概率常見典型考題賞析

概率是研究隨機現象的內在規律的數學學科,概率知識進入高中教材增強了高中數學的應用性。本章主要研究隨機事件、互斥事件及概率的意義。同學們要掌握互斥事件的概率的計算,掌握古典概型、幾何概型的概率計算。下面就這部分的常見典型考題進行分析,希望對同學們的學習有所幫助。

題型1：事件的關系與運算

對于互斥事件要把握住不能同時發生,而對于對立事件除不能同時發生外,其并事件應為必然事件,這可類比集合進行理解。具體應用時,可把所有試驗的結果寫出來,看所求事件包含哪些試驗結果,從而判斷所給事件的關系。

例1口袋里裝有1個紅球,2個白球,3個黃球,共6個形狀相同的小球,從中取出2個球,事件A為“取出的2個球同色”,B為“取出的2個球中至少有1個黃球”,C為“取出的2個球中至少有1個白球”,D為“取出的2個球不同色”,E為“取出的2個球中至多有1個白球”。下列判斷中正確的序號為____。

①A與D為對立事件;②B與C是互斥事件;③C與E是對立事件;④P(C∪E)= 1;⑤P(B)=P(C)。

解：顯然A與D是對立事件,①正確。當取出的2個球中“1黃1白”時,事件B與C都發生,②不正確。當取出的2個球中恰有1個白球時,事件C與E都發生,③不正確。C∪E不一定為必然事件,即P(C∪E)≤1,④不正確。由于所以⑤不正確。答案為①。

跟蹤訓練1：從1,2,3,4,5,6,7這7個數中任取2個數。

①恰有1個是偶數與恰有1個是奇數;②至少有1個是奇數與2個都是奇數;③至少有1個是奇數與2個都是偶數;④至少有1個是奇數與至少有1個是偶數。上述事件中,屬于對立事件的是( )。

A.① B.②④ C.③ D.①③

提示：③中“至少有1個是奇數”即“2個都是奇數或1奇1偶”。

從1～7中任取2個數,根據取到數的奇偶性可認為共有3個事件：“2個都是奇數”,“1奇1偶”,“2個都是偶數”。故“至少有1個是奇數”與“2個都是偶數”是對立事件。易知其余都不是對立事件,應選C。

題型2：隨機事件的頻率與概率

頻率是一個不確定的數,在一定程度上頻率可以反映事件發生的可能性大小,但無法從根本上刻畫事件發生的可能性大小。從大量重復試驗中發現,隨著試驗次數的增多,事件發生的頻率就會穩定于某一固定的值,該值就是概率。

例2如圖1所示,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2。

圖1

現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查,調查結果如表1所示。

表1

(1)試估計40min內不能趕到火車站的概率。

(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在表1中各時間段內的頻率。

(3)現甲、乙兩人分別有40 min和50min時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站,試通過計算說明,他們應如何選擇各自的路徑。

解：(1)共調查了100人,其中40min內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),用頻率估計概率,可得所求概率為0.44。

(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,由調查結果得到所求的頻率如表2所示。

表2

(3)記事件A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40min內趕到火車站;

記事件B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50min內趕到火車站。

由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,即P(A1)＞P(A2),故甲應選擇L1。

由P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,可知P(B2)＞P(B1),故乙應選擇L2。

跟蹤訓練2：隨機抽取一個年份,對鄭州市該年4月份的天氣情況進行統計,結果如表3所示。

表3

(1)在4月份任選一天,估計鄭州市在該天不下雨的概率。

(2)鄭州市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續2天的運動會,估計運動會期間不下雨的概率。

提示：(1)由4月份天氣統計表知,在容量為30的樣本中,不下雨的天數是26,以頻率估計概率,在4月份任選一天,鄭州市不下雨的概率為

(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如1日與2日,2日與3日等)。這樣在4月份中,前一天為晴天的“互鄰日期對”有16個,其中后一天不下雨的有14個,所以晴天的次日不下雨的頻率為

題型3：互斥事件與對立事件的概率

(1)判斷兩個事件是否為互斥事件,就是判斷它們能否同時發生,若不能同時發生,則是互斥事件,不然就不是互斥事件。若兩個事件互斥,且必有一個發生,則其為對立事件。兩個事件互斥未必對立,但對立一定互斥。(2)互斥事件的概率加法公式必須在各個事件彼此互斥的前提下使用,即A,B互斥,P(A+B)=P(A)+P(B)。若A,B對立,則P(A)=1-P(B)。

例3某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得。1000張獎券為一個開獎單位,設特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個。設1張獎券中特等獎,一等獎,二等獎的事件分別為A,B,C。

(1)求P(A),P(B),P(C)。

(2)求1張獎券的中獎概率。

(3)求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率。

解：(1)由題意可得

由上可知,所求事件A,B,C的概率分別為

(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎。設“1張獎券中獎”這個事件為M,則M=A∪B∪C。

因為A,B,C兩兩互斥,所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=故1張獎券的中獎概率為

(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,所以P(N)=

跟蹤訓練3：某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100名顧客的相關數據,如表4所示。

表4

已知這100名顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%。

(1)試確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值。

(2)求一名顧客一次購物的結算時間不超過2min的概率。(將頻率視為概率)

該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,100名顧客一次購物的結算時間視為總體的一個容量為100的簡單隨機抽樣,顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本的平均數來估計。=1.9。所以估計顧客一次購物的結算時間的平均值為1.9min。

(2)設B,C分別表示事件“一名顧客一次購物的結算時間為2.5min和3min”。設A表示事件“一名顧客一次購物的結算時間不超過2min”。

因為事件B,C互斥,且所以可得

故一名顧客一次購物結算時間不超過2min的概率為0.7。

題型4：簡單古典概型的求法

求古典概型的概率時,應注意試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。求古典概型的概率的一般步驟：①反復閱讀題目,收集題目中的各種信息,理解題意;②判斷試驗是否符合古典概型的特點,并用字母表示所求事件;③利用列舉法求出總的基本事件個數及事件A所包含的基本事件個數。

例4某工廠對一批共50件的機器零件進行分類檢測,其重量(單位：g)統計如表5所示。

表5

規定重量在82g及以下的為甲型,重量在85g及以上的為乙型,已知該批零件有甲型2件。

(1)從該批零件中任選1件,若選出的零件重量在[95,100]內的概率為0.26,求m的值。

(2)從重量在[80,85)內的5件零件中,任選2件,求其中恰有1件為甲型的概率。

解：(1)由題意可得n=0.26×50=13,則m=50-5-12-13=20。

(2)設“從重量在[80,85)內的5件零件中,任選2件,其中恰有1件為甲型”為事件A,記這5件零件分別為a,b,c,d,e,其中甲型為a,b。

從這5件零件中任選2件,所有可能的情況為a b,a c,a d,a e,b c,b d,b e,c d,c e,d e,共10種。其中恰有1件為甲型的情況有a c,a d,a e,b c,b d,b e,共6種。

跟蹤訓練4：某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況,數據如表6(單位：人)。

表6

(1)從該班隨機選1名同學,求該同學至少參加上述一個社團的概率。

(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中,有5名男同學A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學B1,B2,B3。現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率。

提示：(1)由調查數據可知,既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人,故至少參加上述一個社團的共有45-30=15(人)。所以從該班隨機選1名同學,該同學至少參加上述一個社團的概率為

(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,其一切可能結果組成的基本事件為{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3}, {A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個。由題意可知這些基本事件的出現是等可能的。

其中事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件為{A1,B2},{A1,B3},共2個。

故所求A1被選中且B1未被選中的概率

題型5：古典概型的交匯命題

古典概型在高考中常與集合、函數、解析幾何、平面向量、統計等知識交匯命題,命題的角度新穎,考查知識全面,能力要求較高。

例5先后擲一枚質地均勻的骸子,分別記向上的點數為a,b。事件A為“點(a,b)落在圓x2+y2=12內”,事件B為“f(a)＜0,其中函數

(1)求事件A發生的概率。

(2)求事件A,B同時發生的概率。

解：(1)先后擲一枚質地均勻的骸子,容易得到總的基本事件有6×6=36(種)等可能的結果。

滿足點(a,b)落在圓x2+y2=12內的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6種等可能的結果。

故事件A發生的概率

事件A,B同時發生的可能結果有(1, 1),(1,2),(1,3),共3種。

故所求事件A,B同時發生的概率為：

跟蹤訓練5：山東泰山風景區為了做好宣傳工作,準備在A和B兩所大學分別招募8名和12名志愿者,將這20名志愿者的身高(單位：cm)編成如圖2所示的莖葉圖。若身高在175 cm以上(包括175 cm)定義為“高精靈”,身高在175cm以下定義為“帥精靈”。已知A大學志愿者的身高的平均數為176,B大學志愿者的身高的中位數為168。

圖2

(1)求x,y的值。

(2)如果用分層抽樣的方法從“高精靈”和“帥精靈”中隨機抽取5人,再從這5人中選2人,求至少有1人為“高精靈”的概率。

提示：(1)由題意及所給的莖葉圖可得,由上解得x=5,y=7。

(2)由莖葉圖可知,“高精靈”有8人,“帥精靈”有12人。如果用分層抽樣從“高精靈”和“帥精靈”中抽取5人,則抽取的“高精靈”和“帥精靈”的人數分別為

記抽取的“高精靈”分別為b1,b2,抽取的“帥精靈”分別為c1,c2,c3。

從這5人中任選2人的所有可能情況為(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1), (b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10種。

記“從這5人中選2人,至少有1人為‘高精靈’”為事件A,則事件A包含的可能情況為(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3), (b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共7種。

題型6：與面積有關的幾何概型

求解與面積有關的幾何概型問題時,關鍵是弄清所求事件對應的面積,必要時可根據題意構造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結果構成的平面圖形的面積,以便求解。

例6從區間[0,1]上隨機抽取2n個數x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構成n個數對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數的平方和小于1的數對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( )。

解：如圖3,數對(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的點落在邊長為1的正方形O A B C內(包括邊界),兩數的平方和小于1的數對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內。

圖3

跟蹤訓練6：某校早上8：00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5min到校的概率為____。

提示：設小張與小王的到校時間分別為7：00后第xmin,第ymin。(x,y)可看成平面中的點,根據題意畫出圖形,如圖4所示。

圖4

總的基本事件所包含的面積為(50-30)2=400。

設小張比小王至少早5min到校表示的事件為A,則事件A={(x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如圖4中陰影部分所示,易得陰影部分所包含的面積為