滾動軸承內外圈損傷對雙盤轉子響應特性影響分析

黃亞明， 曹樹謙

(1. 天津大學 力學系，天津 300354； 2. 天津市非線性動力學與控制重點實驗室， 天津 300354；3. 力學國家級實驗教學示范中心(天津大學)， 天津 300354)

滾動軸承是航空發動機轉子支承系統的重要組成部分，它的運行狀態是否正常直接影響到發動機的使用壽命與可靠性。航空發動機滾動軸承故障會導致發動機振動過大、轉靜子碰摩，甚至造成嚴重破壞事故。我國某型號戰斗機出現過因主軸承服役期內抱死故障導致的航空發動機空中停車、機毀人亡的惡性事故[1]。因此，正確認識滾動軸承故障對轉子系統響應的影響，對航空發動機安全運行、延長航空發動機使用壽命具有重要的工程意義。

轉子-軸承系統運行穩定性問題一直是轉子動力學研究中的重要課題，滾動軸承在運轉過程中，承載的滾動體個數及位置發生周期性變化，引起軸承的支撐剛度周期變化，這種參激振動會對轉子的動力學行為產生較大的影響。Sunnersj?等[2]考慮了轉子慣性力和阻尼力，研究了滾動軸承的變剛度效應，并進行了試驗驗證；Tiwari等[3]建立了考慮軸承間隙的滾動軸承-轉子系統動力學模型，用數值積分的方法研究了軸承間隙對其非線性動力學響應的影響并用Floquet理論分析了其運動穩定性；Sinou[4]建立了考慮軸承間隙、非線性赫茲接觸力和不平衡力作用的軸承-轉子系統有限元模型，研究了不平衡力對系統穩定性的影響；陳果[5]建立了滾動軸承支承下轉子系統的不平衡-碰摩耦合故障動力學模型，分析了轉子轉速、滾動軸承間隙、碰摩剛度、轉子偏心量對系統動力響應的影響；陳予恕等[6]對轉子-滾動軸承系統動力學的研究、進展進行了綜述。在軸承故障的研究方面，Mc-Fadden等[7]用一系列脈沖序列模擬軸承故障產生的振動沖擊；張亞洲等[8]對Mc-Fadden的模型進行了進一步改進，引入了滾動體的隨機滑動和周期性變化的振動傳遞函數，并綜合考慮了靜態載荷分布和故障點的位置，建立了滾動軸承局部故障的振動數學模型；Brie[9]將滾動軸承簡化為一線性時變的質量-剛度-阻尼系統，該模型可以很好地解釋軸承元件故障時的振動規律；梁瑜等[10]將滾動軸承的每個滾子與內圈和外圈之間、外圈與軸承座之間、內圈與軸之間的關系分別視為彈簧-質量-阻尼系統，建立起滾動軸承非線性動力學故障模型；陳果等[11-13]在考慮軸承間隙、滾珠與滾道的非線性赫茲接觸力以及由滾動軸承支撐剛度變化而產生的變柔性(Varying Compliance,VC)振動的基礎上，建立了耦合系統中滾動軸承外圈、內圈及滾動體的損傷動力學模型；王強等[14]針對軸承內圈破損故障，建立起軸承三自由度分段非光滑的故障模型，研究了內圈故障滾動軸承系統周期運動的倍化分岔現象和混沌行為。以上的研究為軸承故障的仿真分析提供了動力學模型基礎，但針對軸承故障對系統穩定性影響的研究工作還不太深入，比如并未考慮含軸承故障轉子振動隨轉速、故障程度的變化情況。

本文利用Lagrange方程建立不對稱雙盤轉子-滾動軸承系統的運動微分方程，模型中充分考慮了滾動軸承總體剛度的周期變化以及軸承間隙，在此基礎上，建立起了滾動軸承外圈、內圈局域損傷的軸承力模型。然后通過數值模擬研究了系統在不同轉速下的運動特性，分別分析了軸承外圈與內圈不同損傷程度對系統動力學響應的影響。本研究工作對轉子軸承系統的故障診斷具有一定的參考價值。

1 含滾動軸承故障的雙盤轉子-滾動軸承系統動力學模型

1.1 雙盤轉子運動微分方程

對于一個滾動軸承-雙盤轉子系統，如圖1所示。模型中A、D處為相同的滾動軸承支承，B、C為轉子的兩個轉盤，AB=BC=CD=l。假設轉盤為剛性，不考慮其變形影響；忽略轉子的扭轉和軸向振動；軸承軸頸處看作集中質量；轉軸為無質量的彈性軸。

圖1 雙盤轉子-滾動軸承系統動力學模型

每個轉盤有4個自由度，其廣義坐標為

qdi=[xdi;ydi;θxi;θyi]

(1)

式中：i=1，2。轉子盤的動能Tdi可由平動動能Tti和轉動動能Tri組成

(2)

式中：mdi為轉盤的質量；Idi，Ipi分別為轉盤的直徑和極轉動慣量；rdi為轉盤中心的位移向量，rdi=(xdi,ydi)；ωxi，ωyi，ωzi分別為轉盤關于各自坐標系的角速度。

對于軸承軸頸處的集中質量，僅考慮其x和y方向的位移自由度，其廣義坐標為qbi=[xbi;ybi]。則每個軸頸的動能為

(3)

系統的耗散能量可由瑞利耗能函數表示

(4)

圖2為轉子在yOz(鉛垂面)和xOz(水平面)平面上的投影，則圓盤B、C的相對位移為[15]

(5)

彈性軸的勢能為

(6)

對于非保守系統，Lagrange方程為[16]

(7)

(a) 轉子系統在yOz平面的投影

(b) 轉子系統在xOz平面的投影

式中：L=T-V為系統的Lagrange函數；qλ為第λ個廣義坐標，λ=1,2,…,12；Qλ為對應第λ個自由度上的廣義力。

將系統動能、勢能、耗散功代入式(7)，整理得到雙盤轉子系統的動力學方程

(8)

式中：Q=[qb1;qd1;qd2;qb2]

Fu(t)=

Fb(t)=[Fblx;Fbly;0;0;0;0;0;0;0;0;Fbrx;Fbry];

Fg(t)=[0;ms,1g;0;md,1g;0;0;0;md,2g;0;0;0;ms,2g]。

式中：q為系統廣義位移矢量；M，C，G，K分別為系統的慣量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣以及剛度矩陣；Fu(t)為不平衡力矢量；Ω為轉子轉速；e1，e2分別為兩圓盤的偏心距；Fb(t)為軸承力矢量；Fg(t)為系統的重力矢量。

(9)

fu(τ)、fb(τ)、fu(τ)分別為無量綱變換后的不平衡力矢量、軸承力矢量、重力矢量。

1.2 健康軸承的軸承力模型[17-19]

(j-1),j=1,2,…,Nb

(10)

圖3 滾動軸承模型

設內圈中心在水平與鉛直方向的振動位移分別為x，y，初始軸承間隙為δ0，則第j個滾子與滾道之間的法向接觸變形量為

δj=xcosθj+ysinθj-δ0

(11)

由非線性赫茲理論可知，只有δj> 0才有作用力，則

δj)

(12)

式中:Cb為赫茲接觸剛度;H(·)為亥維賽函數；Fj在x，y方向上的分量為

Fjx=Fjcosθj

Fjy=Fjsinθj

(13)

所以，滾動軸承產生的軸承力為

δj)cosθj

(14)

1.3 外圈損傷時軸承力模型

設滾動軸承外圈有局部剝落故障，如圖4所示。故障的角位置為α，剝落的寬度為β，剝落的厚度為h。

圖4 滾動軸承外圈損傷示意圖

為了模擬軸承外圈的損傷故障，認為滾珠進入損傷區域后，軸承間隙突然加大導致滾珠與軸承內外滾道接觸面間的赫茲接觸力突然降低或變為零。此時，滾珠與滾道間的法向接觸變形量為

(15)

根據非線性赫茲接觸理論，可以得到該滾珠與滾道所產生的接觸壓力為

H(xcosθj+ysinθj-δ0-h)

(16)

所以，滾珠在滾道上運動一周，兩者間的接觸壓力是一個分段函數

(17)

1.4 內圈損傷時軸承力模型

設滾動軸承內圈有局部剝落故障，如圖5所示。故障的角位置為α，剝落的寬度為β，剝落的厚度為h。

圖5 滾動軸承內圈故障示意圖

與外圈故障相同，滾珠在滾道上運動一周，兩者間的接觸壓力也是一個分段函數，區別在于，內圈固定在轉軸上隨轉子一起轉動，因此，缺陷位置也一直在變化。當滾珠經過缺陷位置時，有

α+Ωt+2kπ<θj≤α+Ωt+β+2kπ

(18)

所以滾珠運動一周，與滾道間的接觸壓力為

(19)

2 轉子-滾動軸承系統的動力學特性

2.1 初始系統參數

選擇轉子系統的基本參數為：轉盤B的質量為15 kg，直徑轉動慣量為0.037 5 kg·m2，極轉動慣量為0.075 kg·m2，偏心距為0.01 mm；轉盤C的質量為12 kg，直徑轉動慣量為0.019 2 kg·m2，極轉動慣量為0.038 4 kg·m2，偏心距為0.005 mm；兩端軸承處的集中質量均為1.00 kg，轉軸材料的楊氏模量為2×1011Pa，直徑為20 mm；兩端軸承處的阻尼為1 050 N/(m·s-1)，兩轉盤處的阻尼為2 100 N/(m·s-1)。滾動軸承型號為6204號深溝球軸承，其主要尺寸及計算參數為：內滾道半徑Ri=12.348 mm，外滾道半徑Ro=21.116 mm，節圓直徑D=33.5 mm，滾珠直徑db=8.731 mm，滾珠個數Nb=7，接觸剛度Cb=5×109N/m3/2，初始軸承間隙δ0=5 μm。本文采用經典的四階龍格庫塔法對系統進行數值求解。

2.2 軸承正常時的系統動力學響應

為了研究不同軸承故障對轉子軸承系統動力學響應特性的影響，分別對系統在沒有故障、右端軸承外圈出現故障、右端軸承內圈出現故障的三種情況下的運動進行數值模擬。

(a)時間波形(b)頻譜

圖6 轉速比p=0.055時響應的波形圖及頻譜圖

Fig.6 Time-domain waveform and frequency spectrum at speed ratio of 0.055

隨著轉速的升高，不平衡旋轉激勵的影響逐漸顯現出來，并逐漸取代VC參數激勵成為影響系統振動特性的主要因素。圖7(a)、圖7(b)分別為系統運動的分岔圖與三維瀑布圖，從圖7可知，當p<0.769時，頻譜中的頻率成分有1倍頻、2倍頻、VC頻率以及(VC-1)倍頻成分，隨轉速的加大，不平衡旋轉激勵頻率成分逐漸增大，而VC頻率以及其諧波成分逐漸消失，系統從擬周期運動逐漸進入單周期運動；轉速比p為1.619～2.011，系統出現2倍周期運動狀態，從瀑布圖中可以看出占比較強的1/2倍頻，圖8(a)、圖8(b)分為p=1.813時系統響應的軸心軌跡圖與龐加萊截面圖，軸心軌跡圖上顯示出兩個環，龐加萊圖中出現了兩個孤立的點，說明系統呈明顯的2倍周期運動狀態；在轉速比p=2.011時，系統經倒分岔又回到單周期運動狀態。

(a) 分岔圖

(b) 瀑布圖

2.3 含軸承滾道局域損傷時的系統動力學響應

當滾動軸承發生故障時，系統不僅受到不平衡的旋轉頻率激勵和來自軸承內部的VC參數激勵，還有來自于軸承故障的附加激勵力。不同的損傷程度下系統的運動特性可能有不同的表現，因此分別研究含軸承外圈故障轉子與含內圈故障轉子在不同損傷尺寸時的動力學表現。表1為6204號滾動軸承各故障特征頻率。

(a)軸心軌跡圖(b)龐加萊截面圖

圖8 轉速比p=1.813時系統運動軸心軌跡圖與龐加萊截面圖

Fig.8 Orbit plot and Poincaré map at speed ratio of 1.813

表1 深溝球軸承6204的故障特征頻率

2.3.1 外滾道損傷

當存在軸承外滾道故障時，設損傷寬度β=0.2π，損傷深度h=0.10 mm，轉軸轉速比p=0.165。圖9為含故障轉子B盤y方向運動的位移時域波形與頻譜圖。從圖9(a)可知，轉子振動位移的周期沖擊響應，說明由于軸承外圈故障引起的沖擊振動傳遞到了轉子B處；從圖9(b)可知，軸承外圈故障特征頻率2.58fr的存在，另外圖中5.17fr、7.76fr、10.35fr等與軸承外圈故障特征頻率一起構成了一簇間隔正好為特征頻率邊頻帶。軸承故障引起的共振峰位于5.17fr處，以5.17fr為中心，邊頻帶幅值隨頻率增大而逐漸衰減。對比文獻[22]中的結果，本文中滾動軸承外滾道損傷的建模是有效的。

(a)時間波形(b)頻譜圖

圖9 含軸承外圈故障轉子轉速比p=0.165時響應的波形圖及頻譜圖

Fig.9 Time-domain waveform and Frequency spectrum of the system with a damage in outer ring at speed ratio of 0.165

為得到軸承外滾道不同損傷寬度時對轉子系統動力學特性的影響，對損傷寬度分別為0.1π、0.2π、0.3π、0.4π，損傷深度均為0.10 mm時轉子的運動過程進行數值模擬，得到四種故障程度下系統運動的分岔圖、幅頻特性曲線、龐加萊圖等。通過分析可以發現，外滾道損傷寬度的變化會對轉子系統的運動產生較大的影響。

圖10為軸承外滾道不同損傷寬度情況下的轉子系統運動分岔圖。由圖10可知，與正常系統相比，含外圈故障轉子系統的多頻響應運動的速度區間明顯增大，這說明軸承外滾道的損傷對轉子系統的穩定性產生了影響，且損傷寬度越大，不穩定區間越大。圖11為四種損傷程度下p=0.550時轉子的頻譜圖，通過對比可知，隨著損傷寬度的增加，外圈故障頻率的幅值也在逐漸增大，分頻成分也越來越多。

(a)β=0．1π(b)β=0．2π

(c)β=0．3π(d)β=0．4π

圖10 外滾道損傷寬度不同時轉子運動分岔圖

Fig.10 Bifurcation diagrams of the system with different width of the damage in the outer ring

隨著轉速升高，當β=0.1π、0.2π、0.3π時，轉子系統都經歷了2倍周期的運動狀態，β=0.1π時系統出現2倍周期運動的轉速比區間為1.621～1.994，β=0.2π時系統出現2倍周期運動的轉速區間為1.626～1.948，β=0.3π時轉速為1.637～1.877，由此可見，隨著軸承外滾道損傷寬度的增大，系統2倍周期運動的轉速區間逐漸縮小，當損傷寬度達到0.4π時，系統2倍周期運動狀態不復存在。圖12是轉速比p=1.813時軸承外滾道在不同損傷寬度下系統運動龐加萊圖。從圖12可知，在同一轉速下，四種情況下的龐加萊圖形狀都不相同，損傷寬度為0.1π、0.2π、0.3π時系統做2倍周期運動，而損傷寬度為0.4π時，系統做擬周期運動。這些現象說明軸承外滾道的損傷產生的附加激勵力對軸承游隙的非線性影響產生干擾，隨著損傷寬度的增加，附加激勵力甚至會壓制游隙的非線性因素。

(a)β=0．1π(b)β=0．2π

(c)β=0．3π(d)β=0．4π

圖11p=0.550時不同損傷寬度下的轉子運動頻譜圖

Fig.11 Frequency spectrum of the system with different width of the damage in the outer ring at speed ratio of 0.550

(a)β=0．1π(b)β=0．2π

(c)β=0．3π(d)β=0．4π

圖12 外滾道不同損傷寬度下p=1.813時的龐加萊圖

Fig.12 Poincaré maps of the system with different width of the damage in the outer ring at speed ratio of 1.813

損傷寬度也影響著系統振動幅值。如圖13是轉子B盤處x，y兩方向振動位移的幅頻特性曲線。從圖中可以看出，軸承損傷寬度對兩個方向振動系統振動幅值的影響不完全一致。在轉速較低時，損傷寬度越大，x，y方向振動的幅值也越大；隨著轉速升高，在0.550～1.099轉速比區間以及p>1.465轉速區間內，損傷寬度對x方向振幅的影響不大。在1.099～1.465區間內，隨著損傷寬度的增大，系統x方向振幅逐漸減小。而在y方向，在0.802～1.099轉速區間內，振幅逐漸減小，在1.099～1.538轉速比區間內正好相反，當p>1.538后，損傷寬度的影響不明顯。

(a)x方向(b)y方向

圖13 外滾道損傷寬度不同時轉子振動幅頻特性曲線

Fig.13 Frequency-response of the system with different width of the damage in the outer ring

外滾道損傷深度的變化對轉子運動特性的影響并不明顯，如圖14所示。當損傷寬度β=0.2π，損傷深度分別為0.05 mm、0.10 mm、0.15 mm、0.20 mm時B盤x，y方向位移響應的幅頻曲線完全重合。這是因為損傷的深度遠大于軸承游隙，滾珠通過損傷區域時，沒有產生擠壓變形，接觸力突變為零，所以損傷的深度變化不會對軸承的受力情況產生影響。

(a)x方向(b)y方向

圖14 外滾道損傷深度不同時轉子振動幅頻特性曲線

Fig.14 Frequency-response of the system with different depth of the damage in the outer ring

2.3.2 內滾道損傷

當存在軸承內滾道故障時，設損傷尺寸仍為β=0.2π，h=0.10 mm，圖15為含軸承內圈故障轉子在轉速比p=0.165時的振動波形及頻譜圖。圖15(a)中同樣出現了周期沖擊響應。由于內圈的轉動，沖擊響應振幅受到旋轉頻率的調制，產生了類似拍振的現象。圖15(b)中fr、2fr、3fr、4fr、5fr、6fr與2.413fr、3.413fr、4.413fr、5.413fr、6.413fr、7.413fr分別組成了兩簇邊頻帶間隔為旋轉頻率fr的邊頻帶簇，高頻部分也出現了多組邊頻帶簇，兩個邊頻帶簇的間隔正好為內圈故障的特征頻率4.413fr。該結論與文獻[22]中的結果一致，說明本文對軸承內圈故障的建模的準確性。

為研究軸承內滾道損傷對轉子運動特性的影響，對內滾道損傷寬度分別為0.1π、0.2π、0.3π、0.4π，損傷深度均為0.10 mm時轉子的運動過程進行數值計算，得到四種情況下的系統運動分岔圖、幅頻特性曲線、龐加萊圖等。通過分析可知，內滾道損傷寬度的變化也會影響轉子的運動情況。

(a)振動波形圖(b)頻譜圖

圖15 含軸承內圈故障轉子轉速比p=0.165時響應的波形圖及頻譜圖

Fig.15 Time-domain waveform and Frequency spectrum of the system with a damage in the inner ring at speed ratio of 0.165

圖16為轉子在軸承內滾道不同損傷寬度時的運動分岔圖。圖17(a)～圖17(d)為四種損傷情況下轉速比為p=0.550時系統響應的頻譜圖，從圖17可知，四種情況下的系統運動均表現為旋轉頻率和內圈故障頻率通過和與差的不同組合，以及旋轉頻率與VC頻率的組合。其中，旋轉頻率與其2倍頻占絕大優勢；隨著內滾道損傷寬度的增大，在1倍頻與2倍頻幅值逐漸增大的同時，二者的比值逐漸減小。

(a)β=0．1π(b)β=0．2π

(c)β=0．3π(d)β=0．4π

圖16 內滾道損傷寬度不同時轉子運動分岔圖

Fig.16 Bifurcation diagrams of the system with different width of the damage in the inner ring

四種情況下系統都經歷了2倍周期運動狀態，當β=0.1π時，系統2倍周期運動的轉速區間為1.599～2.027，當β=0.2π時，系統2倍周期運動的轉速區間為1.588～2.033；當β=0.3π時，系統2倍周期運動的轉速區間為1.575～2.044；當β=0.4π時，系統2倍周期運動的轉速區間為1.550～2.036。可見，隨著損傷寬度的增加，系統出現2倍周期運動的轉速逐漸提前，轉速區間跨度也逐漸增大。圖18 是轉速比p=1.813時軸承內滾道在不同損傷寬度下系統運動龐加萊圖。從圖中可以看出，在同一轉速下，隨著損傷寬度的增加，系統運動的龐加萊圖由兩個封閉的環逐漸縮小為兩個獨立的點。這些現象說明軸承內滾道損傷產生的附加激勵力同樣會對軸承游隙的非線性因素產生影響；與外滾道損傷不同的是，隨著損傷寬度的增加，附加激勵力會逐漸增強軸承游隙的非線性因素。

(a)β=0．1π(b)β=0．2π

(c)β=0．3π(d)β=0．4π

圖17 轉速比p=0.550時內滾道不同損傷寬度下的轉子運動

Fig.17 Frequency spectrum of the system with different width of the damage in the inner ring at speed ratio of 0.550

(a)β=0．1π(b)β=0．2π

(c)β=0．3π(d)β=0．4π

圖18 內滾道不同損傷寬度下p=1.813時的龐加萊圖

Fig.18 Poincaré maps of the system with different width of the damage in the inner ring at speed ratio of 1.813

滾動軸承內圈損傷寬度對系統振動幅值的影響，如圖19所示。從圖19可知，當p<1.077時，隨著內滾道損傷寬度的增加，系統x，y方向的振幅也在增大，x方向的最大振幅由無故障時的8.722增大到0.4π時的31.08，增幅達到256%；y方向由無故障時的9.267增大到0.4π時的31.03，增幅達到235%。當p>1.077時，x方向上的振幅受損傷寬度的影響不明顯；而在y方向，當轉速比p在1.867～2.011區間內時，系統振幅也受到損傷寬度的影響，損傷寬度越大，振幅越大。

(a)x方向(b)y方向

圖19 內滾道損傷寬度不同時轉子振動幅頻特性曲線

Fig.19 Frequency-response of the system with different width of the damage in the inner ring

與外滾道故障相同，內滾道損傷深度的變化對轉子運動特性的影響并不明顯，如圖20所示。當損傷寬度β=0.2π，損傷深度分別為0.05 mm、0.10 mm、0.15 mm、0.20 mm時B盤x，y方向位移響應的幅頻曲線完全重合。

(a)x方向(b)y方向

圖20 內滾道損傷深度不同時轉子運動振動幅頻特性曲線

Fig.20 Frequency-response of the system with different depth of the damage in the inner ring

3 結 論

針對非對稱雙盤轉子-軸承系統，在正常滾動軸承支承剛度周期變化的基礎上，建立了軸承外圈、內圈剝落故障時的軸承力模型，考慮了由于軸承局部剝落故障導致的軸承間隙突然增大引起的軸承力突變，研究了系統在不同轉速下的運動特性，分別分析了軸承外圈與內圈不同損傷程度對系統動力學響應的影響，結果表明：

(1) 軸承外圈和內圈發生故障時，都會對雙盤轉子-軸承系統的運動特性產生顯著影響，特別是在低轉速的時候，故障會激發出多種復雜頻率成分,使系統的振動幅值增大。不同的故障類型表現出了各自的故障特征頻率，并且內圈故障引起沖擊振動幅值受轉軸旋轉頻率的調制，因而轉子會產生類似拍振的現象。

(2) 軸承外滾道出現損傷時，當損傷深度一定，隨著損傷寬度的增大，系統2倍周期運動區間逐漸減小到消失，外滾道損傷產生的附加激勵力會逐漸壓制軸承間隙的非線性因素對系統運動的作用。而在轉速較低時(p<0.550)，系統x，y兩方向上的振動幅值都是隨損傷寬度的增加而增大；在轉速較高時(p>1.465)，損傷寬度對系統振幅影響不明顯。而在中間轉速區間內，兩方向的振幅變化情況有所不同；在轉速比為1.099～1.465區間內，隨著損傷寬度的增大，系統x方向振幅逐漸減小；而在y方向，在0.802～1.099轉速比區間內，振幅逐漸減小，在1.099～1.538轉速區間內正好相反。

(3) 軸承內滾道出現損傷時，隨著損傷寬度的增大，系統開始2倍周期運動的轉速逐漸提前，轉速區間跨度也逐漸增大，內滾道損傷產生的附加激勵力會加強軸承間隙非線性因素的影響。轉速比p<1.077時，隨著內滾道損傷寬度的增加，系統x，y方向的振幅也在增大；轉速p>1.077時，損傷寬度的增大對x方向振幅影響不大，而在y方向，損傷寬度對振幅有一影響區間為1.867～2.011。

(4) 軸承損傷深度的變化不會對轉子的運動特性造成影響。由于損傷的深度遠大于軸承游隙，滾珠通過損傷區域時，沒有產生擠壓變形，接觸力突變為零，所以損傷的深度變化不會對軸承的受力情況產生影響。

(5) 總體來講，軸承內外圈損傷故障對雙盤轉子振動幅值的影響在低速區間以及臨界轉速附近尤為明顯。

[1] 申中杰，陳雪峰，何正嘉，等. 基于相對特征和多變量支持向量機的滾動軸承剩余壽命預測[J]. 機械工程學報， 2013, 49(2):183-189.

SHEN Zhongjie, CHEN Xuefeng, HE Zhengjia, et al. Remaining life predictions of rolling bearing based on relative features and multivariable support vector machine[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(2):183-189.

[2] SUNNERSJ? C S. Varying compliance vibrations of rolling bearings[J]. Journal of Sound & Vibration, 1978, 58(3):363-373.

[3] TIWARI M, GUPTA K, PRAKASH O. Effect of radial internal clearance of a ball bearing on the dynamics of a balanced horizontal rotor[J]. Journal of Sound & Vibration, 2000, 238(5):723-756.

[4] SINOU J J. Non-linear dynamics and contacts of an unbalanced flexible rotor supported on ball bearings[J]. Mechanism & Machine Theory, 2009, 44(9):1713-1732.

[5] 陳果. 具有不平衡-碰摩耦合故障的轉子-滾動軸承系統非線性動力學研究[J]. 振動與沖擊，2008, 27(4):43-48.

CHEN Guo. Nonlinear dynamic study on a rotor-ball bearing system with unbalance-rubbing coupling fault[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(4):43-48.

[6] 陳予恕，張華彪. 航空發動機整機動力學研究進展與展望[J]. 航空學報，2011, 32(8):1371-1391.

CHEN Yushu, ZHANG Huabiao. Review and prospect on the research of dynamics of complete aero-engine systems[J]. Acta Aeronautical et Astronautica Sinica, 2011, 32(8):1371-1391.

[7] MC-FADDEN P, SMITH J. Model for the vibration produced by a single point defect in a rolling element bearing[J]. Journal of Sound & Vibration, 1984, 96(1):69-82.

[8] 張亞洲，石林鎖. 滾動軸承局部故障數學模型的建立與應用[J]. 振動與沖擊，2010, 29(4):73-76.

ZHANG Yazhou, SHI Linsuo. Establishment and application of mathematical models for roiling element bearings with localized faults[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(4):73-76.

[9] BRIE D. Modelling of the spalled rolling element bearing vibration signal: an overview and some new results[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2000, 14(3):353-369.

[10] 梁瑜，賈利民，蔡國強，等. 滾動軸承的非線性動力學故障模型研究[J]. 中國鐵道科學，2014, 35(1):98-104.

LIANG Yu, JIA Limin, CAI Guoqiang, et al. Research on nonlinear dynamics fault model of rolling bearing[J]. China Railway Science, 2014, 35(1):98-104.

[11] 陳果. 轉子-滾動軸承-機匣耦合系統中滾動軸承故障的動力學分析[J]. 振動工程學報，2008, 21(6):577-587.

CHEN Guo. Dynamic analysis of ball bearing faults in rotor-ball bearing-stator coupling system[J]. Journal of Vibration Engineering, 2008, 21(6):577-587.

[12] 張建軍，王仲生，蘆玉華，等. 基于非線性動力學的滾動軸承故障工程建模與分析[J].振動與沖擊，2010, 29(11):30-34.

ZHANG Jianjun, WANG Zhongsheng, LU Yuhua, et al. Nonlinear dynamic modeling for localized defects in a rolling element bearing[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(11):30-34.

[13] 關貞珍，鄭海起，王彥剛，等. 滾動軸承局部損傷故障動力學建模及仿真[J]. 振動、測試與診斷，2012, 32(6):950-955.

GUAN Zhenzhen, ZHENG Haiqi, WANG Yangang, et al. Fault dynamic modeling and simulating of rolling bearing with localized defect[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012, 32(6):950-955.

[14] 王強，劉永葆，徐慧東，等. 內圈故障滾動軸承系統周期運動的倍化分岔[J]. 振動與沖擊，2015, 34(23):136-142.

WANG Qiang, LIU Yongbao, XU Huidong, et al. Period-doubling bifurcation of a rolling bearing system with inner race fault[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(23):136-142.

[15] 沈松，鄭兆昌，應懷樵. 非對稱轉子-軸承-基礎系統的非線性振動[J]. 振動與沖擊，2004, 23(4):31-33.

SHEN Song, ZHENG Zhaochang, YING Huaiqiao. Nonlinear vibration of unsymmetrical rotor-bearing-foundation system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2004, 23(4):31-33.

[16] 白雪川. 航空發動機反向旋轉雙轉子系統動力學特性研究[D]. 天津：天津大學，2014.

[17] CHEN G. A new rotor-ball bearing-stator coupling dynamics model for whole aero-engine vibration[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2009, 131(6): 061009(1-5).

[18] 成玫，孟光. 含Alford力的非線性轉子-滾動軸承系統動力分析[J]. 中國機械工程，2011, 22(23): 2806-2812.

CHENG Mei, MENG Guang. Dynamic analysis of a rotor-ball bearing nonlinear system with alford force[J]. China Mechanical Engineering, 2011, 22(23): 2806-2812.

[19] 曹樹謙，王俊，韓研研，等. 耦合故障轉子系統的降維及動力學特性[J]. 天津大學學報(自然科學與工程技術版)，2015(4):318-327.

CAO Shuqian, WANG Jun, HAN Yanyan, et al. Dimension reductions and dynamic characteristics of rotor system with coupling faults[J]. Journal of Tianjin University (Science and Technology), 2015(4):318-327.

[20] FUKATA S, GAD E, KONDOU T, et al. On the radial vibration of ball bearings (computer simulation)[J]. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers C, 1984, 50:1703-1708.

[21] MEVEL B, GUYADER J. Routes to chaos in ball bearings[J]. Journal of Sound & Vibration, 1993, 162(3):471-487.

[22] 梅宏斌．滾動軸承振動監測與診斷[M]．北京：機械工業出版社，1996．