矩形磁流變彈性薄板的動力穩(wěn)定性分析

田振國　梁金奎

摘要：磁流變彈性體材料制成的構件在機械荷載和強磁場共同作用下時，材料的彈性模量隨外加磁場的變化而變化，構件的變形也使得構件內(nèi)、外的磁場隨之改變，因此這是一個耦合場問題，而且本構關系是非線性的。在載流薄板的運動方程、物理方程及磁流變本構關系的基礎上，導出了由磁流變彈性體制成的薄板在電磁場與機械荷載共同作用下的磁彈性動力屈曲方程，應用Galerkin原理將屈曲方程整理為Mathieu方程的標準形式，并將動力屈曲問題歸結(jié)為對Mathieu方程的求解。利用Mathieu方程解的穩(wěn)定性，及系數(shù)λ和η之間的本征關系，導出了磁流變彈性薄板動力屈曲臨界狀態(tài)的判別方程。討論了磁場強度、薄板厚度、顆粒體積分數(shù)、薄板長度等參量對四邊簡支磁流變彈性薄板臨界失穩(wěn)荷載的影響。

關鍵詞：動力穩(wěn)定性；磁流變彈性體；磁彈性；臨界失穩(wěn)荷載；Mathieu方程

中圖分類號：0347.2；TB122 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0125-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.015

引言

磁流變彈性體是通過物理或化學手段，將微米級軟磁性顆粒散布在黏塑性態(tài)的高分子聚合物基體中，固化后形成的高彈性復合材料。在磁場的作用下，磁流變彈性體內(nèi)部的顆粒被磁化后，產(chǎn)生相互作用力，并進而影響其彈性模量和阻尼等力學、電學、磁學性能。

目前，對磁流變彈性體的理論研究主要集中在材料制備、力學性能測試以及建立本構關系方面。Dorfmann等分別利用不變量理論及選用應變能函數(shù)對磁流變彈性體在平板剪切及圓柱軸向剪切下的力學性能進行了分析。Guan等對磁流變彈性體的磁致伸縮性能進行了研究，結(jié)果顯示垂直于顆粒鏈結(jié)構方向上的磁致伸縮效應較明顯。顆粒體積比越高，磁致伸縮效應越強，多次循環(huán)加、卸磁場后會出現(xiàn)殘余磁致伸縮效應。楊飏等提出了應用磁流變阻尼裝置的頂層隔振控制方法，分析了磁流變阻尼器半主動控制的效果。寇發(fā)榮分析了磁流變減振器基本原理和力學模型，開展了磁流變減振器阻尼特性試驗和磁流變半主動座椅懸架臺架試驗研究。黃苗玉等研究了系統(tǒng)在簡諧路面作用下隨激勵頻率、激勵幅值的分岔特性，并利用相平面圖、Poincare截面和功率譜等詳細描述了通向混沌振動的路徑。趙丹俠等提出一種多級徑向流動型磁流變液減振器；建立了磁流變液徑向流動控制方程，得出了基于準穩(wěn)態(tài)與非穩(wěn)態(tài)流動的磁流變液減振器阻尼力計算方法。

近年來，磁流變彈性體構件的力學性能引起了人們的關注，梁金奎等分析了磁流變彈性體環(huán)形的應力應變在強磁場中的變化規(guī)律。朱秘等研究了在不同磁場下磁流變彈性體緩沖裝置的緩沖性能，探索了磁流變彈性體在半主動/主動隔振緩沖領域的應用方法。劉子良等設計了以磁流變彈性體作為主要彈性元件的支撐結(jié)構，搭建了簡諧激勵作用下懸臂梁碰撞故障實驗系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)在不同控制電流下的移頻降幅性能，以及碰撞工況下的振動響應。

從目前的研究成果來看，針對于磁流變彈性體本構關系、材料特性及相關的實驗研究較多，但對于磁流變彈性體二維構件的穩(wěn)定性相關理論研究較少。本文研究了磁流變彈性體矩形板的動力穩(wěn)定性問題，在磁流變彈性體本構關系的基礎上，結(jié)合磁彈性問題的穩(wěn)定性方程，得到了由磁流變彈性體制成的薄板在電磁場與機械荷載共同作用下的各向異性的磁彈性動力屈曲方程，應用Galerkin原理將屈曲方程整理為Mathieu方程的標準形式，并將動力屈曲問題歸結(jié)為對Mathieu方程的求解。利用Mathieu方程解的穩(wěn)定性，系數(shù)λ和η的本征關系，導出了磁流變彈性體薄板動力屈曲臨界狀態(tài)的判別方程，分析了磁感應強度、顆粒體積分數(shù)及板的幾何尺寸與臨界荷載的關系。

1磁流變彈性體薄板的磁彈性動力穩(wěn)定方程

1.1磁流變彈性體的彈性模量

在偶極子模型中，由磁場引起的磁流變彈性體的剪切模量為

1.2磁流變彈性體薄板的動力穩(wěn)定方程

由薄板的磁彈性動力穩(wěn)定性方程

2馬丟方程形式動力穩(wěn)定性方程的建立

若僅考慮通人外部電流的洛倫茲力，而忽略法向磁力作用的情況，將動力穩(wěn)定性方程（7）整理后可得

對上式進行積分運算，并化簡后整理可得

3磁流變彈性薄板磁彈性動力失穩(wěn)臨界狀態(tài)的判別

式（18）的Mathieu方程是一種周期函數(shù)方程。這個方程最重要的性質(zhì)是當它的系數(shù)間滿足某種給定的關系時，方程得到無限增長的解。方程的系數(shù)λ與η之間的本征值關系是方程穩(wěn)定解與非穩(wěn)定解區(qū)域的分界。利用Mathieu方程的此種性質(zhì)可確定磁流變彈性體矩形薄板失穩(wěn)時臨界的狀態(tài)。方程的本征值關系是一種連分式的表達形式，表達式為

將式（23）和（24）編制成MATLAB計算程序，即可討論各參量對磁流變彈性薄板的動力穩(wěn)定性的影響。

4算例分析

薄板問題的屈曲波形是很多個波形的相互疊加，每一種失穩(wěn)模態(tài)形式都有可能存在，但只有最低階的失穩(wěn)模態(tài)更最具有實際應用意義，因此，下面的計算分析中只給出了四邊簡支矩形磁流變體薄板最低階的失穩(wěn)模態(tài)。討論薄板厚度、顆粒濃度等量變化時，式（16）中的荷載幅值大小P與薄板失穩(wěn)的關系。

圖2討論了邊長為0.1m×0.1m的磁流變彈性體薄板在外加磁感應強度B。不同的情況下，失穩(wěn)臨界狀態(tài)的荷載幅值大小P隨薄板厚度的改變而發(fā)生變化。薄板厚度從2mm增長到12ram，相應的失穩(wěn)臨界荷載也隨著發(fā)生呈拋物線形的增長，而當板厚趨向于零時，臨界荷載也趨向于零。并且從此圖中還能清楚的看到外加磁場強度對失穩(wěn)臨界荷載的取值有著很重要的影響。當板厚為12mm，B₀=0.2T時，失穩(wěn)臨界荷載為63Pa；但是當B₀=1.0T時，失穩(wěn)臨界荷載卻升高到1876Pa，大約是前者的30倍。圖3顯示了當磁流變彈性體顆粒濃度發(fā)生變化時相應的失穩(wěn)臨界荷載相應的改變情況。在磁場強度一定的情況下，隨著顆粒體積濃度的增長，失穩(wěn)臨界荷載迅速增大。

圖4和5分別顯示了不同的顆粒體積分數(shù)條件下和不同板厚的情況下磁場與臨界荷載的關系曲線。在圖4中，當顆粒體積分數(shù)一定時，隨著磁場強度的增大，失穩(wěn)臨界荷載也會相應的升高。圖5中顯示，當磁場強度較小范圍內(nèi)變化0.1～0.5T時，臨界荷載增長緩慢；當磁場強度較大范圍內(nèi)變化0.5～1.0T時，臨界荷載增長的非常迅速，這種變化情況隨著薄板厚度的增長表現(xiàn)的尤其明顯。可以看出當外加磁場強度增大，構件的剛度增大，因此失穩(wěn)的臨界荷載隨之增大，這與文獻得到的磁流變彈性體支撐能在外部磁場控制下增大剛度的實驗結(jié)果是一致的。

圖6為不同顆粒體積分數(shù)情況下，矩形薄板的長度與臨界荷載的關系曲線，從圖中可以看出，顆粒體積分數(shù)一定的情況下，隨著板長的增加，臨界荷載呈相應的下降趨勢，且當板長無限增大時，臨界荷載趨向于零。

當外部施加的磁場沿各向不同時，圖8為外加磁場B_x=0和B_y=1.0T，無外加機械載荷情況下，不同板厚時臨界電流密度幅值與外加磁感應強度分量B_z的關系曲線。圖中可見：板厚越厚，導致矩形板失穩(wěn)的臨界電流密度越大；而在板厚度一定時，隨著外加磁感應強度的增加，臨界外加電流密度的幅值在減小，這是由于外加磁場引起的洛倫茲力加大，導致臨界電流密度的減小。

5結(jié)論

磁流變彈性體在工程應用中，除了其材料功能性和結(jié)構強度外，還需考慮其動力穩(wěn)定性。通過本文算例分析可知，磁流變彈性體構件的臨界荷載與磁場強度、薄板厚度、顆粒體積分數(shù)、構件的幾何參量有關。在幾何尺寸固定、外加磁場強度一定的情況下，提高顆粒體積分數(shù)可以有效提高結(jié)構的穩(wěn)定性。綜合來看，顆粒體積分數(shù)越高、板厚越厚、板長越小、外加磁場強度越大，構件的穩(wěn)定性越強。薄板的厚度增加和板長減小使得板的穩(wěn)定性提高，這是一般材料制成的薄板都具備的性質(zhì)，而對于外加磁場強度及顆粒體積分數(shù)這兩個影響因素，是因為磁場強度和顆粒體積分數(shù)的提高會使得磁流變彈性體的彈性模量提高，從而提高構件的剛度，進而使得薄板得穩(wěn)定性提高。