一種針對單快拍DOA估計(jì)的子空間搜索近似消息傳遞算法

曾令豪　劉靜　韓崇昭

波達(dá)方向(Direction of arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號處理的關(guān)鍵問題,在雷達(dá)、紅外、聲吶和地震等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.以多重信號分類(Multiple signal classi fi cation,MUSIC)算法[1]和信號參數(shù)旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(Estimating signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)[2]為代表的空間譜估計(jì)方法突破了瑞利限,實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)DOA的超分辨估計(jì).但這些方法是根據(jù)陣列接收信號的統(tǒng)計(jì)特性來估計(jì)目標(biāo)的到達(dá)角,因此需要大量獨(dú)立同分布的量測數(shù)據(jù).為了減少所需的測量數(shù)據(jù),甚至實(shí)現(xiàn)單快拍DOA估計(jì),近年來出現(xiàn)的壓縮感知(Compressive sensing,CS)技術(shù)[3]帶來了新的解決方案.當(dāng)原始信號滿足一定稀疏性條件時(shí),壓縮感知可以實(shí)現(xiàn)以遠(yuǎn)少于經(jīng)典采樣理論所要求的采樣數(shù)來精確重構(gòu)信號.壓縮感知技術(shù)帶來的另一好處是可以實(shí)現(xiàn)相干信號的超分辨估計(jì).目前,國內(nèi)外已有不少基于壓縮感知的DOA估計(jì)的研究[4?8].

基于壓縮感知的DOA估計(jì)算法,大致可以分為以下兩類:

一類是將CS與傳統(tǒng)的空間譜估計(jì)相結(jié)合.文獻(xiàn)[4]首先將稀疏性引入DOA估計(jì),提出了l1范數(shù)奇異值分解算法,該算法使用奇異值分解來降低重構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜度.文獻(xiàn)[5]提出了一種CS-MUSIC算法,利用多快拍數(shù)據(jù)與壓縮感知中多測量矢量模型結(jié)合進(jìn)行DOA估計(jì),該算法是先利用壓縮感知技術(shù)估計(jì)噪聲子空間,再使用MUSIC算法實(shí)現(xiàn)DOA的估計(jì).由于該算法利用了壓縮感知技術(shù)減少了空間譜估計(jì)所需的量測數(shù)量,因此其計(jì)算復(fù)雜度相對較高,是一種在直接壓縮感知重構(gòu)與空間譜估計(jì)之間權(quán)衡的算法.

另一類是將DOA估計(jì)看作壓縮感知的重構(gòu)問題,直接使用壓縮感知重構(gòu)算法來得到DOA估計(jì).文獻(xiàn)[6]是在單快拍情況下直接使用壓縮感知重構(gòu)算法得到DOA估計(jì),并對幾種不同的壓縮感知重構(gòu)算法的結(jié)果進(jìn)行了比較.這類算法充分利用了壓縮感知技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)稀疏重構(gòu)的特點(diǎn),實(shí)現(xiàn)了單快拍DOA估計(jì).但這類算法也存在固有的缺陷:1)DOA估計(jì)所使用的感知矩陣具有較高的相干性;2)現(xiàn)有大多數(shù)的壓縮感知算法對噪聲敏感.針對感知矩陣高相干性的問題,文獻(xiàn)[7?8]提出了一種廣義相似感知矩陣匹配追蹤算法,該算法利用構(gòu)造相似感知矩陣來降低原感知矩陣的高相干性.然而由于相似感知矩陣的構(gòu)造是預(yù)先確定的,其估計(jì)結(jié)果在有噪聲的情況下會(huì)出現(xiàn)一定的偏差.考慮到噪聲在DOA估計(jì)中是不可忽視的,算法的抗噪聲能力也是十分重要的的性能指標(biāo),因此需要對該算法進(jìn)行改進(jìn).

一種被稱為近似消息傳遞(Approximate message passing,AMP)的算法由于抗噪聲能力強(qiáng),且計(jì)算復(fù)雜度低而受到了關(guān)注.AMP算法是由Donoho等首先提出來的[9],它是由和積信度傳播算法推導(dǎo)而來,并被證明與基追蹤降噪(Basis pursuit denoising,BPDN)算法是等價(jià)的[10].文獻(xiàn)[11]分析了一大類被稱之為廣義AMP的算法,使用一個(gè)簡單的狀態(tài)演化方程描述廣義AMP算法在大的獨(dú)立同分布高斯變換矩陣下的漸進(jìn)行為.而文獻(xiàn)[12]提出了一種針對原信號非零元素先驗(yàn)分布未知的期望最大化高斯混合AMP算法.AMP算法在圖像處理[13?14]、醫(yī)學(xué)圖像處理[15]等領(lǐng)域已經(jīng)得到了應(yīng)用,并被證明是簡單有效的.然而將AMP算法用于DOA估計(jì),也會(huì)受到感知矩陣高相干性的影響,無法得到分辨率較高的結(jié)果.

本文提出了一種基于AMP算法的子空間搜索近似消息傳遞(Subspace searching AMP,SSAMP)算法來解決感知矩陣高相干性與噪聲同時(shí)存在而產(chǎn)生的問題.該算法分為兩步:第一步,由AMP算法得到一個(gè)較粗的解.由分析可知,在噪聲較小時(shí)真實(shí)信號必然位于該粗解之中.第二步,在該粗解對應(yīng)的子空間中進(jìn)一步尋找精確解,從而實(shí)現(xiàn)超分辨估計(jì).本文所提算法對粗解所對應(yīng)的子空間的劃分,是以真實(shí)非零元素為中心的自適應(yīng)的劃分,避免了預(yù)先劃分不當(dāng)造成的損失.SSAMP算法繼承了AMP算法計(jì)算復(fù)雜度低、抗噪聲能力強(qiáng)的特點(diǎn),同時(shí)又解決了AMP算法在感知矩相干性較高時(shí)所產(chǎn)生的問題.

1　基于壓縮感知的單快拍DOA估計(jì)

1.1　單快拍DOA估計(jì)的稀疏化描述

本文考慮單快拍條件下的DOA估計(jì),即在已知信號來波頻率的情況下,每一時(shí)刻僅利用單個(gè)量測數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì).假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號,其載波波長為λ.接收端是由M個(gè)陣元組成的均勻線陣沿x軸排列,它們的間距為d=λ/2,每個(gè)陣元的接收噪聲是相互獨(dú)立的零均值高斯噪聲.定義入射角為波信號與y的夾角.在某一時(shí)刻,接收端得到的信號為

其中,e(t)表示接收端的噪聲,βk(t)表示第k個(gè)目標(biāo)的復(fù)振幅,a(θk)表示相應(yīng)來波角度θk的導(dǎo)向矢量,可表示為[16]

將整個(gè)監(jiān)視區(qū)域離散化,并按角度等分為N份,用符號θi,i=1,···,N來表示.可以將式(1)寫成如下形式:

其中,β=[β1,···,βN]T表示相應(yīng)角度上的信號復(fù)振幅,Φ=[a(θ1),···,aaa(θN)]是M×N維陣列流型矩陣,也稱感知矩陣.由于后續(xù)壓縮感知算法需要使用列歸一化的感知矩陣,因此將式(3)改寫為

其中按列歸一化的感知矩陣A的每一列為

在本文中稱x為信號的幅值,有并且假設(shè)e是M維獨(dú)立同分布的高斯白噪聲,其每一維的均值為0,方差為σ2.本文中對信噪比的定義為[17]

根據(jù)信號的稀疏模型可知,K個(gè)來波信號相對于整個(gè)監(jiān)視區(qū)域可以認(rèn)為是稀疏的,即K?N.這滿足了壓縮感知的使用條件,因此可以使用壓縮感知技術(shù)重構(gòu)x,完成單快拍DOA的估計(jì).將上述單快拍DOA估計(jì)描述為如下壓縮感知重構(gòu)問題:

其中,‖x‖0表示向量xxx的非零元素?cái)?shù)目.

1.2　AMP算法

在眾多壓縮感知重構(gòu)算法中,一種被稱作近似消息傳遞的算法因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜度低以及具有良好的去噪聲能力而引起了人們的關(guān)注.AMP算法是一種軟閾值迭代算法,其迭代的初值選取為x0=0,z0=y,迭代公式如下所示[9]:

其中,A?表示A的共軛轉(zhuǎn)置,xt表示第t次迭代時(shí)原信號的估計(jì)值,zt表示第t次迭代的殘差.η(·)對x的每一維而言是一個(gè)標(biāo)量非線性的閾值函數(shù),它起到了在每次迭代中將結(jié)果導(dǎo)向更加稀疏的方向的作用.若去掉閾值函數(shù)該算法將收斂于式(8)的最小l2范數(shù)解[18].τt是第t次迭代時(shí)的閾值,η′(·)表示η(·)的導(dǎo)數(shù),〈x〉表示向量x的平均值,δ=M/N.閾值函數(shù)的具體形式為[9]

其中,(z)+表示zzz大于0的部分.文獻(xiàn)[10]中給出了參數(shù)τ的各種選擇方法.若參數(shù)τ由迭代式(11)表示:

則AMP算法的迭代結(jié)果將收斂于如下被稱為BPDN問題的解[10].

其中,ρ是平衡參數(shù).

2　感知矩陣的高相干問題

直接將AMP算法應(yīng)用于單快拍DOA估計(jì),無法得到一個(gè)令人滿意的結(jié)果.如圖1所示,AMP算法將原信號中的點(diǎn)狀非零元素重構(gòu)成在一個(gè)區(qū)域,就如同在重構(gòu)過程中將原信號的能量向其鄰域內(nèi)“泄漏”.這樣,我們無法直接得到一個(gè)精確的DOA估計(jì)結(jié)果.本節(jié)將分析造成該現(xiàn)象的原因.

其中,‖·‖表示向量的模,“?”表示共軛轉(zhuǎn)置.當(dāng)i=j時(shí)有g(shù)ii=1,此時(shí)被稱為自相干;當(dāng)i=j時(shí)有g(shù)ij=gji＜1表示矩陣A的列互相干系數(shù).令μ(A)=maxi=j(gij)表示最大列互相干系數(shù).

文獻(xiàn)[19]給出了無噪聲時(shí)保證閾值算法性能的充分條件:

定理1[19].對于式(4)定義的線性系統(tǒng)方程y=Ax,如果存在一個(gè)解x,其最大非零值為‖xmax‖,最小非零值為‖xmin‖滿足:

圖1AMP算法重構(gòu)結(jié)果Fig.1Reconstruction result of AMP algorithm

定義矩陣的列相干系數(shù):

則可以保證閾值算法能找到這個(gè)解.

該定理使用了最大互相干系數(shù)描述了感知矩陣與算法性能之間的關(guān)系.因此,需要分析單快拍DOA估計(jì)所知用的感矩陣的相干性.

與壓縮感知常用的隨機(jī)矩陣不同,單快拍DOA感知矩陣是一個(gè)確定性的矩陣.在DOA估計(jì)中,將相同的監(jiān)視區(qū)域劃分得越細(xì)(N越大)估計(jì)結(jié)果就越精確.但與此同時(shí),就會(huì)帶來的感知矩陣的高相干性問題.若用G=A?A表示矩陣A的格拉姆矩陣,則定義感知矩陣A的列相干系數(shù)矩陣C=‖A?A‖,即C的元素Ci,j就表示矩陣的第i列與第j列的相干系數(shù).

圖2和圖3分別展示了DOA感知矩陣與隨機(jī)感知矩陣的相干系數(shù)矩陣.圖中可以看出隨機(jī)感知矩陣列的最大互相干系數(shù)一般較小,并且最大互相干列的位置是隨機(jī)的.而DOA感知矩陣的最大互相干系數(shù)與自相干系數(shù)十分接近,且相距越近的列其互相干系數(shù)越大,相距較遠(yuǎn)的列相干程度較低.

圖2　DOA感知矩陣的列相干系數(shù)矩陣Fig.2Coherent coefficient matrix of DOA sensing matrix

圖3　隨機(jī)感知矩陣的列相干系數(shù)矩Fig.3Coherent coefficient matrix of random sensing matrix

研究AMP算法的迭代公式(式(8)和(9)),利用感知矩陣A的格拉姆矩陣G,可以將式(8)改寫為

其中,I表示N維的單位矩陣,x表示原信號,=xt?x,δt=〈η′(xt?1+A*zt?1,τt?1)〉/δ.

文獻(xiàn)[9?10]推導(dǎo)AMP算法迭代公式是基于假設(shè)M→∞.當(dāng)其他條件不變時(shí),若M→∞則G→I,此時(shí)由式(15)可以看出xt→x.文獻(xiàn)[9]又指出當(dāng)M較大(102～103)時(shí),AMP算法依然有效.然而在本文的應(yīng)用場景中M表示陣元數(shù)量,這是客觀限定的,一般不能滿足上述假設(shè),因此AMP算法不能得到較好的結(jié)果.

3　SSAMP算法

3.1　算法思路

研究圖4所示的DOA感知矩陣列的相干系數(shù),發(fā)現(xiàn)該相干系數(shù)可以被分為兩個(gè)部分:一部分是相干系數(shù)較大且較為集中的列,被稱為高相干列,即圖4中“主瓣”相應(yīng)的部分,且相距越近相干系數(shù)就越大;另一部分是相干系數(shù)較小且更為分散的列,被稱為低相干列.通過對比圖1所示的AMP算法重構(gòu)結(jié)果與圖4所示的列相干系數(shù),可以發(fā)現(xiàn)AMP算法的重構(gòu)結(jié)果對應(yīng)于原信號支撐集的高相干列.

圖4　DOA感知矩陣某一列的相干系數(shù)Fig.4The coherence coefficient of one column in sensing matrix

雖然AMP算法在感知矩陣相干程度較高時(shí)不能得到一個(gè)精確的重構(gòu)結(jié)果,但是其重構(gòu)結(jié)果的支撐集包含了原信號的支撐集及其高相干列.從這一點(diǎn)出發(fā),可以考慮利用AMP算法的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行更進(jìn)一步的精確求解.

因此我們提出了一種基于AMP算法的子空間搜索近似消息傳遞(SSAMP)算法.SSAMP算法的求解過程總體上分為兩步:第一步由AMP算法求得粗解;第二步在粗解的支撐集中找出精確解.在不考慮噪聲以及低相干列的影響時(shí),每一步迭代結(jié)果中的局部最大值就對應(yīng)原信號的支撐集.而噪聲會(huì)使迭代中局部最大值偏離原信號的支撐集.但是可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)信噪比大于某一水平時(shí),就能保證粗解的支撐集包含原信號的支撐集.將AMP算法得到的粗解記為由其支撐集Supp劃分出若干子空間.進(jìn)而在這些子空間中,利用殘差最小原則尋找原信號的支撐集,并求得精確解.由于AMP算法本身的計(jì)算復(fù)雜度較低,同時(shí)這些子空間相對較小,因此該算法的計(jì)算效率也較好.值得說明的是這種子空間的劃分不是預(yù)先設(shè)定的,而是由量測驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)劃分.

3.2　閾值的選擇

AMP算法是一種迭代閾值算法,閾值初值設(shè)置過大會(huì)導(dǎo)致幅值較小的信號被去除,而閾值初值設(shè)置較小會(huì)使收斂速度降低.閾值初值的選取原則應(yīng)當(dāng)是在保證算法速度的前提下盡可能的小.我們通過仿真的方式來分析不同的閾值初值的選擇對AMP算法收斂速度的影響.假設(shè)信號的幅值x=1,閾值初值選擇從0.001到0.3,圖5顯示了1000次蒙特卡洛仿真中AMP算法收斂的平均迭代次數(shù).從圖5中可以看出閾值初值選擇在大于0.05時(shí),迭代次數(shù)幾乎不變.

圖5　閾值選擇與迭代次數(shù)關(guān)系Fig.5　The iteration number versus threshold value

因此,若已知信號的幅值的水平為x,則建議閾值初值設(shè)置為略大于0.05x.若信號幅值水平未知,已知信號個(gè)數(shù)K,則可以估計(jì)信號幅值水平x=‖y‖/K.本文仿真實(shí)驗(yàn)中閾值初值的選擇為τ0=0.1x.

3.3　算法描述

為了解決高相干性對AMP算法造成的影響并保留AMP算法在計(jì)算復(fù)雜度和抗噪聲能力上的優(yōu)勢,本文提出了一種基于子空間搜索近似消息傳遞(SSAMP)算法.SSAMP算法需要已知感知矩陣A、量測y、初始閾值τ0和信號數(shù)K,最終得到重構(gòu)結(jié)果.共分為如下5個(gè)步驟:

步驟1.求粗解

根據(jù)AMP算法式(8)～(11)迭代計(jì)算直到得到一個(gè)收斂的結(jié)果或者得到一個(gè)是殘差最小的結(jié)果,并將其記為粗解

步驟2. 子空間劃分

/=0,子集數(shù)r=1,并將其指標(biāo)1放入子集Supp1.

這樣可以提取出NR個(gè)子集(子空間),分別記為Suppr,r=1,···,NR.將各子集的中位元素作為該子集對應(yīng)的嘗試解支撐元素位置的初值,并將它們合并為初始嘗試解的支撐集S.

步驟3.求精確解1

按順序選擇每一個(gè)子集,保持嘗試解支撐集S中其他子集對應(yīng)的元素不變,用該子集中的每一個(gè)元素替換S中該子集相應(yīng)的元素Sr.用AS表示A中與S相應(yīng)的列組成的矩陣,根據(jù)

求出嘗試解,并找出使殘差

最小的支撐集Sr作為該子集的一元最優(yōu)解.當(dāng)NR=K時(shí),說明一個(gè)子集只包含一個(gè)非零元素即一元解.此時(shí)所有子集的一元最優(yōu)解的集合就組成了精確解的支撐集S.

步驟4.求精確解2

當(dāng)NR＜K時(shí),說明在某些子集中存在多個(gè)非零元素.因此在每個(gè)子集中尋找最優(yōu)解就需要考慮最多存在Nsol=k?NR+1個(gè)非零元素的情況.假設(shè)第r個(gè)子集中非零元素的個(gè)數(shù)p,遍歷該子集中所有p元組合構(gòu)成的備選集合T.用p個(gè)元素替換Sr,按式(16)和式(17)計(jì)算得到p元最優(yōu)解和相應(yīng)的殘差res(p).從p=2開始,如果res(p)＞res(p?1)則說明該子集中只有p?1個(gè)非零元素,并用替換Sr得到新的S.更新Nsol=K?size(S)+1.直到size(S)=K.

步驟5.求最終解

根據(jù)步驟3和步驟4得到的支撐集S和式(16)求出最終解.

SSAMP算法的偽代碼描述見表1.

4　 單快拍DOA估計(jì)應(yīng)用的仿真

本節(jié)將利用仿真實(shí)驗(yàn)來分析討論SSAMP算法在單快拍DOA估計(jì)應(yīng)用中的表現(xiàn).由于DOA估計(jì)對算法的抗噪聲性能和超分辨性能有著特殊的要求,因此將通過兩組仿真來驗(yàn)證SSAMP算法在單快拍DOA估計(jì)應(yīng)用中的性能,并與經(jīng)典的DOA估計(jì)MUSIC算法[1]、ESPRIT算法[2],壓縮感知類的SP[20]、OMP 算法[6]、SSDOA-L1 算法[6]、SSDOA-RFOCUSS算法[6]以及GSSMP算法[8]進(jìn)行了比較.值得注意的是,MUSIC算法以及ESPRIT算法是無法實(shí)現(xiàn)單快拍DOA估計(jì)的,因此在仿真2中這兩種算法均使用了10個(gè)快拍的數(shù)據(jù)來得到估計(jì)的結(jié)果.

表1　SSAMP算法偽代碼Table 1　SSAMP algorithm pseudocode

4.1　仿真1

仿真場景1的設(shè)置如下:接收陣列有M=30個(gè)陣元沿x軸呈直線排列,其陣元間距為半波長.監(jiān)控角度的范圍為θ∈[15°,60°],將上述監(jiān)控區(qū)域按等角度分為N=200個(gè)分辨單元.設(shè)信號數(shù)目為K=1,其幅值設(shè)為xi=1,其方位角θi在上述監(jiān)控區(qū)域內(nèi)隨機(jī)均勻分布.將信噪比范圍設(shè)置為從?20dB到70dB.一共進(jìn)行了500次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn).仿真硬件環(huán)境為:Matlab R2011b,Windows 7 64bit,Intel Core i5-4570 CPU 3.20GHz,RAM 4.00GB.

設(shè)置該場景的目的是比較不同壓縮感知算法在單快拍DOA估計(jì)中的性能,即在不同的信噪比條件下對比SP、OMP、SSDOA-L1、SSDOARFOCUSS、GSSMP與SSAMP算法的單信號DOA估計(jì)誤差和運(yùn)行時(shí)間.

DOA估計(jì)誤差將由500次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)的均方根誤差來表示.

其中,θ,分別表示真實(shí)來波方向與估計(jì)來波方向.

圖6展示了幾種壓縮感知算法來波方向估計(jì)均方根誤差的比較結(jié)果.特別指出的是,為了結(jié)果在對數(shù)坐標(biāo)顯示的方便,圖6中10?9即對應(yīng)RMSE為0.

圖6　角度估計(jì)的RMSE與信噪比關(guān)系Fig.6　RMSE in angle estimation versus SNR

當(dāng)信噪比＞20dB 時(shí),SSAMP、OMP、SSDOA-L1與SSDOA-RFOCUSS算法單信號DOA估計(jì)的RMSE為0,意味著這些算法此時(shí)能完全抵消噪聲的影響實(shí)現(xiàn)精確的DOA估計(jì).SSDOA-RFOCUSS算法在小于20dB時(shí),SSAMP算法在小于5dB時(shí),OMP算法在小于3dB時(shí)以及SSDOA-L1算法在小于?16dB時(shí),不能保證精確的DOA估計(jì)結(jié)果.其余幾種算法則一直不能得到精確的DOA估計(jì)結(jié)果,但當(dāng)信噪比＞5db時(shí)RMSE一直在10?2的水平左右.大多數(shù)算法在信噪比從5dB下降到?15dB時(shí),RMSE(Root mean suare error)從10?2增加到10?1.當(dāng)信噪比小于?19dB左右時(shí),全部算法的RMSE都跳變到了101的水平.

圖7展示了SSAMP與其他幾種算法在不同信噪比條件下運(yùn)行時(shí)間的比較結(jié)果,結(jié)果是500次蒙特卡羅仿真結(jié)果的平均.特別指出的是SSDOA-L1算法使用的時(shí)CVX工具包求解.

可以看出SSAMP、OMP、SP三種算法的運(yùn)行時(shí)間較小,而其余三種算法的運(yùn)行時(shí)間要大得多.SSAMP算法的運(yùn)行時(shí)間在大部分情況下優(yōu)于其他幾種算法的,僅略高于OMP算法.當(dāng)信噪比小于?15dB時(shí),SSAMP算法運(yùn)行時(shí)間會(huì)略為增加.

圖7　運(yùn)行時(shí)間與信噪比關(guān)系Fig.7　Execute time versus SNR

4.2　仿真2

仿真2的目的是為了對比幾種經(jīng)典算法與壓縮感知類算法在不同信噪比條件下可以分辨的最小角度.

仿真2的設(shè)置與仿真1的主要區(qū)別在于仿真2中設(shè)置的信號數(shù)K=2,其幅值均設(shè)為1.信號1的方位角θi1為隨機(jī)變量,在監(jiān)控區(qū)域內(nèi)均勻分布,信號2的方位角θi2為在監(jiān)控區(qū)域內(nèi)與θi1相差一個(gè)固定的角度間隔?θ.

在每一次重復(fù)的仿真實(shí)驗(yàn)中,?θ從22.5°逐漸減小到0.225°,即間隔的分辨單元從100依次減小到1.當(dāng)估計(jì)結(jié)果中兩個(gè)信源的估計(jì)誤差分別都小于2°,則認(rèn)為分辨成功;否則,認(rèn)為該分辨失敗.當(dāng)某一算法不能成功分辨一個(gè)角度時(shí),則認(rèn)為上一個(gè)角度間隔為其最小可分辨角度.記錄下在不同信噪比條件下,各個(gè)算法能分辨的最小角度.仿真結(jié)果是500次蒙特卡羅仿真中最小可分辨角度的平均值.特別說明當(dāng)在最大角度間隔時(shí),某一算法仍無法有效分辨兩個(gè)來波信號,則將其最小分可辨角度記為22.5°.

圖8展示了信噪比與該算法能分辨的最小間隔角度的關(guān)系.可以看出SSAMP算法與GSSMP算法在信噪比大于?2dB時(shí),以最小可分辨角度定義的分辨性能要好于其他算法.ESPRIT算法認(rèn)為不能分辨相干信號.MUSIC算法與OMP算法最小可分辨角度大約等于3°.MUSIC算法分辨性能幾乎不隨信噪比改變.OMP算法信噪比大于?5dB時(shí),分辨性能幾乎不隨信噪比改變.SSAMP、GSSMP、OMP以及SSDOA-RFOCUSS算法在?5dB到0dB時(shí),分辨性能急劇下降.

圖8　最小分辨角度與信噪比的關(guān)系Fig.8　Minimum resolution angle versus SN

4.3　仿真結(jié)果分析

從單信號DOA估計(jì)的均方根誤差角度看SSDOA-L1算法是最優(yōu)秀的,然而其使用二階錐規(guī)劃方法求解使其運(yùn)行時(shí)間較高.同時(shí)其最小可分辨角度仿真結(jié)果也較差.這可能是由于其分辨兩個(gè)信號時(shí)得到的結(jié)果具有隨機(jī)性,即使相距角度較大也不能保證100%的概率.而仿真2的結(jié)果說明的是一個(gè)算法能夠穩(wěn)定得到的最小可分辨角度,在這個(gè)意義上SSDOA-L1算法性能較差.

而在最小可分辨角度性能中較好的GSSMP算法,但單信號DOA估計(jì)的RMSE較大.GSSMP算法也是一種針對感知矩陣高相關(guān)問題的算法.與本文所提SSAMP算法類似,GSSMP算法也是先求粗解再進(jìn)行精細(xì)解的尋找的兩步式算法.但GSSMP算法處理高相干感知矩陣問題與本文所提算法的不同.GSSMP算法先將感知矩陣的高相干列進(jìn)行合并形成一個(gè)互相干度較低的相似感知矩陣.而后通過相似感知矩陣求出粗解,進(jìn)而通過粗解對應(yīng)的高相干列尋找出精確解.然而由于其對高相干列的劃分是預(yù)先確定的,不能夠保證非零元素位于高相干列組成的子空間的中心.若非零元素恰好位于子空間的邊緣,由于噪聲的影響會(huì)出現(xiàn)粗解錯(cuò)誤的指向與非零元素相鄰的子空間,因而無法找出正確的解.因此GSSMP算法無法得到如本文所提算法在高信噪比條件下RMSE=0的情況.

SSDOA-RFOCUSS算法仿真中表現(xiàn)的性能與文獻(xiàn)[6]中的結(jié)論有較大差距.在本文給出的仿真條件下,SSDOA-RFOCUSS算法迭代公式中的AA?這一項(xiàng)是不滿秩的,其逆不存在,只能使用偽逆代替.這可能是SSDOA-RFOCUSS在本文仿真中性能較差的原因.

OMP算法在運(yùn)行時(shí)間、單信號DOA估計(jì)RMSE和最小可分辨角度三項(xiàng)性能指標(biāo)的比較中綜合性能較好.本文所提SSAMP算法與其比較.在運(yùn)行時(shí)間和單信號DOA估計(jì)RMSE的比較中,OMP算法略微好于SSAMP算法.而在最小可分辨角度的比較中,當(dāng)信噪比大于?5dB時(shí)SSAMP要明顯優(yōu)于OMP算法.SP算法在各種性能指標(biāo)上均要差于SSAMP算法.因此SSAMP算法在綜合性能上具有一定的優(yōu)勢.

5　SSAMP算法性能分析

由仿真結(jié)果圖6至圖8可以看出SSAMP算法有3個(gè)特點(diǎn):1)在SNR＜?19dB時(shí),其單信號估計(jì)的RMSE和運(yùn)行時(shí)間惡化;2)在SNR＞5dB時(shí),其單信號估計(jì)的RMSE為0;3)在SNR＜?2dB時(shí),其分辨能力大幅下降.下面將通過分析上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因進(jìn)而分析SSAMP算法的性能.

5.1　SSAMP算法有效的條件

本節(jié)通過分析SNR＜?19dB時(shí)DOA估計(jì)的RMSE惡化與運(yùn)行時(shí)間增加的原因來找出SSAMP算法有效的信噪比條件.

由AMP算法迭代公式(式(8)～式(11))可以看出所有包含噪聲的項(xiàng)都位于閾值函數(shù)之中,可以考慮分析在x

x的每一維噪聲對閾值函數(shù)的影響來解釋算法失效的原因.假設(shè)噪聲為高斯白噪聲,并記為ε.由于ε是一個(gè)隨機(jī)變量,因此我們分析它對閾值函數(shù)的期望造成的影響.設(shè)閾值τ＞0,那么根據(jù)式(10)則閾值函數(shù)的期望可以表示為

其中,f(ε)表示噪聲的分布函數(shù),其累積分布函數(shù)用F(ε)表示.將式(19)積分展開可得

為了進(jìn)一步量化分析噪聲對閾值函數(shù)的影響,我們定義一個(gè)等效閾值的概念.

等效閾值.=sup(E(η(x,τ))＜∈).其中,∈表示一個(gè)接近零的較小的正數(shù)(10?4).

圖9展示了在不同信噪比條件下的等效閾值變化的情況.閾值函數(shù)的作用就是將小于閾值的量直接設(shè)置為0,從而實(shí)現(xiàn)噪聲的消除和迭代結(jié)果的稀疏化,而噪聲的出現(xiàn)使得閾值函數(shù)的這種作用變?nèi)?當(dāng)信噪比在?20dB到?15dB時(shí),閾值函數(shù)作用下降明顯.因此,此時(shí)SSAMP算法的性能會(huì)明顯下降.

圖9　不同噪聲水平下的等效閾值Fig.9Equivalent threshold under different noise levels

當(dāng)信噪比小于?19dB時(shí),利用AMP算法得到的子空間未必包含真實(shí)的非零元素解,此時(shí)SSAMP算法得到的DOA估計(jì)結(jié)果誤差將會(huì)大幅增加.同時(shí)根據(jù)文獻(xiàn)[9]的結(jié)論,此時(shí)AMP算法的結(jié)果趨近于最小l2范數(shù)解.粗解的稀疏性大幅降低,由此得到的子空間數(shù)量會(huì)大幅增加,此時(shí)SSAMP算法的運(yùn)行時(shí)間也會(huì)增加.

5.2　SSAMP算法精確重構(gòu)的條件

精確重構(gòu)是指算法重構(gòu)的RMSE=0.通過尋找仿真1中SNR＞5dB時(shí)的DOA估計(jì)RMSE為0的原因來得到確重構(gòu)的條件.

設(shè)ζ=xi(Ai?gtiAt)表示了向量xi=xiAi與向量At正交的分量.同理設(shè)表示了噪聲向量e與向量At正交的分量.結(jié)合式(21)與式(22)可得:

對rest=i根據(jù)三角不等式有:

若要RMSE=0必須有rest=i＞rest=i即

假設(shè)出現(xiàn)極端情況即e=?ζ時(shí),有 ‖e⊥t‖=‖e‖,‖e⊥i‖=gti‖e‖.此時(shí)式(25)變?yōu)?/p>

由此得到SSAMP算法RMSE=0的充分條件為

代入具體的仿真參數(shù)max{gti}=0.9964,得到的信噪比應(yīng)大于12.67dB.

然而由仿真得到的結(jié)果為SNR＞5dB倒推得到的‖e‖要比理論值大2.24倍.必須要考慮到eee是一個(gè)每一維獨(dú)立同分布且均值為0、方差為σ2的M維高斯隨機(jī)向量.因此E(ζ?e)=0,說明ζ與e在大多數(shù)情況下接近正交.而在上述假設(shè)出現(xiàn)的極端情況下,ζ與e是平行的.同時(shí)又因?yàn)棣婆ce的維數(shù)M=30,所以在有限次的仿真實(shí)驗(yàn)中很難取得這種極端的情況.因此可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與理論分析是一致的.

5.3　SSAMP算法信噪比與分辨能力的關(guān)系

分辨能力的下降主要是因?yàn)楫?dāng)噪聲水平增加時(shí),二元真實(shí)解的殘差大于一元解的殘差.設(shè)真實(shí)的非零元素位置為i1,i2,有Ax=xi1Ai1+xi2Ai2.一元解及其殘差由式(21)和式(22)求得.根據(jù)仿真2的設(shè)置,有xi1=xi2=x.用一個(gè)合成向量來表示這個(gè)二元真實(shí)解,即v=x(Ai1+Ai2).則真實(shí)解的殘差可以表示為resv=‖ee⊥v‖.這樣處理后,該問題變得與上一節(jié)的情況相似,可以由式(26)直接得到一個(gè)相似的結(jié)果:

將最小可分辨角度為1.125°時(shí)相應(yīng)的參數(shù)gtv=0.9675代入式(29),可得對應(yīng)的信噪比的下界是0.04dB.而圖8中與該最小分辨角度對應(yīng)的信噪比為?1dB.因此可以認(rèn)為上述關(guān)于信噪比與最小可分辨角度的分析是有效的.

5.4　信號數(shù)未知時(shí)SSAMP算法的擴(kuò)展

本文所提的SSAMP算法是在信號數(shù)K已知的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的.然而在實(shí)際的DOA估計(jì)應(yīng)用中,信號數(shù)已知的前提有時(shí)難以滿足.因此本節(jié)將討論SSAMP算法能否擴(kuò)展應(yīng)用于信號數(shù)未知的情況.

本文所提算法使用信號數(shù)的地方有兩處:確定初始閾值和求精確解.在確定初始閾值時(shí)需要使用來波信號的幅值水平.當(dāng)來波信號的幅值水平未知時(shí),使用x=‖y‖/K進(jìn)行估計(jì)以便確定初始閾值.若信號數(shù)未知時(shí),沒有辦法按照第3.2節(jié)中的建議選擇初始閾值.為了保證幅值較小的信號能被正確重構(gòu),需要選擇足夠小的初始閾值.根據(jù)圖5所示,這樣做會(huì)大幅降低AMP算法收斂的速度,增加程序運(yùn)行時(shí)間.在求取精確解的過程中若信號數(shù)K已知,每個(gè)子集中最多可能存在的信號數(shù)Nsol=K?NR+1就已知,這會(huì)使算法計(jì)算量較低.當(dāng)信號數(shù)K未知時(shí),如果存在多個(gè)信號位于一個(gè)子空間中的情況,為了在所有子集中遍歷全部可能的解,會(huì)使算法計(jì)算量大大增加.

綜上所述,本文所提SSAMP算法在信號數(shù)未知時(shí)也可以擴(kuò)展使用.但此時(shí)算法的運(yùn)算量會(huì)大幅增加,這意味著算法可以通過增加計(jì)算量來彌補(bǔ)信號數(shù)未知的信息損失.

6　結(jié)論

本文通過分析AMP算法得到的粗解與感知矩陣高相干列的關(guān)系,提出了一種SSAMP算法.該算法利用分步求解的思想,首先利用AMP算法求出粗解,然后在粗解所對應(yīng)的子空間中進(jìn)一步尋找精確解.該算法保留了AMP算法計(jì)算復(fù)雜度低以及相對于其他壓縮感知類算法具有抗噪聲能力強(qiáng)的優(yōu)勢,同時(shí)又解決了AMP算法在感知矩陣相干系數(shù)較高時(shí)無法精確求解的問題.仿真實(shí)驗(yàn)通過對比SSAMP算法與一些經(jīng)典的壓縮感知算法在單信號RMSE、運(yùn)行時(shí)間和最小可分辨角度上的性能,驗(yàn)證了SSAMP算法在綜合性能上要優(yōu)于其他算法.最后本文在理論上分析了SSAMP算法有效范圍、精確重構(gòu)條件以及信噪比與最小分辨角度的關(guān)系,并討論了信號數(shù)未知時(shí)算法的擴(kuò)展.在下一步的工作中,可以考慮將目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)與本文所提算法相結(jié)合,使用目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的結(jié)果作為先驗(yàn)信息來進(jìn)一步降低單快拍DOA估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜度.

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