基于直曲組集算法的復(fù)雜液壓管路固有頻率分析

韓 濤， 劉 偉， 張子駿， 趙通來， 劉永壽

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院， 西安 710129)

航空液壓管道的流致振動(dòng)是液壓系統(tǒng)“跑冒滴漏”的重要原因之一。但航空管道系統(tǒng)走向、布局復(fù)雜。目前航空液壓管路的動(dòng)力學(xué)分析方法存在以下兩個(gè)問題：① 主要針對單個(gè)管路(包括直管、曲管等)的流固耦合振動(dòng)分析，難以反映管路局部系統(tǒng)或者整體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，難以滿足航空工程復(fù)雜管路分析的需求；② 傳統(tǒng)液壓系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析將管路簡化為一維模型，偏重液壓系統(tǒng)功能性質(zhì)分析，但是難以反映空間管道結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和振動(dòng)問題。隨著未來戰(zhàn)機(jī)減重和提高機(jī)動(dòng)性與生存力的要求，液壓系統(tǒng)向高壓化發(fā)展，這樣對航空管道的強(qiáng)度和穩(wěn)定性要求越來越高。因此，有必要對復(fù)雜管路系統(tǒng)流致振動(dòng)的分析方法展開進(jìn)一步研究。

輸流單管(包括直管、曲管等)的流固耦合振動(dòng)問題已有大量的研究，Paisoussis等[1]推導(dǎo)出了輸流直管振動(dòng)方程并對其進(jìn)行穩(wěn)定性分析。Housner[2]研究了兩端支撐直管的動(dòng)力學(xué)特性，他采用Euler-Bernoulli梁模型，忽略重力、結(jié)構(gòu)阻尼、外部拉壓力和流體壓力效應(yīng)，不考慮流體黏性、可壓縮性，獲得了輸流直管的橫向振動(dòng)控制方程。輸流曲管的研究過程中一直存在軸線可伸長和不可伸長兩種假定，其主要區(qū)別在于是否考慮軸向力作用。Chen[3-4]應(yīng)用Hamilton原理建立了軸線不可伸長曲管的運(yùn)動(dòng)方程。Misra等[5-6]分別基于軸線可伸長和不可伸長假定對曲管平面內(nèi)和平面外振動(dòng)進(jìn)行了分析。在此基礎(chǔ)上，很多學(xué)者對單個(gè)管路的流固耦合振動(dòng)特性進(jìn)行了深入研究，包括線性穩(wěn)定性研究[7-8]、非線性振動(dòng)研究[9-10]、模型的數(shù)值解法研究[11]以及管道的振動(dòng)控制研究[12-13]等，為輸流單管的流致振動(dòng)分析建立了較為完善的理論體系。

然而，在實(shí)際工程應(yīng)用中，輸流管路系統(tǒng)的幾何形狀往往比較復(fù)雜。對于這些復(fù)雜管路，很難建立其振動(dòng)分析的解析方法，因此一些數(shù)值方法和半解析方法逐漸被研究者采用，如有限元法[14-15]、動(dòng)力剛度矩陣法[16-21]、傳遞矩陣法[22-23]、子結(jié)構(gòu)法[24]等。其中有限元法通用性最強(qiáng)，但其計(jì)算量很大。動(dòng)力剛度矩陣法的計(jì)算精度不依賴于單元數(shù)量，對于尺寸很大的單元它依然能夠保證精度，因而可適用于復(fù)雜管路的振動(dòng)分析。Koo等采用Euler-Bernoulli梁理論建立了直管單元的動(dòng)力剛度矩陣，并采用傳遞矩陣法推導(dǎo)了曲管單元的動(dòng)力剛度矩陣，完成了復(fù)雜管路基于直管Euler梁模型的組集，為復(fù)雜管路的動(dòng)力學(xué)分析提供了重要思路。隨后，Koo 等采用同樣方法對液態(tài)金屬爐熱管系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究。Shen等[25]研究了由周期復(fù)合材料結(jié)構(gòu)組成的復(fù)雜管路的減振問題，將管路中的曲管部分劃分為一系列直管單元來近似，基于直管Timoshenko梁模型完成組集。Dai等[26]在輸流直管控制方程中加入軸向組合力項(xiàng)，結(jié)合傳遞矩陣法建立管路系統(tǒng)動(dòng)力剛度矩陣，并分析了流速、軸向組合力對單管和復(fù)雜管路頻率響應(yīng)函數(shù)的影響。但是，已有的研究中在構(gòu)建管路系統(tǒng)動(dòng)力剛度矩陣時(shí)，都是基于單直管模型，即“直管-直管”組集，未曾實(shí)現(xiàn)“直管-曲管”組集[27]。另外，算法中對曲管部分常采用有限數(shù)目的直管單元來近似，再結(jié)合傳遞矩陣法來推導(dǎo)，過程比較繁瑣，還可能導(dǎo)致動(dòng)力剛度矩陣維度增加。

因此，本文對曲管采用曲管單元的精確模型，提出復(fù)雜管路系統(tǒng)模態(tài)分析的直曲組集算法。首先基于Euler-Bernoulli梁理論，在局部坐標(biāo)系下建立直管單元和曲管單元自由振動(dòng)的離散模式及動(dòng)力剛度矩陣；然后在全局坐標(biāo)系中實(shí)現(xiàn)直曲組集，建立復(fù)雜管路的系統(tǒng)動(dòng)力剛度矩陣和特征方程；最后采用所提算法分析管路布局對“Z”形管路固有頻率的影響規(guī)律，建立經(jīng)驗(yàn)公式，并加以試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 輸流直管的動(dòng)力剛度矩陣

輸流直管模型，如圖1所示。管道長度為L，管道各處橫截面相同，彈性模量為E，剪切模量G，單位長度質(zhì)量為mp。流體相對管壁的流速恒定且為U，流體單位長度質(zhì)量為mf。定義一個(gè)直角坐標(biāo)系xyz，x軸沿著未變形的管道軸線，y軸，z軸均垂直于未變形的管道軸線。

圖1 輸流直管模型

基于以下假設(shè)：① 忽略管道材料阻尼影響；② 忽略重力影響；③ 流體無黏、不可壓縮，那么輸流直管的流固耦合振動(dòng)方程可表示如下[28-29]

EAp?2wx?x2-mfU?2wx?x?t-(mp+mf)?2wx?t2=0

(1)

EI?4wk?x4+(mfU2+PiAi)?2wk?x2+2mfU?2wk?x?t+

(mp+mf)?2wk?t2=0, (k=y,z)

(2)

GJ?2φx?x2-Ix?2φx?t2=0

(3)

式中:wx為直管的軸向位移；wk為直管的橫向位移；φx為直管沿軸線方向的轉(zhuǎn)角；t為時(shí)間；Pi為內(nèi)壓；Ai為流體的橫截面積；EAp,EI,GJ分別為管道的拉伸剛度、彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。

式(1)～式(3)分別具有以下形式的解[30-31]

wx(x,t)=wx(x)exp(iωt)

wk(x,t)=wk(x)exp(iωt)

φx(x,t)=φx(x)exp(iωt)

(4)

式中：ω為圓頻率；將其代入振動(dòng)方程式(1)～式(3)，消去時(shí)間項(xiàng)exp(iωt)，得到輸流直管在頻域內(nèi)的振動(dòng)方程，其解的形式可以表達(dá)為

wx(x)=Aexp(kax)

wk(x)=Bkexp(kbx)

φx(x)=Cexp(kcx)

(5)

式中：ka,kb,kc分別為軸向波數(shù)，橫向波數(shù)和扭轉(zhuǎn)波數(shù)，由下列頻散方程決定

(6)

(mp+mf)ω2=0

(7)

(8)

式(6)和式(8)有兩個(gè)根，式(7)有四個(gè)根，根據(jù)Euler梁理論，建立直管單元的離散模式，見表1。其中φy(x),φz(x)分別為沿著y軸，z軸方向的轉(zhuǎn)角；Nx(x)為軸向力；Ny(x),Nz(x)分別為剪力沿著y軸，z軸方向的分量；Mx(x)為沿著x軸方向的扭矩；My(x),Mz(x)為彎矩沿著y軸，z軸方向的分量。

定義直管單元兩端的位移狀態(tài)矢量Ws和力狀態(tài)矢量Fs如下

(9)

(10)

Cs=(A1A2By1By2By3By4

Bz1Bz2Bz3Bz4C1C2)T

(11)

式中：上標(biāo)L為管道單元的左端；R為管道單元的右端；下標(biāo)s為直管單元，結(jié)合表1和式(9)～式(11)，則有

Ws=W1sCs

(12)

Fs=D2sCs

(13)

由式(12)和式(13)得到輸流直管的動(dòng)力學(xué)關(guān)系

Fs=DsWs

(14)

表1 輸流直管自由振動(dòng)的離散模式

2 輸流曲管的動(dòng)力剛度矩陣

輸流曲管模型，如圖2所示。管道的曲率半徑為R，管道各處橫截面相同流體單位長度質(zhì)量為mf。定義一個(gè)曲線坐標(biāo)系xyz，x軸與未變形的曲管軸線相切，y軸垂直于未變形的曲管中線且處于曲管平面內(nèi)，z軸垂直于未變形曲管所在的平面。

圖2 輸流曲管模型

根據(jù)Paidoussis的研究，對于輸流曲管，如果不考慮管道材料阻尼的影響，管內(nèi)流體無黏、不可壓縮，忽略重力的影響，那么其三維振動(dòng)方程可表示如下

EI?4wy?s4+1R?3wx?s3+??s(AiPi-Nx)?wy?s+wxR+

1R(AiPi-Nx)+mfU2?2wy?s2+1R?wx?s+1R+

2mfU?2wy?t?s+1R?wx?t+(mp+mf)?2wy?t2=0

(15)

EI?4wz?s4-1R?2φx?s2-GJR?2φx?s2+1R?2wz?s2+

??s(AiPi-Nx)?wz?s+mfU2?2wz?s2+

2mfU?2wz?t?s+(mp+mf)?2wz?t2=0

(16)

EIR?3wy?s3+1R?2wx?s2-??s(AiPi-Nx)+1R×

(AiPi-Nx)?wy?s+wxR+mfU2R?wy?s+wxR-

mfU?2wx?t?s-1R?wy?t-(mp+mf)?2wx?t2=0

(17)

-GJ?2φx?s2+1R?2wz?s2+EIRφxR-?2wz?s2+Ix?2φx?t2=0

(18)

式中:wx,wy,wz分別為曲管的切向位移、徑向位移以及垂直于曲管平面的位移；φx為曲管軸線方向的轉(zhuǎn)角；s為自然坐標(biāo)；t為時(shí)間；Ai為流體的橫截面積；Pi為流體內(nèi)壓；管道的拉伸剛度、彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度分別用EAp，EI，GJ表示，則管道的軸向力Nx表達(dá)為

Nx=EApε

(19)

在軸線不可伸長的情況下，ε=0；在軸線可伸長的情況下，ε=?wx?s-wyR。不難看出：式(15)和式(17)為曲管的面內(nèi)振動(dòng)，式(16)和式(18)為曲管的面外振動(dòng)。

式(15)～式(18)解的形式設(shè)為

wx(s,t)=wx(s)exp(iωt)

wy(s,t)=wy(s)exp(iωt)

wz(s,t)=wz(s)exp(iωt)

φx(s,t)=φx(s)exp(iωt)

(20)

將式(20)代回式(15)～式(18)，消去時(shí)間項(xiàng)exp(iωt)，可得到輸流曲管在頻域內(nèi)的振動(dòng)方程，略去非線性項(xiàng)，在軸線可伸長情況下得到輸流曲管的自由振動(dòng)方程如下

EI?4wy(s)?s4+1R?3wx(s)?s3+AiPi?2wy(s)?s2+1R?wx(s)?s-

本文根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，通過對不同條件下干燥時(shí)間的分析并結(jié)合文獻(xiàn)[14]得出辣椒干燥時(shí)間的評價(jià)方法，如表2所示。

EAPR?wx(s)?s-wy(s)R+mfU2?2wy(s)?s2+1R?wx(s)?s+

2iωmfU?wy(s)?s+wx(s)R-(mp+mf)ω2wy(s)=0

(21)

EI?4wz(s)?s4-1R?2φx(s)?s2-GJR?2φx(s)?s2+1R?2wz(s)?s2+

AiPi?2wz(s)?s2+mfU2?2wz(s)?s2+2iωmfU?wz(s)?s-

(mp+mf)ω2wz(s)=0

(22)

EIR?3wy(s)?s3+1R?2wx(s)?s2+AiPiR+mfUR×

?wy(s)?s+wx(s)R+EAp?wx(s)?s-wy(s)R-

iωmfU?wx(s)?s-wy(s)R+(mp+mf)×

(23)

-GJ?2φx(s)?s2+1R?2wz(s)?s2+EIR×

φx(s)R-?2wz(s)?s2-Ixω2φx(s)=0

(24)

式(21)～式(24)具有如下形式的解：

wx(s)=Aexp(kas)

wy(s)=A′exp(kas)

wz(s)=Bexp(kbs)

φx(s)=B′exp(kbs)

(25)

式中：ka為面內(nèi)振動(dòng)的波數(shù)，既包含軸向波數(shù)，也包含面內(nèi)彎曲波數(shù)，由式(26)決定

deta11a12

a21a22=0

(26)

式中:

(AiPi+mfU2)/R2

kb為面外振動(dòng)的波數(shù)，既包含扭轉(zhuǎn)波數(shù)，也包含面外彎曲波數(shù)，由式(27)決定

(27)

式中：

(mp+mf)ω2

從式(26)和式(27)解得面內(nèi)振動(dòng)包含六個(gè)波數(shù)，面外振動(dòng)也包含六個(gè)波數(shù)，那么結(jié)合Euler梁理論，可以建立曲管單元的離散模式，如表2所示。表中系數(shù)αj,βj可結(jié)合式(26)和式(27)得到

(28)

(29)

結(jié)合表2，同樣可以得到

Wc=D1cCc

(30)

Fc=D2cCc

(31)

式中:Wc為位移狀態(tài)矢量，與式(9)相同，F(xiàn)c為力狀態(tài)矢量，與式(10)相同，下標(biāo)c為曲管單元，系數(shù)列陣為

Cc=(A1A2A3A4A5A6

B1B2B3B4B5B6)T

(32)

聯(lián)立式(30)～式(32)得到

Fc=DcWc

(33)

3 基于動(dòng)力剛度矩陣法的直曲組集

對于復(fù)雜管路系統(tǒng)，其直曲組集計(jì)算過程，如圖3所示。按照“先分解再組集”的思路，將復(fù)雜管路系統(tǒng)分解為單管，依據(jù)Euler梁理論，建立單管的局部動(dòng)力剛度矩陣，然后運(yùn)用轉(zhuǎn)換矩陣建立全局坐標(biāo)系下單管的動(dòng)力學(xué)關(guān)系，再按照節(jié)點(diǎn)進(jìn)行組集，建立起系統(tǒng)的動(dòng)力剛度矩陣，結(jié)合邊界條件構(gòu)建系統(tǒng)特征方程，最后進(jìn)行求解。

以管路模型為例進(jìn)行詳細(xì)說明，如圖4所示。首先將管路分解為單直管和單曲管，單管動(dòng)力剛度矩陣的建立過程如前文所述，第i個(gè)管道單元的動(dòng)力剛度矩陣記為Di，根據(jù)式(14)和式(33)，單管在局部坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)關(guān)系為

表2 輸流曲管自由振動(dòng)的離散模式

Fi=DiWi

(34)

圖3 算法流程圖

建立全局坐標(biāo)系x0y0z0和局部坐標(biāo)系x1y1z1，x2y2z2,…,xiyizi,…,xmymzm，m為管路系統(tǒng)中直管單元的數(shù)目。那么依據(jù)局部坐標(biāo)系xiyizi相對于全局坐標(biāo)系x0y0z0的方向余弦矩陣ti，可以得到管道單元i的轉(zhuǎn)換矩陣Ti，將管道單元i的力狀態(tài)矢量和位移狀態(tài)矢量轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下

Fig=TiFi

(35)

Wig=TiWi

(36)

圖4 管路組集示意圖

將式(35)和式(36)代入式(34)，得到

(37)

式中：下標(biāo)g為在全局坐標(biāo)系下，由于轉(zhuǎn)換矩陣Ti為正交矩陣，故管道單元i在全局坐標(biāo)下的動(dòng)力剛度矩陣為

(38)

那么，對于單元i，其在全局坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)關(guān)系為

Fig=DigWig

(39)

將其分解為

(40)

同理，單元i+1的動(dòng)力學(xué)關(guān)系可表示為

(41)

管道單元i與單元i+1的交點(diǎn)記為節(jié)點(diǎn)i，其受力如圖5所示。在工程應(yīng)用中，直管單元與曲管單元在節(jié)點(diǎn)處相切或近似相切的情形比較常見，但也有不相切的情形，這兩種情形在全局坐標(biāo)系下的受力分析可以得到統(tǒng)一，也就是說，無論節(jié)點(diǎn)i在局部坐標(biāo)系下受力情況如何，都可以通過轉(zhuǎn)換矩陣將其所受力轉(zhuǎn)換為沿著全局坐標(biāo)軸x0,y0,z0方向的分量，節(jié)點(diǎn)i處的力矩分析也是如此。

圖5 節(jié)點(diǎn)i受力分析圖

在全局坐標(biāo)系下，根據(jù)該節(jié)點(diǎn)處的力平衡條件和位移連續(xù)性條件，可以得到

(42)

(43)

(44)

至此，便完成了“直管-曲管”的組集過程，依次類推，依據(jù)節(jié)點(diǎn)建立整個(gè)管路系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系如式(45)所示

(45)

FK=-KW(ω)

(46)

K為彈性系數(shù)，節(jié)點(diǎn)i處受力平衡，得到

(47)

依據(jù)上式將式(46)疊加到式(45)中，即可得到含彈性支撐的系統(tǒng)動(dòng)力剛度矩陣。

4 算 例

4.1 計(jì)算驗(yàn)證

直曲組集算法可用于含有“直管-曲管”典型管道元件的復(fù)雜管路計(jì)算，但是目前關(guān)于這類管路的理論成果較少，缺乏對比性，而關(guān)于單管的計(jì)算結(jié)果較多。如果所提算法是正確的，那么必然也可適用于單管的計(jì)算。所以先采用該法對單曲管進(jìn)行計(jì)算，并與文獻(xiàn)[18]進(jìn)行對比，對所提算法進(jìn)行初步驗(yàn)證。

為了方便對比，管道材料參數(shù)及邊界條件設(shè)置與文獻(xiàn)[18]相同：楊氏模量E=210 GPa，截面慣性矩Ip=9.41×10-8m4，管截面面積Ap=4.05×10-4m2，流體截面面積Af=1.26×10-3m2，管道單位長度質(zhì)量mp=3.18 kg/m，流體單位長度質(zhì)量mf=1.26 kg/m，管道內(nèi)壓P=10 MPa，流體速度V=15 m/s，曲管的約束條件設(shè)為兩端固支。計(jì)算結(jié)果，如表3所示。

從表3可知：直曲組集方法計(jì)算的一階、三階、五階頻率與文獻(xiàn)[18]給出的前三階頻率相近，相對誤差2%，但卻多出了兩階頻率，是參考文獻(xiàn)中所沒有的。這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[18]中計(jì)算的是曲管的平面振動(dòng)，而本文采用的是曲管的三維振動(dòng)模型，不僅包含面內(nèi)振動(dòng)，也包含面外振動(dòng)，為了進(jìn)一步說明，求得曲管的前五階振型，如表4所示?？梢愿鼮榍宄乜闯?，一階、三階、五階頻率是曲管面內(nèi)振動(dòng)頻率，二階、四階頻率是曲管面外振動(dòng)頻率。采用所提算法求得的面內(nèi)振動(dòng)前三階頻率與參考文獻(xiàn)中平面振動(dòng)前三階固有頻率相吻合，初步證明所提算法是正確的。

表3 曲管固有頻率對比結(jié)果

表4 曲管的前五階振型

為了進(jìn)一步證明直曲組集算法可用于復(fù)雜管路，分別采用該法與有限元法對“Z”形管路進(jìn)行計(jì)算。管路參數(shù)設(shè)置如下：楊氏模量E=200 GPa，泊松比υ=0.3，密度ρp=7.93×103kg/m3，管道外徑do=9.9 mm，壁厚t=1.2 mm，中間直管單元長520 mm，兩端直管單元的長度均為250 mm，曲管曲率半徑均為40 mm。管內(nèi)流體密度ρf=898 kg/m3，內(nèi)壓P=10 MPa，流速V=0.5 m/s，約束條件設(shè)為兩端固支。

直曲組集計(jì)算結(jié)果，如圖6所示，圖6中下尖點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)即為管路的固有頻率，分別用W1,W2,W3,W4,W5來表示。然后采用有限元法計(jì)算了不同單元數(shù)目下“Z”形管路的前三階固有頻率。對比結(jié)果，如圖7所示。

圖6 “Z”形管路的前五階頻率圖

圖7 兩種方法計(jì)算結(jié)果對比

從圖7可知，隨著劃分單元數(shù)目的增多，有限元法計(jì)算結(jié)果逐漸趨于穩(wěn)定，并與直曲組集計(jì)算結(jié)果逐漸吻合，說明直曲組集算法是正確的。而且，直曲組集算法計(jì)算時(shí)僅用了5個(gè)單元，而有限元法在計(jì)算單元數(shù)目達(dá)到30個(gè)時(shí)才趨于穩(wěn)定，說明直曲組集算法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，減少了計(jì)算單元數(shù)目，實(shí)現(xiàn)了大尺寸單元組集計(jì)算。

4.2 管路布局對管路固有頻率的影響

管路布局對管路的振動(dòng)特性有著重要影響，因?yàn)楣苈凡季职l(fā)生變化時(shí)，管路的固有頻率也會(huì)隨之發(fā)生變化，而固有頻率是判斷管路穩(wěn)定性的一個(gè)重要參數(shù)。研究管路布局對管路固有頻率的影響規(guī)律，有助于管路設(shè)計(jì)時(shí)，提高管路的穩(wěn)定性，避開激振頻率，預(yù)防發(fā)生共振等。所以，接下來以航空管路系統(tǒng)中常見的“Z”形管路為例，探討管路布局對其固有頻率的影響規(guī)律。

“Z”形管A端、B端位置固定，如圖8所示。定義兩個(gè)幾何參數(shù)：曲管至A端的距離l以及曲管的曲率半徑r。那么管路布局的變化可通過改變l和r的值來實(shí)現(xiàn)。為了方便尋找規(guī)律，采用控制變量法，即先給定曲管曲率半徑r，通過改變l來觀察其對“Z”形管路固有頻率的影響；然后再給定l，改變r(jià)值，觀察“Z”形管路固有頻率的變化規(guī)律。

圖8 “Z”形管路布局圖

管道材料參數(shù)設(shè)置同上，AB兩端點(diǎn)之間的橫向距離為600 mm，豎向距離為580 mm，管內(nèi)流體密度為ρf=1 000 kg/m3，內(nèi)壓Pi=21 MPa，流速U=12.48 m/s。根據(jù)航空管路設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，曲管的曲率半徑不小于管道外徑的4倍，即r≥4do，故取r=40 mm，分別計(jì)算了l=80 mm,150 mm,220 mm,290 mm四種工況下管路的前三階固有頻率，如圖9所示。

圖9 不同l值下管路的前三階頻率

從圖9可知，在曲管曲率半徑一定的情形下，隨著曲管位置距離A端越遠(yuǎn)，即l值越大，“Z”形管路的前兩階頻率均隨之減小，第三階頻率先減小后增大。

一階固有頻率是判斷管路靜態(tài)失穩(wěn)的重要參數(shù)，此處重點(diǎn)研究“Z”形管路的一階頻率隨l值的變化規(guī)律。定義一個(gè)比例系數(shù)α，α=l/yAB，yAB代表圖8中A端，B端的豎向距離，逐步改變l值，得到“Z”形管路的一階固有頻率隨α的變化，如圖10所示。

從圖10可知，“Z”形管一階頻率W1隨著比例系數(shù)α的增大先減小后增大，在α=0.5時(shí)達(dá)到最小值，這與管路的幾何形狀有關(guān)，管路A端、B端約束條件相同，當(dāng)曲管距離B端的距離達(dá)到與原來距離A端的距離相等(例如l=430 mm與l=150 mm，圖10中α=0.741與α=0.259)時(shí)，管路幾何形狀是對稱的，故一階頻率是相同的，振型也是對稱的。觀察圖形可知：W1與α近似呈余弦函數(shù)關(guān)系，不妨假設(shè)

W1=Acosωα+θ+B

(48)

為了進(jìn)一步確定式中待定系數(shù)，定義：“Z”形管路幾何形狀呈中心對稱(即α=0.5)時(shí)，管路的一階固有頻率為W0.5；α0=r0/yAB，r0表示給定的曲率半徑；當(dāng)α=α0時(shí)，管路的一階固有頻率記為Wα0。那么結(jié)合圖10，可以將式(48)改寫為

(49)

圖10 一階固有頻率隨比例系數(shù)α的變化規(guī)律

至此，只需將一組計(jì)算數(shù)據(jù)代入式(49)，即可確定ω值，這樣就得到了“Z”形管路一階固有頻率關(guān)于比例系數(shù)α的表達(dá)式。為了驗(yàn)證式(49)是否正確，接下來對其進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，如圖11所示。

對比結(jié)果，如圖12所示。式(49)與計(jì)算結(jié)果基本吻合，與試驗(yàn)結(jié)果雖有誤差，但變化趨勢基本相符。而且通過數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，試驗(yàn)結(jié)果與式(49)計(jì)算結(jié)果的相對誤差<5%，說明在誤差許可的范圍內(nèi)，式(49)可用于“Z”形管路的設(shè)計(jì)計(jì)算。

圖12 不同比例系數(shù)下的結(jié)果對比

接下來研究曲管曲率半徑r發(fā)生變化時(shí)對“Z”形管路固有頻率的影響。給定l=290 mm，管道材料參數(shù)同上，分別計(jì)算了r=40 mm,80 mm,120 mm,160 mm四種工況下管路的前三階固有頻率，如圖13所示。

圖13 不同r值下管路的前三階固有頻率

由圖13可知，隨著曲管曲率半徑r的增大，“Z”形管路的前三階固有頻率均會(huì)隨之增大，一階頻率增大得較為緩慢，二階、三階增大地較為明顯。同樣，這里重點(diǎn)研究曲管曲率半徑對“Z”形管路一階固有頻率的影響規(guī)律。

選取不同r值進(jìn)一步計(jì)算，“Z”形管路一階固有頻率的變化趨勢，如圖14所示。隨著曲管曲率半徑的增大，“Z”形管路的一階頻率增大速率越來越快。采用最小二乘法對計(jì)算結(jié)果分別進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合和三次多項(xiàng)式擬合，發(fā)現(xiàn)擬合曲線近乎重合，故可近似認(rèn)為“Z”形管路的一階固有頻率是曲率半徑r的二次函數(shù)，即

W1=a0+a1r+a2r2

(50)

對式(50)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，分別選取了r1=40 mm,r2=80 mm,r3=120 mm,r4=160 mm,r5=200 mm五種尺寸進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果如圖15所示。二次擬合結(jié)果與計(jì)算結(jié)果基本吻合，試驗(yàn)結(jié)果與擬合曲線的變化趨勢基本相同，但相對擬合結(jié)果偏小，這是因?yàn)楣艿郎腺N有傳感器等附件，給管道增添了附加質(zhì)量，所以導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果偏小。數(shù)值分析顯示，擬合結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對誤差<5%，如果考慮附加質(zhì)量的影響，相對誤差會(huì)更小，說明擬合結(jié)果是正確的，在誤差許可的范圍內(nèi)，式(50)可用于“Z”形管路的設(shè)計(jì)計(jì)算。

圖14 一階固有頻率隨曲率半徑的變化規(guī)律

圖15 不同曲率半徑下的結(jié)果對比

5 結(jié) 論

利用管單元的動(dòng)力剛度矩陣，建立“直管-曲管”組合管道系統(tǒng)固有模態(tài)組集解法，通過驗(yàn)證與計(jì)算，得到以下結(jié)論：

(1) 所提算法對曲管的計(jì)算結(jié)果與參考文獻(xiàn)吻合，相對誤差<2%。

(2) 所提算法對“直管-曲管”組合管道系統(tǒng)是適用的，實(shí)現(xiàn)了大尺寸單元組集計(jì)算，較有限元法減少了計(jì)算單元數(shù)目。

(3) 試驗(yàn)顯示，“Z”形管基頻關(guān)于布局參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式誤差<5%，證明所擬公式正確，在誤差許可范圍內(nèi)，可用于“Z”形管的設(shè)計(jì)計(jì)算。

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