一種求解干摩擦帶冠葉片動力學響應的方法

謝方濤　崔璨　馬輝　邦椿

摘要：考慮相鄰葉冠之間的接觸摩擦作用，將扭形帶冠葉片簡化為自由端帶有集中質(zhì)量的懸臂梁，冠間接觸采用帶有遲滯特性的宏觀滑移模型模擬，基于Timoshenko梁理論和庫侖摩擦定理，提出了一種干摩擦扭形帶冠葉片動力學響應的數(shù)值求解方法。基于所提方法，分析了葉片安裝角和扭角對干摩擦葉片動力學特性的影響，并通過有限元方法驗證了求解結(jié)果。研究結(jié)果表明：隨著安裝角和扭角的增加，會削弱冠間接觸表面的減振效果，但并不會對最優(yōu)法向接觸壓力產(chǎn)生影響；并且，相比于有限元方法，所提方法在保證求解精度的情況，具有較高的求解效率。此研究結(jié)果能夠為旋轉(zhuǎn)扭形葉片冠間阻尼結(jié)構(gòu)的設計和優(yōu)化提供理論指導。

關(guān)鍵詞：干摩擦阻尼；帶冠葉片；安裝角；黏滯-滑動運動

中圖分類號：TH113；0322 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0110-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.013

引言

葉片在工作過程中，不可避免地要承受溫度、離心和氣動等多種動靜載荷，葉片易產(chǎn)生高周疲勞破壞。在實際工程應用中，常采用葉冠裝置以實現(xiàn)減振目的。帶冠葉片干摩擦阻尼減振機理是利用葉冠間初始裝配壓力和其旋轉(zhuǎn)過程中的回扭力，使葉冠間獲得適當?shù)某跏挤ㄏ蜉d荷，并依靠冠間接觸面上摩擦耗散振動能量，以減小葉片振動。并且，由于葉冠接觸面之間的約束作用，會間接改變?nèi)~片的剛度，可以實現(xiàn)對葉片固有頻率的調(diào)節(jié)，避免葉片產(chǎn)生共振。

在國內(nèi)外現(xiàn)有的研究中，常采用帶有遲滯彈簧的宏觀滑移摩擦模型的葉片集中參數(shù)模型研究葉片在干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)下的動力學特性。Griffin利用帶彈簧的庫侖摩擦模型研究了渦輪葉片的共振響應，并通過實驗測試驗證了分析結(jié)果。考慮隨接觸面滑動速度變化的摩擦系數(shù)的影響，wang和shieh建立了具有干摩擦結(jié)構(gòu)的葉片單自由度模型，并討論了變化的摩擦系數(shù)對葉片振動特性的影響。為提高計算效率，Wang和Chen在前期研究的基礎上，采用多諧波平衡法求解帶有干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)的葉片動力學響應，在保證求解精度的基礎上，大大提高了求解效率。Sanliturk等將干摩擦阻尼等效成復剛度模型，并采用諧波平衡法，提出了一種在頻域內(nèi)求解葉片振動響應的方法。李琳等采用時頻轉(zhuǎn)換法與高階諧波平衡法相結(jié)合的方法，研究了干摩擦葉片在受到多階次諧波激勵下的葉片減振特性。Sayed等分析了接觸狀態(tài)的變化對帶有干摩擦阻尼系統(tǒng)的振動特性及能量耗散的影響，指出了接觸狀態(tài)的變化對冠間摩擦耗能具有很大的影響。Laxalde等采用集中參數(shù)模型對葉盤進行建模，并利用多諧波平衡法和時頻轉(zhuǎn)換法計算了在周期性激勵下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應。王小寧等采用宏觀滑移摩擦模型，通過接觸分析獲得冠間摩擦力和相對滑移量，進而求取冠間的等效阻尼和等效剛度，并利用ANSYS軟件中MATRIX27彈簧阻尼單元模擬冠間阻尼和剛度，分析了帶冠葉片的減振特性。

一些學者分析葉片干摩擦結(jié)構(gòu)減振特性時，考慮了葉片振動對冠間法向載荷的影響。假設法向載荷隨著切向位移線性變化，Menq等提出了一種近似方法求解受到變化法向載荷的葉片的動態(tài)響應，并采用數(shù)值算法驗證了所提解法的正確性。Yang等建立了可以考慮切向和法向相對運動的二維接觸模型模擬葉冠摩擦接觸，并研究了冠間接觸表面在分離、黏滯和滑動狀態(tài)所引起的系統(tǒng)非線性動力學特性。考慮到可變的摩擦系數(shù)和法向載荷的影響，Santhosh等研究了在恒定和變法向載荷下兩自由度模型的干摩擦動力學特性，并且在可變的法向載荷下發(fā)現(xiàn)了如跳躍這樣的典型非線性動力學現(xiàn)象。上官博等在Csaba摩擦模型的基礎上發(fā)展了一種能夠考慮接觸面摩擦運動過程中正壓力隨時間變化的微滑移干摩擦模型，克服了Csaba摩擦模型只能描述局部微滑移摩擦力，而不能考慮變化的法向載荷的缺點。

隨著研究的繼續(xù)深入，一些學者采用微滑移摩擦模型模擬干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)。將微滑移模型應用于B-G葉片模型，Hudson和Sinha利用諧波平衡法計算了系統(tǒng)的振動響應，并將計算結(jié)果同在宏觀摩擦模型結(jié)果進行對比。為了進一步比較微滑移摩擦模型和宏觀滑移摩擦模型，Marquina等分別使用宏觀和微滑移摩擦模型，對干摩擦結(jié)構(gòu)進行模擬，并將其結(jié)果與通過實驗獲得的結(jié)果進行了對比。Ramaiah和Krishnaiah建立了可以模擬摩擦界面參數(shù)的數(shù)學模型，并通過實驗測試驗證了所建立數(shù)學模型的有效性。Yuan等利用微滑移摩擦模型研究了阻尼葉片的振動特性，在研究過程中將阻尼葉片簡化成兩自由度集中質(zhì)量模型，研究了阻尼器位置對葉片振動響應的影響。利用與文獻相同的摩擦模型，Giridhar等分析了阻尼葉片的振動響應，并通過臺架試驗驗證了仿真結(jié)果的正確性。為了研究法向運動對微滑移摩擦模型的影響，Cigeroglu等提出了一種可以考慮法向運動引起的壓力變化的二維微滑移摩擦模型，并通過一維梁模型和有限元葉片模型兩個實例來研究接觸界面和摩擦力的特征。漆文凱和張云娟以帶緣板阻尼塊渦輪葉片為研究對象，建立了二維整體一局部統(tǒng)一的滑動模型，并通過有限元軟件分析了不同參數(shù)對帶緣板阻尼塊葉片的振動響應。張亮等基于微滑移摩擦模型建立了葉根阻尼結(jié)構(gòu)干摩擦力本構(gòu)關(guān)系，采用等效橢圓代替阻尼器力與位移函數(shù)關(guān)系的遲滯回線以獲得阻尼結(jié)構(gòu)的等效阻尼和等效剛度，將等效阻尼、等效剛度引入到葉盤系統(tǒng)模型，并采用諧波平衡法求解系統(tǒng)振動響應。為了支持理論分析的結(jié)果，一些研究人員同樣采用實驗方法研究帶有干摩擦阻尼葉片的動態(tài)特性。

通過對現(xiàn)有文獻的調(diào)研，可以發(fā)現(xiàn)，大部分研究是采用集中參數(shù)模型對帶有冠間接觸的旋轉(zhuǎn)葉片進行建模，然而這種模型并不能考慮葉片安裝角和扭角等幾何特征對干摩擦葉片動力學特性的影響，并且一些研究已經(jīng)證明安裝角和扭角對帶冠葉片動力學特性有很大的影響。因此，建立更準確的帶冠葉片動力學模型對研究其干摩擦動力學響應和減振特性具有十分重要的意義。此外，現(xiàn)有文獻很少有考慮葉冠傾角對帶冠葉片減振動力學特性的影響。為了彌補諸如此類的不足，本文建立了考慮安裝角和扭角的干摩擦葉片動力學模型，討論了葉片安裝角和扭角等參數(shù)對帶冠葉片動力學和減振特性的影響，并通過有限元方法驗證了求解結(jié)果。

1考慮冠間摩擦的扭形帶冠葉片動力學模型建立

由于裝配預緊載荷以及葉片旋轉(zhuǎn)導致的回扭力的作用，扭形帶冠葉片之間存在很大的法向接觸載荷，在法向載荷的作用下，相鄰葉冠接觸表面將會處于黏滯、滑動以及黏滑共存的接觸狀態(tài)，由于冠間摩擦效應的存在，會對葉片振動起到抑制的作用，考慮冠間摩擦的扭形帶冠葉片模型如圖1所示。圖中，oxyz表示葉片局部坐標系，假定冠間接觸面之間具有恒定法向預緊載荷N₀，葉冠和葉片截面具有一定的傾角α，v_L和w_L分別表示葉尖在葉片局部坐標系中的法向和切向位移，v_s和w_s分別表示葉尖在葉冠接觸表面上的法向和切向位移。F_f，μ和k_t分別表示接觸面上摩擦力、葉冠間的摩擦系數(shù)和葉冠切向接觸剛度。x_s1和z_s2分別表示葉冠的切向位移和接觸點切向位移（z_s1=w_s）。

如圖1所示，考慮冠間摩擦扭形帶冠葉片動力學模型主要包括旋轉(zhuǎn)扭形帶冠葉片和冠間摩擦接觸兩部分建模。針對旋轉(zhuǎn)扭形帶冠葉片建模：考慮葉片在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的離心剛化、旋轉(zhuǎn)軟化、科氏力效應以及氣流激振力對旋轉(zhuǎn)帶冠葉片的影響，基于Timoshenko梁理論，將帶冠葉片簡化為自由端帶有葉尖質(zhì)量且具有安裝角和扭角的懸臂梁，采用Hamilton能量原理建立旋轉(zhuǎn)帶冠葉片的動力學模型。旋轉(zhuǎn)帶冠葉片能量表達式推導以及主要建模過程可參見文獻，旋轉(zhuǎn)帶冠葉片運動方程如下：

（6）式中M，G，D，K_e，K_c，K_s，K_acc，q和F分別是質(zhì)量矩陣、科氏力矩陣、瑞利阻尼矩陣、結(jié)構(gòu)剛度矩陣、離心剛化矩陣、旋轉(zhuǎn)軟化矩陣、加速度導致的剛度矩陣以及正則坐標系下的位移向量和外激振力向量，各矩陣具體的表達式和詳細的建模過程可參見文獻。

針對冠間接觸模型，本文采用帶有遲滯特性的宏觀滑移模型進行建模，遲滯彈簧用來模擬接觸面在進行整體滑移之前的彈性變形。假定葉冠接觸表面法向載荷保持恒定，即忽略葉片法向振動對法向載荷的影響。在此假設下，葉冠接觸面之間會存在三種接觸狀態(tài)，即純黏滯、黏滑共存和純滑移，不同的接觸狀態(tài)接觸面具有不同的摩擦力，導致系統(tǒng)具有非線性特性，針對這種冠間接觸非線性問題，本文擬采用New-mark-β數(shù)值方法對動力學方程進行求解。

根據(jù)帶有遲滯彈簧的宏觀滑移摩擦模型中相對位移與摩擦力的關(guān)系，葉冠接觸面之間的摩擦力F_f的表達式如下

2安裝角和扭角對帶冠葉片動力學特性的影響

基于所提方法和有限元理論，本節(jié)重點討論了葉片安裝角和扭角對旋轉(zhuǎn)帶冠葉片干摩擦動力學特性的影響。通過ANSYS軟件建立了考慮冠間接觸的帶冠扭形葉片模型，如圖2所示。其中，通過Beaml88單元模擬旋轉(zhuǎn)葉片，葉尖質(zhì)量采用Mass21單元進行模擬，冠間接觸模型采用Combin40進行建模。

葉片安裝角和扭角對葉片固有特性具有很大的影響，它們同樣會對冠間接觸狀態(tài)以及減振特性產(chǎn)生很大影響。圖3展示了旋轉(zhuǎn)帶冠葉片在法向接觸載荷N₀=10N下，不同安裝角下葉尖彎曲位移響應曲線。圖4給出了不同安裝角下對應的冠間黏滯接觸時間百分比。圖5給出了不同安裝角下，旋轉(zhuǎn)帶冠葉片在不同法向接觸載荷下葉尖彎曲位移峰值曲線。旋轉(zhuǎn)帶冠葉片其余系統(tǒng)參數(shù)為k_t=1×10⁵N/m，μ=0.3，F(xiàn)₀=150N/m（氣動力為均布載荷），α=45du3，β=0°。

隨著安裝角的增加，葉片的共振轉(zhuǎn)速逐漸增大，共振幅值逐漸降低（如圖3所示），這說明安裝角會增加葉片的剛度。并且，隨著葉片安裝角的增加，冠間接觸表現(xiàn)處于黏滯的時間增加，會對冠間摩擦耗能產(chǎn)生一定的削弱作用（如圖4所示）。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，隨著安裝角的增加，相同法向接觸載荷下，共振幅值降低，但帶冠葉片最優(yōu)的法向接觸載荷值并沒有發(fā)生太大變化，這也表明，安裝角的變化并不會影響最優(yōu)法向接觸載荷。同時，由圖3～5可以看出，本文所提模型和有限元模型具有相同的仿真結(jié)果，驗證了本文所提方法的有效性。但由于有限元模型節(jié)點和自由度較多，求解效率較低。

圖6展現(xiàn)了帶冠葉片在正壓力N₀=10N，不同扭角下葉尖彎曲位移響應，圖7給出了對應參數(shù)下冠間接觸表面黏滯狀態(tài)所占時間百分比，圖8給出了不同扭角下，旋轉(zhuǎn)帶冠葉片葉尖彎曲位移峰值曲線。葉片其余參數(shù)為k_t=1×10⁵N/m，μ=0.3，F(xiàn)₀=150N/m，α=45°，β₀=30°。

由圖6～8可以看出，隨著扭角的增加，葉片的共振轉(zhuǎn)速逐漸增大，共振幅值逐漸降低，這說明扭角和安裝角的影響相似，同樣會增加葉片的剛度。并且，隨著扭角的增加，葉冠接觸表面進入和退出滑動狀態(tài)的轉(zhuǎn)速增加（如圖7所示）。同樣，由圖8可以看出，葉片扭角的增加，會使共振幅值降低，并且扭角的增加并不會對最優(yōu)法向載荷產(chǎn)生影響。

3結(jié)論

考慮相鄰葉冠間的摩擦接觸，采用帶有遲滯特性的宏觀滑移模型模擬冠間摩擦，建立了干摩擦扭形帶冠葉片的動力學模型，提出了一種扭形帶冠葉片干摩擦動力學響應的求解方法，并分析了葉片安裝角、扭角等參數(shù)對帶冠葉片動力學特性和減振性能的影響，然后通過有限元方法驗證了求解結(jié)果。結(jié)果表明：（1）相鄰葉冠接觸面上存在一個最優(yōu)法向接觸壓力，使葉片減振性能最好；（2）隨著安裝角和扭角的增加，系統(tǒng)的固有頻率增加并且葉片振動響應變?nèi)酰⑶視魅豕陂g接觸表面的減振效果，但并不會對最優(yōu)法向接觸壓力產(chǎn)生影響。同時，本文所提求解方法相對有限元方法，不僅具有較高的求解精度，而且具有較高的求解效率。