數學課堂因“圖”而閃亮

孔令芳

摘 要：在新授課中，運用圖式表征，能實現助學、展學、辨析和歸納拓展等各項教學功能，契合了“優化學習活動、發展學習能力”的研究目標，使高年級數學新授課堂因圖式而高效。同時，對于注意力、理解力都比較欠缺的兒童，課堂上的圖式學習能更好地幫助他們完成數學學習的過程，完成知識的建構，實現方法的引導，形成比較好的學習效果。

關鍵詞：圖式學習；新授課教學；教學方法

新課程強調“學生是知識主動的建構者和探索者”，注重“學生終身學習必備的基礎知識與技能的獲得”。數學知識是“隱含”在學生頭腦中的，而目前多數新授課不太重視給予學生足夠的時間和有效的工具，“弱化”和“粗化”了學生建模的過程，導致學生知識的整合能力、學習策略無法得到提高。采用“灌輸式”的教學模式，已無法滿足各個層次的學生需求，導致教學效果低下。

小學生的思維以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡；由具體運算為主，逐步向形式運算過渡，這是一個緩慢的、漸進的發展過程。為了使學生準確地理解數學知識，需要教師充分了解學生的學習基礎，“以學論教，順學而導”。我校倡導的圖式優學，包括直觀的實物圖、樹狀的認知推展圖、流程結構圖和邏輯表圖等。在數學課堂教學中注重數學教學的圖式表征，以圖式促進學生優學。

現代心理學認為：“人腦中的知識不可能獨立地儲存，總要通過與其他知識建立某種關系而儲存。而且只有通過一定的網絡系統儲存的知識，才能被有效地提取利用。”依據這樣的理論認識，我開始讓數學教學呈現“看得見”的圖式表征數學知識，并一直嘗試運用到自己的新授課上。兩年多的實踐研究發現，對于注意力、理解力都比較欠缺的兒童，課堂上的圖式學習能更好地幫助他們完成數學學習的過程，完成知識的建構，實現方法的引導，形成比較好的學習效果。在高年級數學新授課中，筆者堅持運用圖式表征，使之實現助學、展學、辨析和歸納拓展等各項教學功能，契合了“優化學習活動、發展學習能力”的研究目標，這使得高年級數學新授課堂因圖式而高效，兒童數學學習因“圖式”而閃亮。

一、圖式助學，自主探究

所謂圖式助學，是指在數學新授課教學中，注意發揮圖式的引導作用，讓學生借助圖式繪制和觀察，幫助他們迅疾進入數學學習的主體角色。這主要是采用課前安排學生完成圖式“優學單”（如圖1）的形式，讓學生經歷一個前置性的自主探究的助學過程。

“優學單”的編制設計以不加重學生過重負擔為前提，讓學生經歷一個完整的發現問題——提出問題——分析問題——解決問題的全過程。在設計優學單時，筆者關注以下兩點：一是設計以例題或與例題同類型的自編題為自學研究的對象；二是設計2～3個“大問題”，避免“小而碎”的問題。目的是充分讓學生體驗自我生成的認知探索過程，發掘來自學生數學自學本身的“生本資源”。例如，在優學單中，教師設計了“用你喜歡的方式表示出你的思考過程”。這樣的設計意圖是，根據學生已有經驗，讓學生經歷自我分析、自我表達的過程，構建學生的元認知。通過學生的表象材料，可以讓教師更好地把握學生的思維起點，有利于教師調整以教為主的設計，從而將新課標所提倡的“教師的教學是基于學生的學情”這一理念真正落到實處。

這一環節還包括課堂開始，優學單作為第一手資料的學生討論、交流。這時的交流并不是隨意散亂的，而是圍繞幾個問題有目的地展開。比如，教師會給學生提供討論的路徑（如圖2）。這些問題都是為了促成教學目標的達成而設計的。

二、圖式展學，突出重點

高年級數學新授課中，筆者注意運用圖式來展示認知序列，突出數學學習中的重點內容。這樣的做法涵蓋兩個層次：1. 圖式比較，突出難點；2. 圖式提示，清晰要點。

在執教《百分數的實際問題》時，為了讓學生真正理解“一個數比另一個數多百分之幾”的含義，教師展示學生繪制的三幅圖式（如圖3）。學生從中很容易地看出了實際和原計劃兩個量之間的關系、分辨了單位“1”的量。“圖式”幫助學生清晰地厘清了認知要點。同時也通過作圖中不同的畫法比對，進一步理解作時應考慮所畫線段的長短和題中的數據大致吻合，培養了學生嚴謹科學的學習態度。

三、圖式辨析，方法優化

這樣的教學安排意在借助圖式，對正確解答方法進行分析、歸納、總結；對錯例進行解讀和矯正，從而達到提煉思路，優化方法的目的。

對于剛接觸《三步混合運算》的學生而言，理解算理并掌握算法及規范的書寫是一大難點。在比較哪種算法更簡捷時，教師將三種圖式（如圖4）放在一起讓學生對比。學生通過重點觀察、分析不同解法之間算理，溝通、構建出解法之間的聯系，再優化出最簡潔的寫法。讓學生借助圖式，經歷這一優化思維的過程，比教師按標準格式直接給予的方式來得自然而深刻。

圖式辨析的另一個層面是，教師通過將典型錯誤解法，歸類呈現，來引導學生進行“辨析”，開展評價、質疑、補充、反駁……分析錯在哪里，為什么會錯，應該怎樣修正。例如，在執教百分數的實際問題時，教師將學生優學單上所出現的幾組錯例呈現（如圖5），并進行矯正，意在讓學生在辨析錯題的過程中進一步明確找準單位“1”的量，從而達到提煉思路，優化方法的目的。

四、圖式歸納，拓展提升

這一教法安排，意在通過圖式歸納，把前期的數學活動經驗進行小結，而后提升為數學思想。并把這一思想拓展到解決實際生活問題的過程中去。

圖6所示的圖式中，有的圖式是知識要點連接架構圖，有的是認知思路進程圖，有的是提綱挈領邏輯圖等。這些脈絡清晰、明快醒目的板書圖式，可以將課堂內容形象、精煉地集中呈現，可以將學生思維的過程直觀、動態地展示，也可以將知識的形成、發展的過程清晰、凝練地演示。

【案例反思】

新課程強調“學生是知識主動的建構者和探索者”，注重“學生終身學習必備的基礎知識與技能的獲得”。本著這樣的理念，筆者嘗試將圖式運用到小學高年級數學新授課教學中，實踐表明，小學高年級數學新授課，運用圖式教學的四點策略，效果十分顯著。

1. 運用圖式前置性學習，以學定教

建構主義認為，認知就是建構，而且每一個學習者都有自身的先前經驗作為基礎。因此，教師在上每節課時，學習者并不是被動地接受，而是根據已有經驗主動建構的。個人認知結構需經過同化、順應兩個過程得以完成。運用圖式安排學生前置性學習，教師可以更容易準確地把握、了解學生已經具備怎樣的認知水平和經驗基礎。這有利于教師從實際出發，調整原有的教學設計，促進教師緊扣學生的“最近發展區”，挖掘新知的“生長點”，讓教學更有針對性。

2. 運用圖式呈現解法，表征思路看得見

數學課堂上，教師鼓勵學生大膽地將個性化的圖式充分展現。這就可以兼顧不同層次學生的學習狀態及各自不同的已有經驗，讓學生先對自己的解法進行闡述，其他同學在傾聽的基礎上，給予評價或提出疑問。這樣一來，運用圖式表達的解法思路得以清晰呈現交流。這使得課堂上學生原有模糊的、籠統的認知結構也在不斷擴充、逐漸清晰化，從而大大促進學生的認知建構。

3. 運用圖式對比辨析，引導深刻思考

當新授課堂呈現了來自于學生真實的圖式后，可以通過交流放在一起進行對比，然后傾聽學生的觀點闡述，引導學生重點觀察、分析不同解法之間算理，適當溝通后，構建出有關解法之間的聯系，再優化出最簡潔的方法。讓學生經歷這一個性化和優選化相結合的分析比較過程，比教師直接給予的方式來得自然而深刻。筆者認為，圖式辨析環節正是教師在學生有爭論、疑惑時給予方向指引的最好時機，這也是引導學生思維經歷爬坡的關鍵時刻。當學生出現了多種方法后，教師再引導將這些方法圖式放在一起比較：“雖然他們的解法不同，仔細觀察有沒有相同之處？”以推動學生思維的發展，讓學生的思維由具體直觀到抽象概括，可以有力地提升學習的理解水平。

4. 運用圖式歸納拓展，促進構建隱形圖式

在新授課的教學過程中，呈現在學生面前的都是“顯性圖式”，或是教師設計，繪制；或是由教學內容水到渠成構建的“思路圖式”；或是學生根據新授知識自己制作的圖式。這些“顯性圖式”起到了串聯知識點，化解教學重難點，構建知識體系的作用。而“圖式教學”在新授課操作的最后一環節，筆者認為應該是把這些“顯性圖式”轉變為學生腦海中的“隱形圖式”的過程，讓新授知識在頭腦中成為一種學習方法，一種解題思路，或是一張知識網絡圖。這就是認知結構的建構。學生帶著這樣的“隱形圖式”去練習，去鞏固本節課所學的新知，以腦中的“隱形圖式”來解決具體問題。這既是“顯性圖式”到“隱形圖式”轉變的過程，更是對新知的一個消化，吸收，并轉化、內化為自己認知結構的過程。