例談函數奇偶性應用中的兩類求值問題

張子才

函數奇偶性是函數的主要性質，在解題中運用很廣泛，下面就結合具體例子談一談關于函數奇偶性應用中的兩類求值問題。

一、利用函數的奇偶性直接求值

例1：f（x）是R上的奇函數，x∈（0，+∞）的解析式為f（x）=■.求f（-1）的值.

解1：∵f（x）是R上的奇函數∴f（-x）=-f（x），則f（-1）=-f（1）

∵f（x）=■，x∈（0，+∞） ∴f（1）=■

∴f（-1）=-f（1）=-■

解2：設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），∴f（-x）=■=■

∵f（x）是R上的奇函數∴f（-x）=-f（x），則f（x）=-f（-x）=

-■=■

則x∈（-∞，0）的函數解析式為f（x）=■，∴f（-1）=■=-■

點評：利用函數的奇偶性求值主要是將未知的值或區間轉化為已知的值或區間變式：設f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，且f（x）+g（x）=■，求函數f（2）、g（2）的值.

解∵f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，

∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），由f（x）+g（x）=■①

用-x代換x得f（-x）+g（-x）=■，

∴f（x）-g（x）=■②

（①+②）÷2，得f（x）=■；則f（2）=■

（①-②）÷2，得g（x）=■.則g（2）=■

例2：已知x，y∈R滿足（x-1）3+2018（x-1）=-1，（y-1）3+2018（y-1）=1，求x+y的值.

解：設g（t）=t3+2018t，而且容易知道g（-t）=-g（t），∴g（t）在R上是奇函數

∵（x-1）3+2018（x-1）=-1 ∴g（x-1）=-1

∵（y-1）3+2018（y-1）=1 ∴g（y-1）=1

g（x-1）=-g（y-1）

則∴x-1=-（y-1）

∴x+y=2

點評：觀察式子特點，將x-1，y-1視為一個整體構造函數g（t）=t3+2018t，再利用函數的奇偶性找到x-1，y-1的關系，進而求出x+y=2

以上兩例都是已知或可證明函數的奇偶性解決求值問題，下面若是遇見非奇非偶函數可以間接處理。

二、利用函數的奇偶性間接求值

例3：f（x）=ax3+bx+c3■+8且f（-2）=10，求f（2）的值

解：設g（x）=f（x）-8，則g（x）=ax3+bx+c3■是在R上的奇函數

g（-2）=f（-2）-8=10-8=2，

∴g（2）=-g（-2）=-2

又∵g（2）=f（2）-8

∴-2=f（2）-8

則f（2）=8-2=6

點評：例題中雖然函數f（x）為非奇非偶函數，但觀察表達式可以發現其間存在奇偶性的表達式，所以可將f（x）=g（x）-8轉化為奇函數g（x）求值從而間接求出f（2）的值。

例4：已知f（x）=x3+3x2+6x+14，f（a）=1，f（b）=19，求a+b的值

解：∵f（x）=x3+3x2+6x+14=（x+1）3+3（x+1）+10

∵f（a）=（a+1）3+3（a+1）+10=1

f（b）=（b+1）3+3（b+1）+10=19

∴（a+1）3+3（a+1）=-9

∴（b+1）3+3（b+1）=9

設g（t）=t3+t，而且g（t）在R上是奇函數，則a+1=

-（b+1），∴a+b=-2

點評：本題通過巧妙構造新的“準奇偶性”的函數來解決函數中的求值問題，這種利用奇偶性構造方法在以后的學習中是常用的方法。

？誗編輯 張珍珍