷的概率識別。通過對一含螺栓接頭的周期支撐梁實驗室模型開展研究，對提出方法的正確性與有效性進行驗證。

關鍵詞：周期支撐結構；概率損傷識別；敏感性分析；特征波導納；貝葉斯理論

中圖分類號：TB123；0346.5 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0091-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.011

引言

近些年來，周期結構在工程領域中獲得了廣泛的應用，如復合材料層合結構、航天器太陽能電池帆板、超高層建筑、多跨連續橋梁、鐵路軌道系統、高速鐵路弓網系統以及長輸油氣管線等都可視作由相同子結構首尾串聯而成的鏈狀周期結構系統。周期結構具有獨特的帶隙（即頻率通帶和阻帶）現象，其表現在當振動波處在結構的頻率通帶范圍內時，波能傳遍整個結構而不發生能量和振幅的衰減，而當波處在結構的頻率阻帶范圍時，波將發生能量與振幅衰減，而不能傳遍整個結構。此外，結構的周期特性使得對其動力學分析具有顯著優勢，即對其自由振動進行精確的波動分析不要求對結構進行完全的模擬，利用周期結構這一特性，可以簡化分析過程，提高計算效率。目前國內外對周期結構的研究工作大都集中于其帶隙特性以及波動局部化等特殊力學特性上，主要利用這一特殊性質指導周期結構的振動控制及優化設計等研究，而對于周期結構損傷檢測的研究工作尚鮮見報道。

結構發生損傷時通常會導致其局部剛度降低，進而影響其動力特征參數，結構損傷識別的動力法正是利用測量動力特征參數變化來反演結構剛度降低發生的部位及其程度。其中，敏感性分析方法基于動力特征參數對結構模型參數變化的敏感性分析以實現結構損傷動力識別，該類方法概念明確且易于實施，因而基于實測動力特征參數變化敏感性分析的結構損傷檢測一直受到關注。該類方法實施的關鍵在于選取可測且對結構損傷敏感的動力特征參數，而結構模態參數在實際工程中相對容易測量且對結構整體剛度改變較為敏感，因而應用較廣泛，報道較多的損傷檢測模態參數有結構的固有頻率、模態振型及模態振型曲率等。例如，cawley和Adares最早將固有頻率敏感性分析運用于結構損傷識別研究，通過固有頻率敏感性分析對簡單結構的損傷位置和損傷程度進行了識別；wahab和Ro-eck提出了基于振型曲率敏感性分析的損傷識別方法，并將其應用于實際橋梁結構；chang和Kim針對某實際桁架橋結構，研究比較了固有頻率、模態振型、模態置信準則（MAC）及坐標模態置信準則（COMAC）等對于桁架橋豎向撐桿損傷的敏感性。孫國等提出基于模態誤差函數靈敏度分析的損傷識別方法，通過將少數優勢單元參數的提取，實現逐次擴增的參數更新策略；尹濤等結合自振頻率、模態振型及模態應變能的敏感性分析方法與攝動法開展了框架結構的概率損傷識別研究。

應指出，由于未考慮周期結構特性，將以上敏感性分析方法直接應用于大型周期結構將存在計算量大、識別效率低等問題。此外，目前敏感性方法通常依賴于較準確的結構參數化模型，即需要通過健康結構建模獲得結構模態參數對損傷參數的敏感性系數，而對于無法準確獲知結構健康狀態下幾何物理參數的情況，以上方法的應用就存在明顯局限性。Zhu和Wu運用波傳播理論獲得了周期彈簧-質量系統的頻率特征方程，并基于固有頻率敏感性分析對多高層建筑模型進行了損傷識別，但該方法應用范圍僅限于能簡化為彈簧-質量系統的結構，實際適用范圍受到較大限制，且該方法為確定性方法，未考慮測量噪聲等不確定性因素對識別損傷結果的影響。

本文在文獻基礎上，運用波傳播方法分析了具有N個單元的周期支撐結構的自由振動特性，提出一種無量綱自振頻率概念，并得到無量綱自振頻率與基本周期單元整體剛度變化率之間的關系。建立無量綱自振頻率變化率對單元損傷的敏感性識別方程組，并采用貝葉斯理論進行分析求解，得出損傷參數的最大可能值，同時顯式評估各周期單元損傷程度的不確定性，進而定量判別各周期單元的損傷概率，實現周期支撐結構的概率損傷識別。此外，本文周期支撐結構無量綱自振頻率的敏感性不依賴于結構的具體幾何材料參數（如質量密度、彈性模量、單元長度及橫截面形狀尺寸等），具有顯著的優越性和實用性。通過對一含螺栓接頭的周期支撐梁實驗模型開展損傷識別研究，對本文方法的正確性進行驗證。

1理論背景

1.1無限長諧調單耦合周期系統波傳播

各基本周期單元左右兩側耦合坐標點處位移和力的相互關系可以表示為

聯立公式（1）和（2）可得

由式（3）可得到導納與波傳播常數之間的關系

進一步可得到傳遞波和反射波對應的特征波導納分別為

1.2含單擾亂的單耦合周期支撐結構頻率特征方程

圖2表示具有N個質點的單耦合有限周期結構，C和D為任意邊界，j單元出現擾亂（或損傷），假設在左邊界C施加激勵力，入射波將向擾亂單元j傳播并對其產生影響。當傳播到擾亂單元后，一部分被反射回振源，另一部分則穿過擾亂單元繼續傳播至另一邊界D并再次部分反射，因此，波的運動過程可以表示為人射波運動與反射波運動的疊加，在擾亂單元左邊界A引起的總位移為

則擾亂單元兩端力與位移之間可通過單元導納進行聯系，即

理論上，式（13）中給出的頻率特征方程適用于任何存在單擾亂的單耦合周期結構體系，但文獻基于該理論提出的損傷識別方法僅適用于簡單的彈簧一質量系統，應用范圍受到較大限制，本文將該理論推廣應用于解決更具一般性的周期支撐結構損傷識別問題。圖3表示本文所研究的具有N個基本周期單元的周期支撐結構，其中假定第j單元為損傷單元，損傷程度以單元整體剛度降低來表征。

周期支撐結構中健康周期單元的直接導納與間接導納可以分別表示為

通過式（23）描述的頻率特征方程能計算得到健康狀態下周期支撐結構的各階無量綱自振頻率值。

1.3敏感性識別方程組建立與貝葉斯概率識別

在多單元損傷情況下，任意階無量綱自振頻率變化可近似為單損傷引起無量綱自振頻率變化的線性疊加，若忽略高次項，則損傷引起的總變化率為

實際應用中，周期支撐結構損傷前后固有頻率測量值不可避免地存在噪聲，將導致與實測值對應的無量綱頻率變化率與敏感性預測結果產生偏差，即

本文基于貝葉斯理論進行概率損傷識別，給出周期支撐結構各單元損傷參數的最大可能值，同時顯式評估各單元損傷程度的不確定性，進而判別各單元損傷概率，所得結果更具合理性。定義數據集D為損傷前后重復測量獲得的N_s組無量綱頻率相對變化率（通過式（19）計算），依據貝葉斯定理，在給定測量數據集D與周期結構模型C_N的條件下，損傷參數△θ的后驗概率密度函數可以表示為

將本文貝葉斯概率識別方法主要流程概括如下：

1）假定未知參數先驗分布的均值與方差，依式（31）與（32）形成先驗分布p（△θ|C_N）；

2）通過重復模態試驗獲得周期結構損傷前后的N_S組自振頻率向量，再依式（19）計算得到相應組數的無量綱頻率相對變化率向量；

3）基于步驟2），根據式（26）與（30）形成誤差函數J₁（△θ；D，C_D），再通過式（29）計算似然函數p（D|△θ，C_D）；

4）結合步驟1）和3），通過式（28）形成未知參數A0的后驗概率密度分布函數p（△θ|C，C_D）；

5）運用MCMC算法在步驟4）所定義的后驗分布中對AO進行抽樣，獲得后驗分布在參數空間θ中的樣本△θ^（i）；

7）令損傷閾值d在取值區間[0，1）內以一定步長變化，在各離散閾值點處通過式（37）分別計算獲得周期支撐結構第j單元發生損傷的概率。

2模型實驗驗證

本節通過含螺栓接頭的實驗室五跨周期支撐梁模型來驗證本文提出的方法。如圖4（a）所示，該周期梁結構模型由5段均勻鋁質扁梁通過跨中螺栓連接而形成，整段梁結構等間距支撐于6個鋼質支座上，包含1個固定支座（最左端）與5個支撐支座，每個支座均通過螺栓與槽鋼底座連接。其中，固定支座通過上下兩根鋼條將鋁梁最左端鉗固以模擬周期梁左端固定邊界，而其余各支座則通過鋼質轉動軸承限制鋁梁在支座處的豎向位移來實現一般支撐邊界條件，兩種形式支座局部構造分別如圖4（b）與圖4（c）所示。此外，將相鄰兩支座之間的梁段視為一個基本周期單元（如圖4（d）所示），且規定梁最左端固定支撐與其相鄰支撐之間梁段為1號周期單元，從左至右依次為2，3，4，5號周期單元。每個基本周期單元跨中均通過上下兩塊等尺寸鋁質夾片與4個螺栓將各相鄰梁段連接成整體，如圖4（e）所示，全梁共5個螺栓接頭。視整段梁所有跨中螺栓全部緊固為健康基準狀態，而通過松動某基本周期單元跨中接頭螺栓以降低接頭剛度，進而模擬該周期單元的損傷狀態。該周期鋁梁的具體幾何與材料參數由表1給出。

本文采用的實驗裝置系統如圖5所示，其主要由實驗梁模型、IEPE型加速度計（KT—1000LC）、測試導線、八通道信號采集卡（MPS-140801）、沖擊力錘、筆記本電腦以及基于LabVIEw編程的信號采集軟件所構成，該軟件能實現加速度信號的實時顯示、回放以及存儲等基本功能。加速度傳感器布置在距每跨梁段中部接頭6cm處，全梁共布設5個，整體與局部布置方式分別如圖5（a）與圖5（b）所示。通過沖擊力錘對周期梁施加豎向沖擊荷載，其作用點距離第一跨右支撐15cm處，如圖5（c）所示。本實驗采樣頻率設為500Hz，以滿足采樣定理，且每次采樣時長約為10s，以包含完整的自由響應信號時間段，實驗模態參數識別利用采集的自由響應數據基于自編ERA算法實現。

本次實驗共考慮了兩種損傷工況，每種工況均有5個待識別損傷參數，即△θ={△θ₁，△θ₂，…，△θ₂₅}^T，分別對應各梁跨的整體剛度降低率。其中，第一種工況僅松動第4號周期梁段跨中鋁質夾片的部分螺栓，為單損傷工況；第二種為雙損傷工況，其在前一工況基礎上進一步松動第5號周期梁段跨中接頭的部分螺栓，即此工況下第4，5號周期梁段同時發生損傷。應該指出，本文針對周期支撐梁結構所提出的損傷識別方法其識別對象為各跨梁段的整體剛度降低，因此，本實驗通過調整部分周期梁段接頭螺栓松緊而造成的梁段跨中局部剛度降低程度，在本文方法框架內將通過其導致的梁段整體剛度降低來反映。

通過重復模態試驗，分別獲得周期結構健康狀態及各損傷工況下的前3階固有頻率各10組，如圖6所示，即N_t=3，N_s=10。從圖中可以明顯看出，頻域區間被此3階模態分成3條明顯的條帶，各頻帶內各狀態下重復測量所得的模態頻率值波動很小，測量結果較穩定。具體地，工況1所設置的損傷對結構第2階固有頻率基本無影響，而對于第3階模態的影響也較小，相比之下，工況2所對應損傷情況對于后兩階模態頻率都有相對明顯影響。同時，兩種損傷工況對第1階固有頻率影響都較明顯，尤其是工況2。此外，為定量反映各損傷情況下模態頻率的大小及變化程度，表2給出各工況下重復測量獲得的前3階固有頻率均值及變異系數（COV）結果。可以看出，該表給出結果與圖6體現的規律相符，同時也反映本次模態試驗獲得的相關固有頻率實測結果的不確定性程度較低。

基于獲得的模態試驗數據，采用MCMC方法進行損傷參數AO的后驗分布采樣，先驗分布取為零均值高斯分布，模擬次數NMC設為6×10⁴，且取后半部分穩定樣本進行參數估計。以工況1為例，圖7和圖8分別表示各未知參數后驗分布樣本的散點圖矩陣與采樣歷程。其中，圖7中給出的散點圖矩陣為散點圖的高維擴展，一定程度上克服了在平面上展示高維數據的困難，直觀反映出各損傷參數之間的相關性，如△θ₁與△θ₅，以及△θ₂與△θ₄之間具有較明顯的線性正相關性。實事上，固有頻率作為結構整體參數，其對結構對稱位置的損傷判定存在困難。盡管本文五跨周期支撐梁實驗模型左端邊界固定，但整體結構仍保留有一定程度的對稱性特征，而給△θ₁與△θ₅（或△θ₂與△θ₄）的同時識別帶來一定困難。此外，從圖8可以明顯看出，MCMC模擬中各參數收斂情況較好，且處于周期梁結構中間位置的第3跨損傷參數△θ₃的樣本波動較大，反映其后驗估計的不確定性程度較大。

事實上，本文提出的損傷概率判定條件（即式（37））建立在未知損傷參數后驗樣本近似服從正態分布基礎之上，因而圖9以工況1為例對MCMC后驗樣本的正態分布特征進行檢驗。該圖表示通過MCMC方法采樣獲得的未知參數后驗分布樣本的正態分布概率校驗圖，其很明顯地反映各參數后驗分布穩定樣本點絕大部分落在各條斜直線上，表明各未知參數的穩定后驗樣本服從正態分布。同時，也可以明顯看出損傷參數A03樣本斜率大于其余參數，表明該參數后驗估計的不確定性較其余未知參數大，與圖8中的現象吻合，工況2所得規律與工況1類似。

圖10表示兩工況下通過MCMC方法抽樣獲得的各損傷參數后驗樣本的統計直方圖與相應正態分布擬合曲線，該圖進一步表明損傷參數的穩定后驗樣本服從正態分布，這與圖9給出的概率分布校驗結果相符。同時，從圖10中也可以看出兩種工況下損傷參數A03后驗分布的標準差較其他參數大，而其余參數不確定性程度比較接近，這與此前獲得結論相一致。此外，依式（19），（24）以及（25）可知，本文各周期梁段損傷參數△θ_j（j=1，2，…，N，N=5）識別結果大于0即認為該參數對應梁段理論上發生損傷。對于工況1，圖10（a）反映出損傷參數△θ₄后驗樣本均值相對于其余參數明顯大于0，這表明第4號梁段整體上很可能發生剛度降低。工況2結果類似，圖10（b）表明損傷參數△θ₄與△θ₅所對應梁段發生整體剛度損失的可能性較大。

應該指出，圖10給出結果從均值角度反映出各工況下的實際損傷部位與其近似損傷程度，但其判定是以0為基準。從概率論與數理統計理論上看，以0作為損傷與否的判定基準其可靠性值得商榷。針對該問題，本文設置在給定域內變化的損傷程度閾值d，計算損傷參數的最可能識別值超過該閾值的概率，以合理反映不同閾值下的損傷發生概率，其計算結果如圖11所示。從該圖中可以明顯看出，兩種工況下對應于不同損傷程度閾值的各損傷參數以損傷出現的概率大小表征，且損傷概率隨損傷程度閾值增加而逐漸降低。同時，工況1中實際發生損傷的第4號周期單元（對應損傷參數△θ₄）與工況2中實際發生損傷的第4，5號周期單元（對應損傷參數△θ₄與△θ₅）在不同損傷程度閾值下均被明顯揭示，此損傷判別結果更具合理性。

3結論

提出了一種針對大型周期支撐結構的動力損傷識別有效方法。基于特征波導納原理與敏感性分析方法，建立有限長周期支撐結構無量綱自振頻率敏感性矩陣的一般形式，并結合貝葉斯理論與MCMC模擬方法實現概率損傷識別，以周期支撐梁實驗室模型試驗對本文方法進行驗證。研究結果表明，利用周期支撐結構的固有周期特性，提出的無量綱自振頻率及推導的相應敏感性矩陣僅與周期單元總數和結構損傷所處單元位置有關，而與周期結構其他幾何材料參數無關，極大地簡化了復雜周期支撐結構頻率敏感性分析過程，同時也避免了實際應用中損傷敏感性分析計算對于結構準確模型參數的依賴，顯著提高了本文損傷識別方法的有效性與實用性。通過設置損傷閾值，本文基于貝葉斯理論的識別方法能給出各單元發生損傷的概率，提高了損傷識別結果評估的合理性與可靠性。本文針對周期支撐梁結構提出的損傷識別方法的識別對象為各跨梁段的整體剛度降低，因而，在本文方法框架內，本次實驗通過調整周期梁段接頭螺栓松緊而造成的梁段跨中局部剛度改變程度，是通過其引起的梁段整體剛度降低程度來反映。