桶形基礎水平承載力極限平衡計算公式的理論推導

王 蕾，金書成

（1.江門市啟智學校，廣東 江門 529000；（2.長大橋梁建設施工技術交通行業重點實驗室，武漢 430040）

0 引 言

桶形基礎水平極限承載力平衡解法的思路是，根據地基破壞形式，假定土體反力分布，而后根據力的平衡建立反力與荷載間關系。根據已有研究結果，桶形基礎破壞模式與尺寸、荷載形式及土體性質有關[1-2]。Murff等和Aubeny等將桶周土體分成多個區域，桶形基礎土體的變形機理如圖1所示[3-4]。本文以桶形基礎土體的變形機理為參考，選取單桶砂土基礎為研究對象，根據數值模擬和物模試驗建立土體水平荷載的極限平衡受力狀態，推導不同區域的土體抗力，并根據極限平衡法獲得單桶基礎水平承載力計算公式。

圖1 桶形基礎土體的變形機理

1 受力模型

桶形基礎水平承載力的極限平衡解法最重要的是進行破壞模式的合理假定，本文結合相關研究成果[5-6]對計算模型進行簡化。當長徑比L/D＜2.0時，桶形基礎在水平荷載下圍繞其軸線上的桶底中心發生轉動，選擇圖2a的計算模型；當長徑比L/D≥2.0時，轉動中心位置位于桶體軸線0.8L處，選擇圖2b的計算模型。其中，z0為轉動中心深度，P為水平荷載。

2 公式推導

極限平衡法成立的條件以合理的假定為前提，本文計算公式推導基于三維極限平衡法的基本假定。

2.1 當長徑比L/D＜2.0時

2.1.1 計算假設。

（1）在XOZ平面內θ=0處，桶前徑向水平抗力沿桶高呈拋物線形分布（見圖2a），其形式為：

其中，kh為水平向地基系數，根據“m”法求得，即kh=mz；ω為桶體在水平荷載作用下的轉動角。

（2）在XOY平面內，土體的徑向水平抗力沿桶周呈三角函數分布，其形式為：

則土體的徑向水平抗力沿x軸方向的分量為：

將（3）式代入（1）式，可得土體x軸方向水平抗力為：

（3）桶后主動區土體水平抗力為：

其中，ka為郎肯主動土壓力系數，γ｀為土體飽和重度。

2.1.2 公式推導?；谝陨嫌嬎慵俣ǎM行公式推導。

（1）水平土壓力合力。桶前外壁的水平土壓力合力為：

同理，桶后外壁的水平土壓力合力為：

其中，S1和S2分別為桶體前側和后側的徑向土壓力作用面積，R為桶體半徑。

（2）前側外桶壁摩擦力合力為：

（3）后側外桶壁摩擦力合力為：

（4）基底表面豎向土體抗力合力為：

其中S3為桶體基底面積。

（5）水平極限承載力P對轉動中心的彎矩為：

（6）水平土壓力合力N1對轉動中心的彎矩為：

（7）水平土壓力合力N2對轉動中心的彎矩為：

（9）基底表面豎向土體抗力對轉動中心的彎矩為：

（10）基底表面摩擦力合力為：

根據以上推導，由水平力平衡得：

由豎向力平衡得：

其中N3為基底表面豎向土體抗力合力。

由轉動中心彎矩平衡得：

聯立（17）、 （18）、 （19）三式可得長徑比L/D＜2.0時的桶形基礎水平極限承載力為：

2.2 當長徑比L/D≥2.0時

2.2.1 計算假設。

（1）在XOZ平面內θ=0處，桶前徑向水平抗力沿桶高在轉動軸以上呈拋物線形分布（線性分布） （見圖2b），其形式為：

And his mother fell across the edge of the brick bed,sobbing and cursing.

其中k0為土靜止側壓力系數。

在XOY平面內，土體的徑向水平抗力沿桶周呈三角函數分布，其形式為：

則土體的徑向水平抗力沿x軸方向的分量為：

將（23）式代入（21）式，可得土體x軸方向水平抗力為：

（2）桶后主動區土體水平抗力為：

可得土體x軸方向水平抗力為：

2.2.2 公式推導?；谝陨嫌嬎慵僭O，進行公式推導。

（1）水平土壓力合力。轉動中心以上桶前外壁水平土壓力合力為：

轉動中心以下桶前外壁水平土壓力合力為：

其中，S11為轉動中心以上前側徑向土壓力作用面積，S12為轉動中心以下前側徑向土壓力作用面積，R為桶體半徑。

同理，轉動中心以上桶后外壁水平土壓力合力為：

轉動中心以下桶后外壁水平土壓力合力為：

其中，S21為轉動中心以上前側徑向土壓力作用面積，S22為轉動中心以下前側徑向土壓力作用面積。R為桶體半徑。

（2）前側外桶壁摩擦力合力為：

（3）后側外桶壁摩擦力合力為：

（4）基底表面豎向土體抗力合力為：

（5）水平極限承載力P對轉動中心的彎矩為：

（6）水平土壓力被動區合力對轉動中心的彎矩為：

（7）水平土壓力主動區合力對轉動中心的彎矩為：

（8）外桶壁摩擦力合力對轉動中心的彎矩為：

（9）基底表面摩擦力合力Tb對轉動中心的彎矩為：

（10）基底表面豎向土體抗力對轉動中心的彎矩為：

根據以上推導，由水平力平衡得：

由豎向力平衡得：

由轉動中心彎矩平衡得：

聯立（43）、 （44）、 （45）式可得長徑比L/D≥2.0時桶形基礎水平極限承載力為：

3 結 語

將本文推導的計算公式與現有經典實驗和計算方法進行比較，取文獻[7]所述實驗模型和實驗結果作為參照，結果見表1。

表1 桶形基礎水平承載力比較結果

由表1可知，本文推導的計算公式與文獻[10]的計算結果接近，相較于試驗值也滿足工程精度要求。與現有研究和計算方法相比，本文推導的計算公式考慮了桶形基礎的轉動中心位置隨長徑比L/D的變化，以及土體剪切作用和基底摩擦力對桶形基礎水平承載力的影響，根據單桶基礎破壞模式，利用三維極限平衡法推導出軟土桶形基礎水平承載力的計算公式。所采用的方法考慮影響因素全面，適合工程應用，可為指導實踐提供一定的理論參考，所推導的計算公式精度高，適用于工程驗算。

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