孔壓增長下雙曲線模型參數研究

孫 銳， 李曉飛， 陳龍偉， 袁曉銘, 李 波

(1. 中國地震局工程力學研究所 地震工程與工程振動重點實驗室， 哈爾濱 150080；2. 濱州學院 建筑工程學院， 山東 濱州 256600)

土體液化對地基破壞和場地地震動都有顯著的影響[1-2]，而性態設計是目前工程抗震設計的發展方向，這對土體液化下土層動力響應模擬提出了更高的要求，不僅僅需要了解土體完全液化后的強度，還需要掌握液化過程中土體動力性態的發展變化過程，提供相應的計算參數，以供液化下場地動力計算分析使用。

雙曲線模型[3]是一種被廣泛應用的土彈-塑性動力本構模型。采用雙曲線模型描述土在循環荷載作用下滯洄曲線，需要兩個力學參數，即(初始)最大剪切模量Gmax,0和(初始)極限剪應力τult,0。初始最大剪切模量可按Hardin公式[4]計算，初始極限剪應力則可根據黏聚力及摩擦角進行換算得到。對于非液化土，循環荷載作用下的后繼曲線服從Massing準則，其模型仍可由這兩個參數確定，即后繼本構中假定Gmax,0和τult,0為定值，不隨循環荷載施加、土體非線性發展而變化。

鑒于雙曲線模型的實用性和權威性，對于可液化場地，仍然希望使用該模型進行動力分析計算。但是，對于可液化土來說，隨著孔隙水壓力的增長，會出現與常規土體非線性顯著不同的軟化現象。隨著循環荷載的逐步施加，孔壓有所發展，此過程中雙曲線模型中初始最大切線模量與初始極限剪切模量理論上會與非液化土有所不同，本文稱為循環最大剪切模量Gmax,N和循環極限剪應力τult,N，這兩個參數是采用雙曲線模型描述可液化土應力應變關系的關鍵所在。

在以往的研究中，通常采用Hardin公式來計算孔壓變化下的Gmax,N。例如，豐萬玲等[5]假定每次孔壓增長下土體Gmax,N符合Hardin公式，采用同樣方式，也給出了τult,N的計算公式，并在土層有效應力時程反應分析方法中使用。但是，這一方法存在明顯不足：認為每次循環荷載作用下土體的最大剪切模量都符合Hardin公式，這僅僅是一種假定，因為Hardin公式本身只用于土體開始受動荷載作用時其初始最大剪切模量的估計，隨后的土體循環最大剪切模量是否符合公式不得而知，沒有試驗依據支持。Hardin公式本身為靜力試驗結果，這種方法對描述飽和砂土孔壓增長下Gmax,N變化的有效性值得討論。姬美秀等[6]采用彎曲元三軸儀進行液化試驗，結果表明，細砂Gmax,N仍可由Hardin模式計算，但其中參數會變化，這樣Gmax,N隨孔壓上升而降低。Matasovic等[7]采用直剪儀研究了孔壓增長下Gmax,N的變化，假定初始原點處的切線模量Gmax,0及后續滯洄圈骨架曲線在原點處的切線模量Gmax,N滿足Hardin公式，在此基礎上給出了循環最大剪應力與孔壓比的關系式；但是，并沒有給出循環極限剪應力與孔壓的關系，而是將加卸荷轉點處的剪應力，即某一循環最大應變對應的剪應力當作該循環骨架曲線的極限剪應力，但實際上這二者存在本質差別。

此外，Dobry等[8]通過循環三軸試驗研究了孔壓比與割線剪切模量的關系，研究表明后續循環的割線模量與第一個循環的割線剪切模量之比與有效應力之間滿足指數關系，指數在0.4～0.7間變化。李文泱等[9]通過液化試驗研究了割線剪切模量與阻尼比隨孔壓變化的規律，給出了在孔壓增長對剪切模量比及阻尼比與剪應變關系的修正公式。這些研究，雖然都認識到了孔壓增長對土體動力參數的影響，但給出的割線剪切模量與阻尼比在應用上受到限制。

本文采用新型高精度動三軸儀，通過試驗方法研究動荷載作用下循環最大剪切模量和循環極限剪應力隨孔隙水壓力變化模式和規律，尋求更符合實際的孔壓增長下循環最大剪切模量Gmax,N和循環極限剪應力τult,N的計算公式，為考慮液化下場地動力反應分析提供基礎。

1 動三軸試驗設計

1.1 試驗儀器

本試驗所用儀器為新型伺服電機控制式DYNTTS-60KN動三軸控制系統。

DYNTTS動三軸儀通過安裝于終端操作系統中的GDSLAB軟件來控制。它可以通過對監測變量的換算直接輸出振動過程中作用于土樣的剪應力τ和土樣產生的剪應變γ。具體換算公式如下

τ=q/2=(σa-σγ)/2

(1)

γ=(εa-εγ)×2/3

(2)

式中：q=(σa-σγ)為土樣所受偏應力；σa和σγ分別為軸向應力和環向應力；εa和εγ分別為軸向應變和環向應變。

1.2 試驗方案

采用不同砂土不同相對密度的試樣，以不同動應力作用下進行液化試驗，研究孔隙水壓力對飽和砂土的循環最大剪切模量和循環極限剪應力的影響規律。

共選用福建標準砂、哈爾濱砂和營口砂三種砂土進行試驗，福建標準砂和哈爾濱砂基本物性指標，如表1所示。營口砂取自1975年海城地震中發生液化的場地，四種土樣分別來自3個鉆孔，物性指標，見表2。試驗土樣所采用的尺寸均為Φ50 mm×100 mm，有效固結圍壓均為100 kPa，固結比均為1.0。采用應力控制方式進行等幅正弦波加載，加載頻率均為1 Hz。

表1 福建標準砂和哈爾濱砂物性指標

表2 營口砂物性指標

福建標準砂和哈爾濱砂采用了三種相對密度，分別代表密實、中密和松散三種狀態；營口砂四個土樣的相對密度是根據現場實測標準貫入擊數確定的。福建標準砂和哈爾濱砂分別取四個動應力幅值，營口砂取三個幅值，共進行了36組液化試驗。

1.3 試驗步驟

試驗過程分為試樣的裝樣、飽和、固結和振動液化試驗四部分，試驗過程嚴格按照《土工試驗規程》[10]進行。

根據相對密度，分層擊實，裝樣完成后，對試樣進行飽和。當測得的B≥0.98時，認為土樣達到飽和度要求。對土樣施加有效固結圍壓100 kPa，固結穩定后，通過GDSLAB動力試驗模塊對飽和試樣進行加載，加載過程中實時監測孔壓變化情況，當孔隙水壓力達到有效圍壓時，認為砂土發生液化，停止試驗。若孔壓未達到有效圍壓，則動應力在施加1 000次后停止。

2 試驗結果與分析

2.1 數據處理和分析方法

理想的應力-應變滯回圈，如圖1所示。可以代表根據循環荷載作用形成的剪應力-剪應變滯回曲線的一般狀態。通過MATLAB軟件，利用雙曲線模型中主干線公式(式(3))，對每一個滯回圈的上半圈進行擬合，即可求出循環最大剪切模量和極限剪應力。

(3)

式中：τ為動剪應力；γ為動剪應變；a，b為試驗參數；Gmax,N=1/a為循環最大剪切模量；τult,N=1/b為循環極限剪應力。

圖1 主要參數示意圖

圖1給出了幾個參數的示意圖。圖1中Gmax,0和τult,0分別為初始最大剪切模量和初始最大極限剪應力；Gmax,N和Gmax,N-1為第N循環和第N-1循環最大剪切模量；τult,N和τult,N-1為第N循環和第N-1循環極限剪應力。

2.2 孔壓增長下循環最大剪切模量規律及計算方法

將試驗得到的循環最大剪切模量Gmax,N進行歸一化，得到循環最大剪切模量比Gmax,N/Gmax,0隨孔隙水壓力比的變化關系，如圖2中散點。

由圖2可知，試驗點近似直線。為此，每一應力循環下的循環最大剪切模量比Gmax,N/Gmax,0與孔隙水壓力比的關系可表達為

Gmax,N/Gmax,0=A1UN+B1

(4)

式中:A1、B1為待定系數;UN為當前應力循環作用后的孔壓比。采用式(4)的擬合參數及相關系數R2，見表3。

Tab.3Regressionparametersoncurvesofcyclicmaximumshearmodulusratioandpore-waterpressureratio

土類密實度A1B1相關系數R2標準砂松散-1．001．010．986中密-0．980．990．990密實-1．050．960．974三種密實度-1．010．980．972哈爾濱砂松散-1．010．950．985中密-1．030．950．982密實-1．070．970．976三種密實度-1．040．960．980營口砂ZK2?1(松散)-1．000．970．989ZK4?2(中密)-1．021．070．978ZK6?1(松散)-1．081．030．980ZK6?2(松散)-1．001．030．996

由圖2可知，循環最大剪切模量比Gmax,N/Gmax,0隨孔壓比的上升而不斷降低，近似直線形式下降，當完全液化時，循環最大剪切模量比接近于零。福建標準砂、哈爾濱砂以及營口砂的循環最大剪切模量比隨孔壓比的變化規律基本一致；幾種砂土在不同密實程度下循環最大剪切模量比隨孔壓比的變化規律也基本一致。因此可以認為，砂土類型以及砂土的相對密度對循環最大剪切模量比Gmax,N/Gmax,0隨孔壓比變化規律的影響可以忽略。

從表3可知，擬合的相關系數R2>0.972，相關性良好，并且對不同相對密度和不同砂土，擬合系數A1約為-1，擬合系數B1約為1。如果采用統一的A1=-1和B1=1，則重新計算后相關系數R2=0.965。因此，不同相對密度不同砂土類型的循環最大剪切模量比隨孔壓比的變化規律均可以采用統一的表達式

Gmax,N=Gmax,0·(1-UN)

(5)

或

(Gmax,0-Gmax,N)/Gmax,0=UN

(6)

式(5)為循環最大剪切模量比隨孔壓比變化的表達，亦可稱為循環最大剪切模量隨孔壓比增長的計算公式，或簡稱循環最大剪切模量的計算公式。式(6)為循環最大剪切模量相對變化隨孔壓比變化的表達式，從式(6)可知，循環最大剪切模量隨孔壓比的變化與初始循環最大剪切模量間成非常簡單的線性關系，循環最大剪切模量比的相對變化等于孔壓比，或孔壓比(增量)等于循環最大剪切模量的相對下降量。

2.3 孔壓增長下循環極限剪應力規律及計算方法

將試驗得到的循環極限剪應力τult,N進行歸一化，得到循環極限剪應力τult,N/τult,0隨孔隙水壓力比的變化關系，如圖3中散點。由圖3可知，試驗點近似二次曲線。為此，每一應力循環下的循環極限剪應力比τult,N/τult,0與孔隙水壓力比的關系可表達為

(7)

式中:a,b,c均為待定系數。采用式(7)的擬合參數及相關系數R2，見表4。

由圖3可知，循環極限剪應力比隨孔壓比的上升而不斷降低，但具體形式與砂土類型及密實程度有關。福建標準砂和哈爾濱砂的極限剪應力比隨孔壓比的變化模式基本一致，都為下凸二次曲線，而營口砂則有不同模式，為上凸二次曲線；同一種砂土在不同密實程度下循環極限剪應力比隨孔壓比的變化具體形式也不盡一致，對三種砂土而言，體現在回歸參數的大小不同，如表4所示。因此，砂土類型以及砂土的相對密度對循環極限剪應力比隨孔壓比的變化模式和具體形式都有影響。

從表4可知，不同砂土類型以及砂土的相對密度對循環極限剪應力比隨孔壓比的變化模式和具體形式都有影響，但這是在回歸曲線相關系數很高(>0.951)情況下結果。從簡化考慮，采用如式(4)那樣的直線方式進行擬合，則擬合參數列于表5。

從表5可知，對不同相對密度下不同砂土類型，其循環極限剪應力比隨孔壓比的變化采用直線擬合結果也是可以接受的，相關系數R2為0.896～0.987。進一步，對不同相對密度下不同砂土類型，取擬合系數均為A1=-1和B1=1，此時回歸曲線的相關系數R2=0.906。這樣，從工程應用角度考慮，對不同相對密度下不同砂土類型，極限剪應力比隨孔壓比的變化以統一直線方式進行擬合，即

表4循環極限剪應力比隨孔壓比變化曲線的回歸參數(二次曲線擬合方式)

Tab.4Regressionparametersoncurvesofcyclicultimateshearstrengthratioandpore-waterpressureratio(curvefit)

土類密實度abc相關系數R2福建標準砂松散0．25-1．331．080．989中密0．43-1．521．080．991密實0．68-1．911．220．983三種密實度0．43-1．561．120．983哈爾濱砂松散0．52-1．621．070．993中密0．18-1．301．090．988密實0．47-1．631．140．992三種密實度0．37-1．491．090．983營口砂ZK2?1(松散)-0．880．100．960．951ZK4?2(中密)-0．61-0．391．030．968ZK6?1(松散)-1．080．170．980．977ZK6?2(松散)-1．000．150．960．983

表5循環極限剪應力比隨孔壓比變化曲線的回歸參數(直線擬合方式)

Tab.5Regressionparametersoncurvesofultimateshearstrengthratioandpore-waterpressureratio(linearfit)

土類密實度A1B1相關系數R2標準砂松散-1．061．030．986中密-1．061．000．980密實-1．141．060．962三種密實度-1．091．030．974哈爾濱砂松散-1．080．980．978中密-1．101．050．987密實-1．111．030．981三種密實度-1．091．020．976營口砂ZK2?1(松散)-0．881．150．896ZK4?2(中密)-1．041．150．949ZK6?1(松散)-0．981．190．913ZK6?2(松散)-0．931．170．914

τult,N=τult,0·(1-UN)

(8)

或

(τult,0-τult,N)/τult,0=UN

(9)

式(8)為循環極限剪應力隨孔壓比變化的表達式，或可簡稱為循環極限剪應力的計算公式。式(9)為循環極限剪應力相對變化量與孔壓比關系的表達式，由式(9)可知，循環極限剪應力隨孔壓比的變化與初始極限剪應力間關系簡單，孔壓比等于循環極限剪應力相對減小量。

3 與他人成果的比較

由圖4可知，豐萬玲公式得到的循環最大剪切模量比與孔壓比關系曲線與本文試驗點和公式相差顯著，即Hardin計算初始循環最大剪切模量表達式并不適合每次循環荷載作用后孔壓增長下土體循環最大剪切模量的模擬。如果采用Hardin公式計算，會導致循環荷載作用后孔壓增長下土體循環最大剪切模量估計過高，特別是在孔壓比為0.6～0.8，差異最為顯著，會使循環最大剪切模量被高估80%～140%，而這區間一般恰是液化大變形發展的敏感區間。

圖4 采用豐萬玲公式得到的循環最大剪切模量比與孔壓比關系曲線與本文試驗點和公式的對比

Fig.4 Comparison of maximum shear modulus ratios by the proposed formulae with Feng Wanling’s formulae on the triaxial test results

4 結 論

針對不同相對密度的幾種飽和砂土，通過新型高精度動三軸儀均等固結不同等幅循環動應力作用下的液化試驗，得到了孔壓增長對循環循環最大剪切模量和循環極限剪應力的影響模式和規律，提出了考慮孔壓增長下的循環最大剪切模量Gmax,N和循環極限剪應力τult,N的具有不同精度的計算公式。主要結論為：

(1) 孔壓增長對砂土循環最大剪切模量和極限剪應力影響明顯，循環最大剪切模量比和極限剪應力隨孔壓比的上升不斷降低。

(2) 循環最大剪切模量比隨孔壓比的變化不僅模式一致，而且孔壓增長下循環最大剪切模量計算公式均可表達成與砂土類型及相對密度無關的統一的線性關系式，且孔壓比等于循環最大剪切模量相對減小量。

(3) 精確要求下，不同相對密度的幾種砂土循環極限剪應力隨孔壓比的變化模式不盡一致，表現為二次曲線形式；經簡化，孔壓增長下循環極限剪應力計算公式可表達與砂土類型及相對密度無關的統一的線性關系式，且孔壓比等于循環極限剪應力的相對減小量。

(4) Hardin計算初始最大剪切模量表達式并不適合每次循環荷載作用后孔壓增長下砂土循環最大剪切模量的計算，如果以此計算會導致循環最大剪切模量估計過高，特別是在孔壓比為0.6～0.8的敏感段，會使循環最大剪切模量被高估80%～140%。

本文進行的是等幅荷載作用均等固結條件下飽和砂土液化試驗，對于不規則荷載作用非均等固結情況飽和砂土最大剪切模量和極限剪應力的表現，還需要專門研究。

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