新型長方體形囊式空氣彈簧垂向動態特性研究

徐國敏， 周 煒， 何 琳， 帥長庚

(1.海軍工程大學 振動與噪聲研究所，武漢 430033； 2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

空氣彈簧作為一類非線性隔振器，承載能力大，固有頻率低，并且其固有頻率在載荷變化時幾乎保持不變，與橡膠隔振器相比性能優勢明顯。空氣彈簧剛度不僅與內部氣壓有關，還與體積、有效面積等密切相關，因此剛度的研究一直是空氣彈簧研究領域的重要問題。

近年來，國內外研究者在空氣彈簧研究領域做了大量工作。Ryaboy[1]研究了回轉體空氣彈簧的動態特性與穩定性。而Quaglia等[2]從理論上推導了囊式回轉體空氣彈簧剛度的表達式。Heertjes等[3]提出了一種空氣彈簧非線性模型。張利國等[4]總結了目前空氣彈簧的研究現狀，并討論了空氣彈簧的剛度特性、頻率特性和阻尼特性。陳燎等[5]利用多項式擬合空氣彈簧動態特性，并建立了懸架模型變剛度仿真方法。王家勝[6]建立了帶附加氣室空氣彈簧系統的非線性動力學理論模型，并系統研究了帶附加氣室空氣彈簧系統的動剛度問題。成小霞等[7]研究了囊式空氣彈簧載荷模型。葉珍霞等[8]利用Marc有限元軟件中的Rebar單元建立空氣彈簧膠囊模型，并分析了空氣彈簧剛度的垂向和橫向特性。相比常規回轉體空氣彈簧，對長方體形空氣彈簧的系統研究相對少見。樓京俊等[9-10]等研究了某型長方體形空氣彈簧的剛度特性。

本文推廣了傳統的空氣彈簧剛度計算公式，可用于計算不同振動頻率下的垂向剛度值，并可精確描述空氣彈簧垂向靜剛度向動剛度的轉變過程。在理論推導中，本文首次提出了絕熱頻率閾值的概念。該物理量只與空氣彈簧本身性質有關，與外界振動頻率無關。絕熱頻率閾值變化后，空氣彈簧的剛度隨之變化，而載荷基本保持不變。此性質可用于空氣彈簧固有頻率的調控，從而在低頻范圍內獲得更理想的隔振性能。

本文提出了一種新型長方體形囊式空氣彈簧的設計方案，其理想的長寬比與大承載能力，特別適用于狹長空間內的整體浮筏隔振裝置。同時，進行了該型空氣彈簧的垂向動態特性試驗。試驗結果表明，本文提出的剛度計算理論比較準確。通過本文研究，可以加深對非回轉體空氣彈簧動態特性的理解，指導后續優化改進工作。

1 模型描述

本文建立的單曲囊式空氣彈簧模型，如圖1所示。圖1(a)為囊體的三維示意圖(不含上下蓋板)，AB為囊體的直邊，CB為囊體的圓弧邊，B為直邊與圓弧相切點。圖1(b)為垂向截面示意圖。該模型主要基于以下假設：

(1) 囊體材料是柔性材料，只提供切向拉伸力。

(2) 空氣彈簧垂向形變過程中，θ角發生變化，而徑向囊體長度保持不變。

(3) 額定工況下，空氣彈簧的徑向囊體始終保持圓弧形狀。

(4) 空氣彈簧內的空氣腔封閉，與外界環境不存在氣體交換過程。

(a)囊體三維示意圖(b)垂向截面示意圖

圖1 長方體形單曲囊式空氣彈簧示意圖

Fig.1 Model of rectangular air springs

一般認為，空氣彈簧剛度如式所示

(1)

式中：n為多變指數；A為有效面積。從式(1)可知，空氣彈簧的剛度隨載荷的變化而變化，而系統固有頻率基本保持不變，這也是空氣彈簧最大的優點。接下來，本文將從囊體與蓋板的受力分析入手，詳細討論影響空氣彈簧剛度的因素。

本文理論推導中用到的符號說明，如表1所示。

取徑向囊體為分析對象，囊體受力分析示意圖見圖2。建立囊體所受氣壓壓力和上下蓋板拉力F1的受力平衡方程

θ

(2)

取上蓋板為分析對象，上蓋板受力分析示意圖見圖3。建立受力平衡方程

pA=F+F1sin θ (3)

圖2 囊體受力分析示意圖

圖3 上蓋板受力分析示意圖

聯立式(2)與式(3)，整理得到

(4)

定義有效面積為

θ

(5)

該有效面積的含義為，空氣彈簧的承載力等于囊體內空氣施加于有效面積上的壓力，即

F=p·Aeff

(6)

2 垂向剛度分析

2.1 絕熱頻率閾值

空氣彈簧的垂向剛度，主要由囊體內空氣腔提供。根據剛度定義，易得空氣彈簧垂向剛度的計算公式為

(7)

式(7)的第一項描述了空氣彈簧內部氣壓隨壓縮量的變化情況，第二項描述了有效面積隨壓縮量的變化情況，通常涉及空氣彈簧幾何形狀的改變。對于本文研究的空氣彈簧，有效面積的改變意味著高度h和夾角θ發生了改變。

在空氣彈簧的振動過程中，通常認為內部氣體氣壓變化遵循多變過程的規律，即

(p0+p)Vn=常數

(8)

式中：p0為大氣壓；p為空氣彈簧內部的氣體表壓；V為空氣腔體積；n為多變指數。假設空氣彈簧作單頻簡諧振動，則多變指數的取值隨振動頻率的變化而變化。當振動頻率很低時，空氣腔的壓強變化近似服從等溫過程，此時n≈1；當振動頻率很高時，壓強變化近似服從絕熱過程，此時n≈κ。在常溫低壓下，空氣的絕熱指數κ=1.4。一般情況下，n=1.3～1.38。

實際上，分析動剛度時，應將多變指數視作空氣彈簧振動頻率的函數。接下來本文通過分析多變指數與振動頻率的關系，研究空氣彈簧動剛度隨振動頻率的變化關系。

考慮空氣彈簧上蓋板的壓縮過程。設空氣腔內氣體壓縮前為狀態1，熱力學參數為(p1,V1,T1)；壓縮后為狀態2，熱力學參數為(p2,V2,T2)。壓縮過程中外界對系統單位質量做功值為(詳細推導見參考文獻[11])

(9)

式中：cV為氣體定體熱容。壓縮過程中系統單位質量內能變化值為

dU=cV(T2-T1)

(10)

由熱力學第一定律，得到壓縮過程中系統單位質量與環境熱交換量為

(11)

另一方面，從材料的導熱系數出發，并對溫度變化取線形近似，得到一個壓縮過程中的熱交換量為

(12)

式中：Ts為空氣彈簧作單頻簡諧振動的周期。聯立式(11)與式(12)，整理得到多變指數與振動頻率的關系為

(13)

式中；λ為材料導熱系數；Ac為空氣腔與囊體蓋板的接觸面積；Dc為接觸材料的厚度。常溫下，空氣的定體熱容與絕熱指數分別為cV=0.718 kJ·kg-1·K-1，κ=1.4。多變指數n與振動頻率f的關系如圖4所示。本文將η命名為絕熱頻率閾值，當f=η時，多變指數恰好等于1.2。此時，若提高振動頻率，則多變指數迅速趨近于絕熱指數1.4；若減小振動頻率，則多變指數迅速≈1.0。

在多變過程中，任意體積對應的氣壓為

(14)

圖4 多變指數n與振動頻率f的關系

當空氣彈簧垂向形變量x較小時，體積變化可近似認為隨形變量線形變化，即V=V1-Ax。在式(14)中，等式兩邊對位移求導，得到

(15)

將式(15)代入剛度計算式(7)，得到空氣彈簧動剛度的計算公式

(16)

式(16)描述了空氣彈簧內容積變化對剛度特性的影響，接下來討論有效承載面積的變化對空氣彈簧剛度特性的影響。

2.2 有效承載面積

在剛度計算式(7)中，第二項描述了有效承載面積隨空氣彈簧形變而變化的情況。有效面積的計算公式為

θ

(17)

在式(17)中，等式兩邊對位移求導，得到

(18)

(19)

將式(19)化簡，得到夾角θ隨空氣彈簧額定工作高度和形變量變化的關系

(20)

式(20)為超越方程，難以求得嚴格解析解。當空氣彈簧處于額定工作高度時(x=0)，利用牛頓法可求得夾角與空氣彈簧額定高度的關系，如圖5所示。在囊壁徑向長度L不變的情況下，夾角隨額定高度增大而增大，當h=L時，夾角達到最大值90°。

圖5 夾角θ與空氣彈簧額定高度的變化關系

(21)

圖6 額定高度下導數dθ/dx與夾角θ的變化關系

圖7 空氣腔與蓋板接觸面積變化的示意圖

設平衡位置處，囊體與蓋板接觸長度CD=l，壓縮后接觸長度C′D′=y(見圖8)。存在幾何關系

(22)

整理式(22)得到接觸長度隨壓縮量的變化關系

(23)

圖8 空氣腔與蓋板接觸面積變大的示意圖(俯視)

此時，蓋板與囊體接觸面積為

(24)

在式(24)中，等式兩邊對位移求導，得到描述接觸面積變化速率的公式

(25)

2.3 動態剛度

綜合前文計算，當夾角θ>0°時，空氣彈簧剛度表達式為

(26)

當夾角θ=0°時，空氣彈簧剛度表達式為

(27)

當空氣彈簧處于額定工作高度，計算垂向靜剛度時，式(27)可化簡為

(28)

由上述描述空氣彈簧剛度的公式可以看出，蓋板與囊體接觸部分的周長S和夾角θ，也是影響剛度的重要因素。周長越大，或者夾角越大，均使有效面積變小，從而使剛度變小。

在實際應用中，為了簡化計算，可先行計算空氣彈簧的絕熱頻率閾值η。若關心的振動頻率f<η，則將該頻率下的剛度近似為靜剛度，令n=1代入公式計算；若f>η，則將該頻率下的剛度近似為動剛度，令n=κ代入公式計算。

3 算例研究

本文設計了某型長方體形囊式空氣彈簧，額定工況下主要參數如表2。根據前文理論，計算了該空氣彈簧的動態剛度特性。

3.1 垂向靜剛度計算

本算例考察了兩種載荷下(6 t和7 t)，空氣彈簧在平衡位置附近的垂向靜剛度。計算靜剛度時，空氣彈簧內部氣體經歷的是等溫過程，因此取多變指數n=1。由于蓋板與囊體夾角θ=0°，選用式(27)來計算垂向靜剛度。將表2中相關參數代入式(27)，計算結果，如圖9所示。圖9中，實線表示外加6 t載荷時靜剛度在平衡位置附近的變化情況，虛線表示外加7 t載荷時靜剛度的變化情況。計算結果表明該空氣彈簧具有非線性硬特性，隨著壓縮量增大，垂向靜剛度隨之增大。

表2 空氣彈簧額定工作狀態參數

圖9 垂向靜剛度理論計算結果

3.2 垂向動剛度計算

理論計算中，首先利用式(13)計算多變指數與頻率的關系。由于空氣彈簧金屬蓋板的導熱系數遠大于橡膠囊體，因此理論上只考慮了空氣彈簧內部空氣通過上下蓋板與外界的熱交換量。將表2中相關參數代入式(13)，計算得到絕熱頻率閾值η=1.079 Hz。

算例中空氣彈簧多變指數與頻率的關系，如圖10所示。計算結果顯示，當振動頻率等于絕熱頻率閾值時，多變指數恰好等于1.2，此時空氣彈簧內部氣體的壓縮膨脹介于等溫過程與絕熱過程之間，正是一個典型的多變過程。當振動頻率從1.079 Hz減小時，多變指數迅速趨近于1；當振動頻率從1.079 Hz增大時，多變指數迅速趨近于1.4。在工程實踐中，可利用絕熱頻率閾值來解決振動處于某一頻率下，多變指數的取值問題。例如振動頻率為10 Hz時，多變指數為1.36，實際計算中即可取n=1.4，近似用絕熱過程描述氣體行為。

計算垂向動剛度時，由于整個振動過程蓋板與囊體夾角θ=0°，依然選用式(27)計算結果，如圖11所示。圖11中，虛線表示6 t載荷下空氣彈簧垂向剛度隨振動頻率的變化關系，實線表示7 t載荷下的變化關系。計算結果顯示，隨著振動頻率不斷增大，空氣彈簧剛度由靜剛度向動剛度過渡。在振動頻率處于0.1～10 Hz時，不能簡單將空氣彈簧剛度視為靜剛度或者動剛度，否則會引入較大誤差。

圖11 空氣彈簧剛度隨振動頻率的變化關系

4 試驗研究

本文制造了一個參數與算例相同的長方體形囊式空氣彈簧。利用美國MTS公司通用液壓動態試驗系統進行試驗，試驗裝置如圖12。該型空氣彈簧在額定高度下，夾角θ=0°，并且囊體與蓋板的接觸長度為8 mm。

圖12 試驗照片

4.1 氣壓-載荷性能試驗

試驗前將空氣彈簧以額定高度(180 mm)固定在試驗機上，緩慢充氣至氣壓預設值，待壓力和載荷穩定后記錄相應的壓力和載荷值。每個試驗產品進行兩組測試。

利用式(24)計算，得到額定工作高度下空氣彈簧的有效面積為0.086 7 m2。利用有效面積，可計算得到載荷隨氣壓變化的線性關系，如圖13中實線所示。試驗數據點基本落于直線附近，與理論預測值符合良好，這說明本文對有效面積的分析計算比較準確。

圖13 載荷隨氣壓的變化關系

4.2 垂向靜剛度試驗

試驗前將空氣彈簧以額定高度(180 mm)固定在試驗機上，緩慢充氣，直到垂向載荷達到預設值時停止充氣，記錄載荷預設值對應的氣壓作為氣壓預設值，然后進行垂向靜剛度試驗。根據力-位移數據擬合出力-位移曲線。將力-位移試驗數據對位移求導，得到了靜剛度數據，如圖14所示。

圖14中，虛線表示兩種載荷下垂向靜剛度的理論預測值，實線表示試驗測量值。由于空氣彈簧自身的非線性硬特性，隨著壓縮量增大，空氣彈簧剛度逐漸變大。在試驗范圍內(空氣彈簧形變范圍-4～+4 mm)，試驗數據與理論計算吻合良好，相對誤差<5%。這充分驗證了剛度計算式(27)的準確性。

圖14 靜剛度的計算結果與試驗數據

4.3 垂向動剛度試驗

動剛度試驗前的準備工作與靜剛度試驗相同。加載不同頻率的位移激勵后，測量得到周期運動下力與位移的峰峰值數據。計算力與位移之比即可得到特定載荷下，不同頻率時的動剛度數據，如圖15所示。

在算例研究中，已計算得到了垂向動剛度的理論計算值。圖15中，虛線表示兩種載荷下垂向動剛度的理論預測值，三角形數據點表示試驗測量值，詳細數值見表 3和表 4。理論計算與試驗數據均表明，隨著振動頻率提高，空氣彈簧多變指數逐漸變大，動剛度也隨之逐漸增大。比較試驗數據與理論預測值，可知在試驗范圍內兩者相對誤差<5%，充分表明本文關于多變指數與振動頻率關系的分析比較準確。

表3 載荷6 t下動剛度理論計算與試驗數據

表4 載荷7 t下動剛度理論計算與試驗數據

圖15 動剛度的計算結果與試驗數據

4.4 動態特性對比

本文試制樣機的關鍵結構參數如表5所示。

表5 長方體形囊式空氣彈簧關鍵結構參數

將本文空氣彈簧的試驗數據與商用圓形囊式空氣彈簧的動態特性對比，結果如表6所示(數據來源：ContiTech官網[13-14]，Firestone官網[15])。通過對比可知，在狹長空間內，現有商用空氣彈簧無法兼顧空間適用性與大承載能力兩方面需求，而本設計可以同時滿足上述兩項需求，同時未損失過多低頻隔振性能，在高鐵、船舶等行業具有廣闊的應用前景。

表6 本設計與商用空氣彈簧動態特性對比

5 結 論

本文在理論上推廣了垂向剛度計算公式，通過剛度計算公式可以看出，剛度會隨著內部氣壓的增大而增大。在氣壓一定時，不同的幾何參數也會顯著影響其剛度的大小。同時，詳細討論了多變指數和垂向動態特性同系統振動頻率的關系，并提出了概念絕熱頻率閾值。通過對空氣彈簧的幾何設計和材料選用，可以得到理想的絕熱頻率閾值，在低頻振動范圍可獲得更低的固有頻率，從而改善空氣彈簧的隔振性能。

同時，本文設計了一種新型長方體形囊式空氣彈簧并進行了試驗研究，驗證了上述理論的準確性。與常見的商用空氣彈簧相比，長方體形空氣彈簧更加適用于狹長空間內的浮筏隔振裝置，在高鐵、船舶等行業具有廣闊的應用前景。

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