水火箭的理論探討

馮冠楠

摘 要：水火箭是學生學習物理知識與實踐相結合的很好的活動，通過水火箭的制作，學生能理解拋體運動，學習理解并解釋牛頓第一、第二及第三定律在水火箭上的應用。讓學生體驗實驗探究，試驗并發現發射中的問題，并找出解決的辦法。

關鍵詞：理論分析；實驗探究；試驗發射；思維活動

目前，在很多中學，學校的物理課在講到拋體運動時，都會結合一些物理課中的拋體知識、物理理論來進行一些課外的實踐及實驗活動，以活躍學生的學習興趣。水火箭就是一個很好的活動例子，但是，在很多的實踐活動中，學生在操作過程中總是要涉及一些理論問題，具體的活動要領以及技術問題，比如：能達到多大發射速度或多大高度，應當用多大的體積的可樂瓶，在瓶內要裝多少水，要加多大的氣壓，等等，這些在理論上的講述及理解并不是很透徹，以至于在實踐活動中，有時老師也不能很好地給予理想的解答，因此不得以就用實驗的方法進行測，如果能有一定理論知識作為指導，那教師在指導學生的活動中，也可以心中有數，做到有的放矢。

水火箭除了拋體的知識外，還涉及動量定理、動量守恒定律，及理想氣體定律（玻-瑪定律）等等知識。

首先說明，水火箭在發射過程中，是一個變質量的物體的運動，在水不斷向后噴出的過程中，總的質量是在不斷減少的，所以要進行一些變質量物體運動的分析。由于水是連續噴出的，從而水火箭的質量也是連續變化的（連續減少）。理想狀態是當水剛噴完，水火箭達到最大速度，此后水火箭靠慣性繼續飛行。

下面就水火箭的運動做一些理論及實踐上的分析。

一、首先討論一下一般情況下的變質量物體的一般運動規律

設在某一時刻，物體的質量為m，它相對于地面的速度■，另一質量dm的物體以速度■運動，經過dt時間后，m與dm合并成和體后，以共同的速度■+d■運動，作用在m和dm組成的系統上的外力的矢量和為■。

這樣，主體m與微小物體dm組成了質點系。

變質量物體的運動微分方程

設：（1）t時刻，主體質量為m，相對于某慣性系的絕對速度是■，微小物體的質量為dm，相對于同一慣性系的絕對速度為■。

（2）在dt時間內主體與微小物體完成合并。

（3）在dt時間內，m與dm合并，作用在m與dm上的外力矢量和為■。

（4）在t+dt時刻，主體的質量變為m+dm，相對于同一慣性系的速度為■+d■。

根據質點組動量定理，

m與dm作用前（合并前）的總動量：■=m■+■dm

m與dm在dt時間內完成合并，合并前后如圖所示。

合并后的總動量：■=（m+dm）（ ■+d■）

■

根據質點組的動量定理：■-■=■dt，

即：（m+dm）+（■+d■）-（m■+■dm）=■dt

將該式展開并略去二階無窮小量dmdv，得：

md■+（■-■）dm=■dt （1）

或：m■=■-（■-■）■ （2）

（1）（2）是變質量物體的運動方程，兩式均稱為密舍爾斯基方程，是解決變質量物體運動的重要動力學方程。

以上兩式雖從和體質量增加而導出，但是同樣適用于主體不斷減小的情況：

當■<0時，主體質量減小；當■>0時，主體質量增加。

方程（2）可視為主體運動微分方程。

其中，■——主體加速度。m——主體質量。

（■-■）■——微質量對主體的反作用力。（如火箭就是靠此飛行）

二、下面就利用上面導出的公式對水火箭進行一些理論上的分析

水火箭在噴射瞬間，dm是從火箭主體分離出來的微小物體，因dm的質量很小，dm

對于水火箭來說，其受到的外力為空氣阻力及重力，由于水火箭飛行的速度并不是太快，在忽略空氣阻力的情況下，可以不計，因此，所受到的外力主要為重力，在飛行中，水不斷噴出，火箭主體的質量也在不斷減少。

由于水火箭在飛行中，是一個質量不斷減小的過程，即是一個變質量運動物體。設m是在水噴出前瞬間火箭主體的質量，m′為水噴出后瞬間火箭主體的質量，主體質量是減小的，所以，瞬間噴出的水的質量為：dm=m′-m<0，所以m′=m+dm

設■是t時刻質量為m的水火箭相對于地面的速度，■是t+dt時刻時，水火箭質量為m′時相對于地面的速度。

■′與■方向相同，所以，水火箭噴出dm的水后，速度的增加量：d■=■′-■>0

水火箭向后噴出dm的水時，dm相對于地面的速度為■。

所以，水火箭噴出dm前后，火箭m′及dm的總動量的變化量為：

噴出水前動量：P1=m■

噴出水后動量：P1=m′■′-■dm=（m+dm）（■+d■）-■dm

由動量定理得出：■2-■1=■dt

整個飛行過程只受重力。所以，上式整理后略去兩節無窮小得：m■+（■-■）■=m■

由上式可見與方程（2）相同。

現取豎直向上為坐標軸正方向，則微分方程式變為：

m■=-mg-（v-u）■

根據速度的合成原理：v-u即是dm相對于水火箭主體m′的相對速度，即噴射速度。

設v1=v-u則：m■=-mg-vr■ （■<0） （3）

從（3）式中可以看出：■r■（當■<0時）為反沖力，即推動火箭飛行的作用力。

水火箭的加速度：a=m■=-g-vr■ （4）

因■<0（箭體因向后噴水總質量減少）所以上式可以寫成：

a=m■=vr■-g （5）

由此式可以看出，其加速度a是一個隨時間及質量變化的物理量。所以水火箭噴出的水相對于水火箭的推力也是一個變化的力。對（5）式變換得：

dv=-gdt-vr■ （6）

經過時間t，當水火箭中的水噴射完時，其質量只剩下水火箭殼體的質量m0，所以對（6）式積分：

■dv=-g■dt-vr■■

v=-gt-vr1n■或v=-gt+vr1n■ （7）

式中v為水噴射終了時的水火箭的速度（即最大速度），m為箭體含水的總質量。m0為水火箭射完水后，火箭殼體（無水）的質量。

從（7）式可以看出：如果水火箭殼體內的水在很短時間內噴射完，發射時，噴射的水相對于火箭的速度vr也很大，裝入水的水火箭的總質量與水火箭殼體的質量比■很大，水火箭的速度就可以很大。水火箭能達到的最大速度與水火箭的噴射速度Vr及質量比■有關，同時，受重力加速度的作用，隨著時間的增加（即噴射的時間長），在噴射完水的過程中，當達到：gt=vr1n■時，速度為0

如果在太空，不計重力及空氣阻力，噴射終了時的最大速度為：v=vr1n■ （8）

（8）式稱為齊奧爾科夫斯基公式。齊奧爾科夫斯基是開拓火箭技術領域的先驅者之一。式中■為質量比。因水火箭的m>m0所以1n■>0。

當然，水火箭在飛行過程中，還受到空氣阻力的作用，

小資料：如果考慮空氣阻力，則空氣的阻力為：f空氣=■CρSV2式中：C為空氣阻力系數；ρ為空氣密度；S為物體迎風面積；V為物體與空氣的相對運動速度。

可以看出，空氣阻力與形狀及速度有關，所以水火箭的飛行過程是一個很復雜的過程。

一些物體的風阻：垂直平面體風阻系數大約1.0；球體風阻系數大約0.5；一般轎車風阻系數0.28～0.4；好些的跑車在0.25；賽車可以達到0.15；飛禽在0.1～0.2；飛機達到0.08；目前雨滴的風阻系數最小，在0.05左右。

所以把水火箭做成流線形，且前面做得尖一些，以減小空氣的阻力。

三、關于水火箭殼體內壓縮氣體與火箭噴射時壓強（或力的）變化的討論

水火箭內的壓縮氣體可以看成是理想氣體。

水火箭所需要的動力來源是殼體內的高壓氣體膨脹時推動加在殼體內的水，使水向后高速噴出而產生的反作用力，這個力推動水火箭向前飛出。

我們來試著分析一下水火箭在氣體壓力不斷減小的情況下的運動情況。

我們可以看出噴嘴處水的壓強與箭體內氣體的壓強相等（帕斯卡定律）。

設：殼體內氣體的溫度在整個噴射過程中不變，根據玻意耳-馬略特定律：

P1V1=P2V2=nRT 或：PV=C（恒量） （9）

理想情況是：當水從殼體內從噴射到噴完過程中，殼體內的壓強從壓縮狀態P變化到等于外界大氣壓強P0，箭體內的氣體的壓強不斷減小，殼體內的氣體的體積V從被壓縮狀態變化到水剛剛噴完后達到整個殼體體積V0，體積增大。整個過程中氣體的壓強與體積的變化都滿足玻-馬定律，另外，水火箭向后噴射出水的過程中，火箭不斷加速，但是因為殼體的壓強減小，即對向后噴射的水的壓力也變小，直到水從箭體內噴射完為止。這是一個變加速過程。

■

水火箭噴嘴的面積s及箭體的面積S是不變量。

（9）式中：P=■ f為噴嘴處噴出的水的作用力，s為噴嘴的面積

氣體的體積：V=xS x為氣體長度，S為箭體內氣體截面，代入（9）式：■xS=C或fx=■=C′（S與s是不變量） （10）

從10式可以看出，箭體受到的噴出的水的反作用力與箭體內的x成反比關系。

可見，當氣體膨脹過程中，x不斷增大，所以箭體受到的反作用力也在不斷減小，最后達到與大氣壓產生的作用力相等，箭體的速度也在增加，但是其加速度不斷減小。

四、水火箭向后噴射的水在噴嘴處速度大小的討論

我們可以通過實驗得出，當一個上端開口的容器中水的深度為h時，在容器的下端開一個開口向上的孔，如圖a，因水深為h，水在h深處的壓強為P=ρgh，且開口向上，如果不考慮空氣阻力，根據機械能轉化守恒定律，則噴射出的水柱高度也應為h，這樣一來，就可以算出水噴射出水火箭時的速度。

由機械能的轉化和守恒定律：mgh=■mv2

得出：v2=2gh

將上式兩邊乘以ρ，得：v2ρ=2ghρ=2p

變換上述公式，得：v=■ （11）

因f=ps所以：p=■；式中s為噴嘴處的截面（也即是水火箭噴嘴處的截面，是常數）

由（11）式可以看出，噴嘴處的出水速度是一個只與箭體內的壓強有關的物理量。

代入上式得出噴嘴處相對于箭體的噴出的水的速度也可寫為：v=■ （12） 式中f為壓強為P時，噴嘴處的水的壓力，ρ為水的密度，ρs是常數。

可以看出，因ρ為水的密度，是常數，所以，出口處水相對于箭體的噴射速度是一個與質量無關，只是一個與密度有關，與壓強P的平方根成正比的物理量，上式雖然是從水深的方法導出的，因v只與壓強有關，所以也適用于封閉的容器（水火箭就是這種情況）。

如果把容器頂端封閉，裝入適量的水，并在容器內充入高壓氣體，使容器內氣體產生的壓強與h深處水的壓強相同（當氣壓很大時，箭體內的水深可不計），如圖b所示，則噴嘴處的水的速度也將等于相同水深處噴出的水的速度。當容器內氣體的壓強很大時，可以認為是產生相同壓強所對應的水深的水在噴射口處產生的壓強，因為噴嘴處噴出的水的速度只是一個與壓強有關的量，所以，噴嘴處噴出的水的速度也將與不封閉時等同深度處容器出口產生的壓強相同，噴出的水的速度也與等同水深處獲得的速度相等。

五、加水量與射程的關系

水火箭加入水量的多少直接決定水火箭的射程。動量P=mv，在壓縮氣體膨脹過程中，火箭中的水在氣體放盡時也剛好放完是最佳情況。這時，火箭獲得的動量最大（速度也最大）。

通過實驗得出，當水量為1/3左右時，水火箭飛得最高.而且氣壓越大，噴嘴處對噴出的水的作用力就越大，噴水的力量越大，水火箭的沖量越大，水火箭做反沖運動。

如果水火箭中的水未噴完，由于氣壓減小就停止了加速，水火箭的重量就會使水火箭受重力影響而提前墜落了。質量越大，所需提供的動量就越大，提高速度的方法是提高單位時間內的噴水量.所以，只有當水火箭內的氣壓與水量適當時，才能飛得更遠更高。實驗中發現，若水量大于固定氣壓所能噴射的上限，則水火箭中的水不會噴完，要如何避免水噴不完的情形呢？

根據PV=nRT，可求出一定氣壓所能噴出的水量上限.若是水量不夠一定氣壓所能噴出的水量被較早噴完。根據理論，發射時我們先量出能灌進水火箭的最大值，再算出此氣壓能噴出的最大水量，根據此兩項數據裝水灌氣，即可達到水火箭之最大射程（Pmax=Fmax×Mmax）.

發射：水火箭發射時利用牛頓第三定律，力的作用是相互的。火箭中的氣體釋放壓力，作用在水上，水在瞬間噴出，火箭獲得一個極大的反沖力，瞬間“飛出”。利用壓強P=F/S，噴水口的面積S一定，要想使火箭獲得更大的反沖力（速度），就要使火箭中的壓力足夠大，即要充入更多的空氣，這就利用了PV=nRT，n越大，P 越大。

飛行：火箭飛行過程中，在水沒有噴完前，其速度是增加的，但因作用力不斷減小，加速度也不斷減小，是一個變加速運動。在水噴射完后，是利用自身的慣性飛行（牛頓第一定律）；火箭飛出時的速度是斜向上的，在重力的作用下，火箭的飛行軌跡是斜拋運動，這就是“彈道飛行”（運動學原理）。

同時，由于摩擦，火箭還受到空氣阻力的作用，使得火箭的速度不斷減小。上升到一定高度后，火箭的豎直方向速度減小至0，火箭開始降落，依然呈“拋物線”型。總之，水火箭利用的物理學原理有：動量P=mv及動量守恒定律，理想氣體實驗定律PV=nRT，牛頓運動定律（第一、第二、第三），運動學公式等，是經典力學非常典型的應用。

參考文獻：

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？誗編輯 郭小琴