繞開極限
——談兩個(gè)不等式在函數(shù)估值中的應(yīng)用

馬必武

(福建省福鼎市第一中學(xué) 355200)

由于中學(xué)階段學(xué)生沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過極限理論，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的有些題目中有些老師會(huì)用極限理論來說明函數(shù)圖象的逼近過程等，這會(huì)對(duì)學(xué)生造成不必要的負(fù)擔(dān).同時(shí)在客觀題中用極限說明估且可以，但在解答題中就不行了.因此就要用到函數(shù)估值的方法，而不等式ex≥x+1和x-1≥lnx在函數(shù)估值中有很強(qiáng)的應(yīng)用，現(xiàn)就舉例說明.

例1 (2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

圖1

解析(1)略.

其實(shí)要使f(x)>0，

即ae2x+(a-2)ex-x>0，

也就是ax(aex+a-2)>x.

①

例2 已知f(x)=lnx-ax+1，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

圖2

因此f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí):0

因此在有些函數(shù)的零點(diǎn)判斷中要說明函數(shù)值是正的或負(fù)的時(shí)不能用極限來說明就要考慮到利用不等式 和 來進(jìn)行放縮，這樣就能找到 使得函數(shù)值是正的或負(fù)的.

參考文獻(xiàn)：

[1]許清波.導(dǎo)數(shù)與不等式[J].高中生之友,2006(Z3).