基于協整理論的環境溫濕度效應下連續梁橋頻率修正方法

何浩祥， 張小福， 王小兵

(1. 北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室， 北京 100124;2. 首都世界城市順暢交通北京市協同創新中心， 北京 100124)

近年來，包括基于模態參數和物理參數、基于現代信號分析技術以及基于智能算法和統計模式識別等方法在內的橋梁損傷評估和狀態評估技術迅猛發展，但目前的許多方法都存在著各自的局限性。對于經典的結構損傷分析，一般假定質量保持不變而結構的剛度出現下降。由于頻率和剛度是直接相關的，而頻率的提取和分析相對簡單可行，因此基于頻率的損傷評估方法被廣泛研究[1]。然而，由于橋梁在運營階段受到交通荷載、環境因素和噪聲的綜合作用, 加之工程結構的隨機性，實測得到的頻率往往出現偏差和不確定性[2]。在實際狀態下，由外部因素引起的頻率偏差通常與由結構累積損傷引起的頻率改變在同一量級甚至更大，這掩蓋了結構的真實損傷特征和信息，嚴重降低了基于頻率的損傷評估方法的精確性和可信度，阻礙了該方法的應用和發展。因此，如何對影響橋梁頻率的外部因素效應進行有效剝離，提取結構真實動力特性和損傷特征具有重要的理論研究和應用價值[3-4]。

在諸多環境因素中，橋梁的頻率、振型等動力特性主要受到溫度、濕度和阻尼等宏觀環境因素影響。一般認為環境溫度對橋梁結構實時動力特性的影響最為顯著，因而目前的環境因素影響分析主要局限在溫度效應方面。許多研究通過實際工程和試驗模型的實測數據并結合橋梁結構形式分析溫度效應對橋梁內力的影響規律[5-7]。但在實際研究過程中，濕度同樣對橋梁的模態參數有較大的影響，部分研究者對此做出相應研究[8-10]。溫度的影響機理主要為：① 溫度通過引起鋼筋和混凝土的彈性模量的變化從而改變結構的振動頻率；② 橋梁為高次超靜定結構，溫度改變也必然會引起結構內力的改變。由應力剛化理論可知，內力改變也會引起剛度的改變，進而引起頻率的改變；③ 環境溫度差也會導致橋梁幾何形狀的改變，使基礎邊界條件和受力狀態發生輕微改變。研究表明結構的動力參數受溫度的影響很大，一般認為，溫度對橋梁頻率的影響主要是由于彈性模量的改變而引起的。濕度的影響機理主要是：混凝土是多孔性材料，濕度將直接影響混凝土結構的含水率，對混凝土材料的力學性能產生影響。隨著含水率的小幅增長，混凝土基體相的體積模量變化不大, 但孔隙水的存在對孔隙和裂紋的軟化起到了一定的緩和作用，引起混凝土的黏性系數變大，導致混凝土的彈性模量略有增大[11]。由于較慢的滴水滲透過程，濕度對橋梁總體質量的影響較小。

在溫、濕度對結構動力特性影響方面，許永吉等[12]研究了溫度對多跨連續梁橋動力特性的影響進行了深入研究，結果表明：隨著溫度的升高, 豎向、縱向和橫向的各階頻率呈上升趨勢，同時也橋梁邊界約束條件的不同而有變化。Peeters等[13]對一座混凝土預應力梁橋進行了10個月的監測, 收集了各項環境數據和振動數據。分析結果表明,該橋的前4階特征頻率的波動范圍均>14%，當監測分析得到的頻率如果超過理論模型的置信區間則可認為產生溫度以外的因素如損傷導致特征頻率改變。Ni等[14]以香港汀九大橋長期監測數據為基礎，提出利用基于支持向量機(Support Vector Machine, SVM)的非線性回歸算法建立頻率-溫度分布模型從而消除溫度影響的方法。Xia等對一塊兩跨鋼筋混凝土連續板進行2年以上的監測，發現溫度每上升1℃頻率下降0.2%,濕度每上升一度則頻率下降0.03%。劉綱等利用結構長期監測信號的多尺度特性，提出較為精確分離溫度效應的自適應帶寬濾波方法。皮少博以杭州灣跨海大橋北航道為研究對象，運用支持向量機建立數據驅動的模型研究分析溫度濕度對該橋模態參數的影響，結果表明絕對溫度在0 ℃～30 ℃變化時與頻率呈負相關線性變化，絕對濕度與頻率成正相關的線性關系。

在以上研究過程中，大部分研究者采用回歸分析方法建立環境因素和結構頻率之間的關系。雖然線性回歸模型可以直觀表達環境因素與頻率之間的線性關系，但由于環境溫濕度和頻率序列的非平穩性，對非平穩序列進行線性回歸分析存在虛假回歸，其樣本均值和方差不能準確推斷隨機變量的分布特征，因此，關于溫度或濕度和頻率線性回歸模型的結果可信性較差。當考慮多環境因素對頻率的耦合效應建立自回歸滑動平均模型 (Auto-Regressive and Moving Average Model, ARMA)、自回歸積分滑動平均模型(Auto-Regressive Integreted Moving Average Model, ARIMA)或擴展ARIMA 模型(ARIMAX)時，ARIMAX 模型引入了外部變量，具有連貫性和類推性，較好地表達多元時間序列的變化規律。但是溫濕度以及頻率的采集并沒有周期性，即同一序列前后之間沒有連貫性，并且環境因素影響的研究是針對序列之間的縱向關系的觀察，因此相關的ARIMAX差分算法以及延遲算子沒有明顯的物理意義。近年來協整分析方法日益受到關注并在經濟分析和工程領域得到廣泛應用。協整理論認為：盡管各個非平穩變量具有各自的長期波動規律，每一個序列的矩會隨著時間發生變化，但它們的某種線性組合卻可能存在穩定的矩，從而表現出這些非平穩變量之間存在著一個長期穩定的關系，即存在所謂的矩協同持續性，此外協整分析還可以準確反映多變量矩協同持續性。

由于實際的橋梁動力性能受到多環境因素的影響，研究成果大多是通過對監測數據分析得到單獨環境因素對具體橋梁的影響和量化統計[15-16]，缺乏對多環境因素綜合作用的機理分析和精確模型描述。有鑒于此，本文利用協整分析能夠量化多個非平穩序列之間長期均衡關系的能力，提出基于協整分析的頻率修正方法。通過對北京地區自然環境下三跨混凝土橋梁模型進行了長期監測，獲得了不同環境溫度和濕度對結構自振頻率的影響，進而建立了基于協整理論的“溫度—濕度—頻率”長期均衡模型和考慮多環境因素影響的橋梁頻率修正模型。

1 協整分析的檢驗方法及流程

1.1 協整理論及其應用

協整理論是由Engle等[17-18]創建的一種計量經濟學分析方法，已成為計量經濟學中分析處理非平穩時間序列問題的基本方法。協整基本思想是假定變量自身是非平穩時間序列，而其線性組合可能成為平穩序列，這種平穩的線性組合稱為協整方程，可解釋為變量之間存在著一個長期穩定的比例關系，即存在長期均衡關系。

在對若干非平穩隨機過程進行協整分析之前，必須要使用單位根檢驗法檢驗非平穩序列的單整階數。單整階數的具體定義為[19]：一個具有非確定性分量的時間序列xt，如果在差分d次后，即Δdxt為平穩序列，而在差分d-1次后仍是非平穩的，則稱時間序列xt是d階單整的，稱為I(d)序列，記為xt～I(d)。

Δxt=xt-xt-1,Δ2xt=Δ(Δxt),…,Δdxt=

Δd-1(Δxt)

(1)

式中：Δ為差分運算子。因此，平穩序列可表示為I(0)。

在非平穩性序列單位根檢驗的結果的基礎上，根據檢驗結果選擇合適的變量進行協整分析。若2個或多個變量都是單整變量，且其單整階數相同，則其線性組合是零階單整序列時，這些變量即是協整的。協整的定義可以表述為：如果序列[X1t,X2t, …,Xkt]都是d階單整的，存在協整向量α=[α1,α2, …,αk]，使Zt=αXt～I(d-b)，其中b>0，Xt=[X1t,X2t,…,Xkt]T，則認為序列[X1t,X2t,…,Xkt]是(d,b)階協整的，記為Xt～CI(d-b)。例如，若序列[X1t,X2t, …,Xkt]都是d階單整并滿足協整關系，則

ξ=α1X1t+α2X2t+…+αkXkt

(2)

式中:ξ為I(0)的平穩序列。

協整分析已被初步應用于健康監測和機械故障診斷，并被證明是行之有效的。這些研究主要運用非線性協整分析方法消除數據中的非線性趨勢，并利用由非線性協整分析得到的穩定殘差判斷結構損傷狀態[20]。Cross等[21]采用非線性協整的思想研究Z24大橋基準項目。Zolna等[22]利用非線性協整有效地從各種類型的實驗數據消除非線性趨勢，得到可靠的風力渦輪機的結構損傷檢測的數據。在這些研究中，非線性協整分析方法只考慮了單一因素對結構的影響并且沒有量化分析，且不能區分和量化多因素的影響。然而，協整分析最突出的優勢是具有確定多個變量之間的協整關系的能力。因此本文考慮環境溫度和濕度對結構自振頻率的影響，力求建立基于協整理論的“溫度—濕度—頻率”長期均衡模型和橋梁頻率修正模型。

1.2 協整分析過程

鋼筋混凝土橋梁的各階頻率會受到多個環境因素的影響，主要是受到來自溫度和濕度的影響，而這些環境因素變量往往是非平穩的。如果使用傳統的多元回歸方法建模，即使回歸系數有意義，也會產生偽回歸問題。由于協整分析能夠有效避免偽回歸，可以從變量自身平穩性和變量間的協整關系出發篩選變量、構建考慮多環境因素的橋梁頻率修正模型，具有牢固的理論基礎和優良的統計性質。

本文力求通過引入線性協整分析方法研究多因素對結構的影響，提出一種基于協整理論的橋梁頻率識別模型，力求準確而全面地反映橋梁頻率與環境溫濕度的關系，為橋梁損傷識別和健康監測提供有效的技術支持。協整分析的基本流程是：為避免出現偽回歸問題，首先利用(Augmented Dickey-Fuller,ADF)單位根檢驗法檢驗頻率、環境溫度和濕度等變量的平穩性及其單整階數；其次，若各變量是同階單整的，則確立特征方程并進行協整檢驗，從而明確各變量之間的長期穩定的均衡關系，確立多因素之間的數學模型；最后，深入分析檢驗結果并剖析機理，并得出修正模型。具體流程，如圖1所示。

圖1 頻率修正模型建模步驟

2 混凝土橋梁模型監測數據的采集和處理

2.1 混凝土橋梁模型

環境溫度濕度對橋梁頻率的影響十分復雜，必須在實測數據分析的基礎上建立準確的關系模型，形成有效的環境因素影響的剔除算法，進而在實際工程中應用。為了深入探索預應力混凝土連續梁的橋梁模態參數與環境因素之間的關系，本文以三跨連續梁橋為試驗研究對象，根據相似理論的三個相似定理、試驗精度要求以及試驗條件的可能性，參照實際橋梁建立了縮尺比例為1∶11的橋梁模型，如圖2所示。

橋梁模型的跨徑組合為3.1 m+3.6 m +3.1 m，截面尺寸及預應力鋼筋布置，見圖3。通長預應力鋼筋采用6Ф5鋼絲, 由Фs15.2鋼絞線(7根5的鋼絲)抽掉中間1根得到,墩頂短束采用3Ф5鋼絲, 同樣由Фs15.2鋼絞線抽出其中4根得到。普通鋼筋主要采用Ф6和Ф10的Ⅰ級和Ⅱ級鋼筋。混凝土采用C35細石混凝土，其彈性模量為3.15×104N/mm2。該混凝土橋梁模型位于室外，受日光和風雨的直接作用，除自重外，梁上沒有任何附加荷載，可以近似地模擬橋梁所處的自然環境。采用無線加速度傳感器和無線溫濕度傳感器進行測試，測點布置，如圖4和圖5所示。兩個測試點分別位于中跨和邊跨的跨中。在監測過程中，位于橋梁表面傳感器的總質量只有90 g，因此橋梁模型不會因溫濕度或試驗儀器產生額外的應力，最終得到的模態參數的變化均由自身材料在溫濕度變化條件導致力學性能變化而產生的。

圖2 鋼筋混凝土橋梁模型

2.2 監測數據的采集和處理

為了準確的監測橋梁的模態信息和環境因素變化量，在監測的過程中采用錘擊法在橋梁跨中連續施加激勵，錘擊頻率保持恒定，錘擊的高度相同，以確保影響效果不變。采用高精度無線加速度傳感器采集橋梁豎向振動信息，采用無線溫濕度傳感器對環境溫度濕度進行監測。所有傳感器的采樣頻率均為100 Hz，每個工況采樣時間為3 min，并采集相對濕度和攝氏溫度作為計算參考量。加速度監測數據采集過程，如圖6所示。典型的動力信號和溫、濕度監測數據，如圖7所示。

(a) 通長預應力筋立面圖

(b) 墩頂預應力筋立面圖

(c) 跨中截面尺寸

(d) 墩頂截面尺寸

圖4 混凝土橋梁模型的測點布置

從2015-09到2016-07期間內，根據溫度和濕度的分布，對不同時間段的橋梁的環境信息和模態信息進行采集，得到了大量監測數據。同一環境溫度和濕度的影響下，采用多組加速度傳感器同時采集，從而保證數據的有效性。在此基礎上，對不同環境因素下的數據就進行篩選，刪除數據中奇異點，獲得有效的監測信息。由于采集過程時間較短，環境溫度和濕度變化微弱，因此對采集所得的環境溫度和濕度數據求以均值，作為計算環境溫度和濕度影響的基本數據。同時對每次采集的橋梁加速度數據進行Fourier變換，得到當時環境下橋梁模型的一階振動頻率。不同環境影響下的頻譜分析結果，如圖8所示。從圖8可知，頻率在一定的范圍內波動。

(a) 監測數據采集過程

(b) 無線加速度傳感器

(c) 無線溫濕度傳感器

圖6 豎向加速度時程曲線

圖7 環境溫度、濕度時程曲線

3 環境溫度和濕度對橋梁頻率的影響

3.1 溫度或濕度對橋梁頻率的單獨影響

為了直觀地反映模型頻率隨溫度或濕度的變化規律，頻率隨環境溫度的分布，如圖9所示，頻率隨環境濕度的分布，如圖10所示。

圖8 橋梁加速度響應頻譜

圖9 頻率與溫度散點圖

圖10 頻率與濕度散點圖

由以上結果可以看出溫度以對頻率產生了較大影響，在溫度為[-10℃,30℃]區域上進行線性回歸時, 雖然部分數據的離散性較大, 但整體相關系數為-0.748，表明溫度與頻率的變化趨勢基本為近似線性。同理，對在濕度為[0,0.9]范圍內進行線性回歸時，相關系數0.588，表明濕度與頻率的變化趨勢為近似線性，但線性度相對較低。此外，頻率與溫度的關系為近似負相關，與濕度的關系為近似正相關。一元線性擬合模型精度偏低，不能充分反映溫度或者濕度對頻率的影響，更無法表征二者的耦合作用。溫度和濕度的變化都會對頻率產生顯著性的影響，因此當依據實測數據建立環境溫濕度與橋梁結構頻率的關系時，應當基于協整分析同時考慮溫度濕度對橋梁頻率的綜合影響。

3.2 環境溫度和濕度對橋梁頻率的綜合影響

協整檢驗的方法有2種：① 1987年Engle和Granger 提出的E-G兩步檢驗法，該方法適用于單方程的協整檢驗[23]；② 1988 年Johansen以及1990年Juselius提出的Johansen檢驗方法，其基本思想是基于VAR模型將一個求極大似然函數的問題轉化為一個求特征根和對應的特征向量的問題[24]。該方法將協整檢驗推廣到存在多個協整向量的情況。通過Trace統計量不僅能檢驗出變量之間是否存在協整關系，而且可準確檢驗出變量間協整關系的個數[25-28]。本文是為了求溫度濕度頻率三個變量之間的均衡關系，所以采用Johansen檢驗方法。

由于溫度濕度以及頻率的采集具有非周期性，需要對其的平穩性進行量化，判斷其單整階數，通過ADF檢驗來確定。為了對溫度濕度以及頻率的變化規律有直觀的認識并便于選擇ADF檢驗類型，給出各變量的水平項時間序列圖和一階差分項時間序列圖，如圖11和圖12所示。由圖中可以發現監測得到的濕度和溫度與頻率有一定的相關性。

圖11 水平項時間序列圖

圖12 一階差分項時間序列圖

在進行ADF檢驗時，根據變量以及變量差分項在圖11和圖12中表現出來的時間趨勢選取不同的檢驗方式，滯后期根據AIC和SC取值最小的原則進行計算。溫度濕度和頻率的水平項和一階差分項的ADF檢驗結果，如表1所示。

表1 ADF 檢驗結果

由ADF檢驗結果可以看出，上述變量溫度濕度以及頻率均不能拒絕單位根原假設，其一階差分項均在5%的顯著水平下拒絕原假設。即溫度、濕度和頻率均為非平穩序列而其差分項均為平穩序列，所以原序列式為單整同階，符合協整檢驗的前提。由圖11可知，溫度、濕度、頻率序列均有一定的時間趨勢，即數據空間中有確定的線性趨勢。在確定Johansen 協整檢驗的方程特征時，協整方程中有截距項，沒有趨勢項[29-30]。滯后間隔根據AIC(Akaike Information Criterion)值最小準則確定[31]，其檢驗結果如表2所示。

表2 Johansen 檢驗結果

注：*表示5%顯著水平下拒絕原假設

根據表2的檢驗結果可知，溫度、濕度和頻率之間存在唯一的協整關系。通過計算得到標準化的協整向量為[1.000 0.045 -0.907 -32.701]。因此，協整方程可以表示為

fc=0.907H-0.045T+32.701

(3)

式中：fc為橋梁的頻率；T與H分別為橋梁環境因素中的溫度和濕度。T和H的符號分別為負和正，表示溫度與頻率負相關，濕度與頻率正相關，實際數據和理論分析兩者具有較好的一致性。系數值-0.045和0.907分別為頻率相對于溫度和濕度長期彈性，即溫度或者濕度每增長1%，頻率增加-0.045%和0.907%。

回代檢驗和均方誤差均可以用于驗證方程的擬合效果。將實測的環境溫度濕度數據代入“頻率—溫度—濕度”的長期均衡模型中，得到頻率的擬合值，通過對比實測數據和擬合數據驗證方程擬合性能，判定擬合方程的準確性。均方誤差同樣是反應擬合精度的重要參數，定義均方誤差σ(x)為誤差評判指標

(4)

頻率的擬合樣本以及實測樣本的對比，如圖13所示。為了更加客觀判定擬合方程的能力，將實測數據和擬合方程表達在三維坐標體系中，其分布，如圖14所示。圖15為頻率的理論模型的擬合殘差及其分布。

由圖13可知，回代結果表明實測頻率都在其擬合頻率預測區間范圍內，置信度為95%，說明擬合效果較為顯著。結合圖14可知，隨著溫度和濕度的變化，基于“頻率—溫度—濕度”的長期均衡模型得到的頻率理論值和實測值是吻合的，兩者有較好的一致性，說明了測試數據是客觀有效的。從圖15可知，殘差的概率分布接近于正態分布，即得到的理論模型是無偏估計預測模型，說明理論模型較好的擬合溫度和濕度對頻率的影響。因此可認為由協整檢驗得到的“頻率—溫度—濕度”長期均衡模型有較好的擬合能力，能夠準確描述在環境溫度和濕度對頻率的綜合影響。

圖13 頻率擬合曲線

圖14 溫度—濕度—頻率的三維散點圖

圖15 頻率擬合殘差分布

3.3 頻率修正模型的建立及驗證

通過協整分析建立了“頻率-溫度-濕度”的長期均衡模型，量化了溫度和濕度的影響，證明了環境溫度和濕度的對橋梁頻率有顯著的影響。在實際橋梁健康監測和損傷診斷中，有必要剔除頻率中環境溫度和濕度的綜合影響，從而實現對橋梁動力特性的精準識別。在此基礎上，本文建立考慮環境溫濕度的頻率修正模型。首先，設定溫度和濕度的參考值分別為T0和H0，則實測狀態下環境溫度和濕度的數值和參考值的關系如下式

(5)

式中:T為測量溫度值，ΔT為測量溫度與參考溫度的差值；H為測量濕度值；ΔH為測量濕度與參考濕度的差值。

由于環境因素的實測值多數情況下不是其參考值，可根據理論模型計算得到溫度和濕度單獨改變對頻率的影響，公式如下

(6)

式中:fc為由長期均衡模型所得的頻率，即理論頻率。當濕度為定值時，溫度的變化對結構頻率的影響為fcΔT，同理可得fcΔH。

在實測狀態下，要同時考慮溫度和濕度對頻率的綜合影響，由于在長期均衡模型中環境溫度和濕度分別對頻率的影響是相對獨立的，即環境溫度和濕度的綜合影響為兩者單獨影響效應之和

(7)

式中:參考環境狀態為(T0,H0)，實測環境狀態為(T,H)，fcΔT,ΔH為環境溫度和濕度對頻率的綜合影響。

當剔除實測頻率中環境溫度和濕度的綜合影響，修正到統一的參考狀態下，該序列才是有效的。修正后的頻率可由下式計算

(8)

將式(6)和式(7)代入式(8)，得到橋梁頻率修正模型

fm(T0,H0)=fr(T,H)-[fc(T,H)-fc(T0,H0)]

(9)

式中:fm(T0,H0)為修正后的頻率值;fr(T,H)為頻率的實測值。

在監測期間，混凝土橋梁溫度和濕度分布范圍有較大波動，因此選取概率較高的溫度和濕度作為初始溫度T0和初始濕度H0，即定義為20℃和40%。基于標準材料的性能，建立了橋梁的有限元模型(見圖16)，通過模態分析得到一階頻率為32.71 Hz。將實測數據代入頻率修正模型中，得到修正頻率的變化規律。本文混凝土橋梁模型在檢測期間處于恒定無損狀態，可依據修正后頻率序列的分布狀態來判斷修正模型的準確性。

由以上結果可知，修正頻率與有限元分析所得理論頻率的差值中，最大正值為0.497 Hz，最大負值為-0.750 Hz；而采集頻率與理論頻率的差值中，最大正值為1.04 Hz，最大負值為-1.62 Hz。并且修正頻率不受溫度和濕度的影響，只在理論頻率上下隨機波動，其差值源于不確定性因素以及測量的隨機誤差。標準化殘差分析表明，誤差是隨機的，符合標準正態分布。因此，頻率修正模型具有良好的剔除環境溫度和濕度影響的能力，可用于實際橋梁結構的健康監測以及損傷識別。

圖16 消除溫度、濕度影響后的頻率修正模型

在實際橋梁的健康監測過程中，為了獲取完好狀態下的頻率并進行損傷識別，可以在橋梁竣工后或橋梁運營初期對其動力響應和環境因素進行監測，獲得大量的無損狀態下的數據。通過協整分析建立頻率修正模型，對梁的健康狀態健康狀態進行有效的識別。

4 結 論

開展關于環境因素對橋梁健康監測和損傷診斷的研究，既可以深入了解結構動力特性的變化規律，又可用利用統計模型來判斷導致模態參數變化的因素是屬于發生損傷還是環境因素的變化，具有重要的理論和工程意義。因此，為了充分利用頻率作為損傷特征參數的優勢，且有效地去除環境因素的干擾，本文提出基于協整分析的原理構建的環境因素與頻率之間的數學模型和橋梁頻率修正模型，為研究橋梁動力特性變化規律和損傷識別提供了一定的依據。

試驗分析表明基于協整分析原理建立的溫度-濕度-頻率的長期均衡模型具有良好的擬合效果，準確地反映了環境因素的耦合效應。混凝土橋梁頻率的修正模型可以有效的消除環境因素對頻率的影響，使得頻率數據更為可靠，為橋梁健康監測和安全評估提供了精準的信息。

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