基于等效靜態載荷法的汽車前端結構抗撞性尺寸和形貌優化

陸善彬， 蔣偉波， 左文杰,3

(1. 吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室， 長春 130022; 2. 吉林大學 汽車工程學院， 長春 1300223. 吉林大學 機械科學與工程學院， 長春 130022)

汽車前端結構主要由保險杠、吸能盒以及前縱梁這3個組件構成，這3個組件是汽車正碰與偏置碰撞的主要吸能部件。李亦文等[1]對車身低速碰撞吸能盒進行了優化設計，譚麗輝等[2]對帶有圓弧形凸槽金屬薄壁圓管進行抗撞性優化設計，曹立波等[3]對保險杠橫梁進行輕量化設計與優化，以上研究并未對以上3個組件一起進行抗撞性優化研究。

由于汽車碰撞分析是涉及幾何非線性、材料非線性的和邊界條件非線性的動力學時域問題。目前對該類問題的優化設計主要采用代理模型方法，其步驟為：首先需要試驗設計采取樣本;然后采用多項式響函數或徑向基函數等建立響應面[4];最后采用遺傳算法或者粒子群方法等求解該響應面。代理模型的不足之處是精度不易保證，除非增加樣本的數量，或者采用序列響應面法[5]來提高精度，但是這樣會使代理模型的計算量大幅增加。

Park等[6]于2001年提出了等效靜態載荷法(Equivalent Static Loads Method, ESLM)，將瞬態非線性碰撞優化問題轉化為靜態多工況優化問題，靜態問題可由基于梯度信息的序列線性規劃或者準則法進行求解，ESLM在瞬態非線性優化領域得到了快速的發展，并集成到Optistruct軟件中。陳濤等[7]采用該方法優化了拼焊管和汽車B柱碰撞問題；賀新峰等[8]利用該法研究了攪拌車副車架疲勞設計；芮強等[9]利用該法對曲柄連桿機構進行了優化設計。

本文擬采用ESLM對汽車結構的3個組件進行抗撞性優化，除了考慮常規的板厚尺寸設計變量以外，還考慮了有限元節點坐標的形貌變量，使得薄壁結構件的碰撞優化有了更大的設計空間，更利于改善碰撞性能。節點坐標的形貌變量數量龐大，以至于無法對其進行試驗設計采取樣本，所以代理模型不適合求解形貌優化問題，這也是本文采用ESLM荷進行求解的原因之一。本文優化模型的目標函數是汽車前端結構的質量，設計變量是板厚尺寸與節點坐標形貌，約束是侵入量以及加筋的沖壓工藝要求。

1 非線性靜態響應結構優化

1.1 抗撞性優化設計

抗撞性優化方法的數學模型如下

抗撞性優化的約束多依賴于時間，如式(2)所示。所有與時間相關的約束個數為q×l，約束的增加和時域密切相關。此外計算靈敏度考慮增量步是極其困難的。因此很少進行大規模非線性動態響應結構優化。

式(2)的第一式為碰撞分析的控制方程，阻尼矩陣影響節點的速度，質量矩陣影響節點的加速度。車輛結構的抗撞性意味著吸收碰撞能從而保證駕駛員和乘客的安全。抗撞性優化的目標是在滿足汽車結構的抗撞性約束前提下從而實現汽車結構的輕量化。本文為了實現這一目標，約束保險桿和前縱梁的侵入量，使在低速正碰下碰撞能主要由保險杠和吸能盒吸收。

1.2 ESLM理論

ESLM的定義如下[10]：線性靜態分析中的結構靜態載荷產生的響應與相應時間步動態非線性分析產生的響應相同。在用ESLM進行優化時，將時域[0,t]離散成q個時間點，由此獲得的等效靜態載荷數量為q，進行等效靜態響應分析的工況數量也是q。

在有限元理論中，碰撞分析非線性方程如式(2)的第一式所示。根據以上對于對ESLM的定義，基于位移的等效載荷的計算如下

fzeq(s)=KL(b)ZN(t),s=s0,s1,…,sq

(3)

式中：fzeq為基于位移的等效靜態載荷矢量，下標L表示線性分析，記號s和式(1)中的t嚴格對應。fzeq(s)為線性剛度矩陣KL(b)與非線性分析的位移矢量ZN(t)的乘積。如式(4)得到的fzeq(s)用于線性靜態分析的外載荷。

KL(b)ZL(s)=fzeq(s)

(4)

式中:每一靜態工況下得的到位移矢量ZL(s)與對應時刻節點的動態非線性位移矢量ZN(t)相等。如果把等效載荷fzeq(s)作為線性靜態響應優化的多個外載荷工況，那么基于ESLM的線性靜態響應優化設計能夠得到與非線性動態響應優化相同的位移響應。同樣，線性靜態響應優化中的設計變量、目標函數和約束條件等都與非線性動態響應中的相等。

1.3 靈敏度分析

對于一般的線性分析，基于梯度的優化是最有效的方法。如果不能有效地執行，和原來的響應分析相比靈敏度分析會花費更長的時間。靈敏度分析包含直接解析法和伴隨變量法兩種方法[11-12]。對于有限元分析方程如下

Ku=P

(5)

式中：K為剛度矩陣；u為單元節點位移向量；P為單元節點載荷向量。等式兩邊對設計變量xi求偏導

(6)

當外載荷P不隨設計變量改變時,得到位移矢量的靈敏度解析公式

(7)

位移對每個設計變量求導的前推回代需要花費大量的時間。直接采用上述方法求解叫做直接法，這種方法需要對每個設計變量前推回代。如果約束條件應用于多個載荷工況，則需對每個工況前推回代。

在伴隨變量靈敏度分析中，位移的第j個響應uj可以表達為位移向量u的函數

(8)

式中：Qj為伴隨載荷向量；Qj中第j個元素為1，其余的都為零。

Qj=[0,0,…,0,1,0,…,0,0]T

(9)

位移響應uj對第i個設計變量xi的偏導數為

(10)

Qj為恒定的向量，所以

(11)

將式(7)和式(11)代入式(10)，得

(12)

以上方法為伴隨變量法，當使用伴隨變量法進行靈敏度分析時，伴隨位移和伴隨載荷的數量和設計變量數量無關，前推回代的次數為響應的個數。

直接法適合于設計約束較多而設計變量較少的優化問題，如形狀優化和尺寸優化的靈敏度求解。對于設計約束較少而設計變量很多的優化問題，如拓撲優化和形貌優化，可采用伴隨變量法。

2 汽車前端結構碰撞算例

2.1 基于ESLM汽車前端優化流程

ESLM優化過程分為兩個模塊：分析域和設計域。分析域進行碰撞非線性分析，得到結構的位移響應，并將得到位移響應用于計算等效靜態載荷。設計域將得到的等效靜態載荷作為邊界條件進行靜態線性優化，并將的得到的結果代回分析域重新計算。基于等效靜態加載法的優化流程，如圖1所示。

步驟1： 設置初始設計變量(每個部件的厚度尺寸和形貌優化區域網格節點位置)和優化參數(循環次數：k=0，設計變量bk=b0)。

步驟2： 根據設計變量bk對汽車前端結構進行碰撞分析，得到前端結構節點位移響應。

步驟3： 根據步驟2得到的位移響應計算位移的等效靜態載荷。

步驟4： 根據ESLM將前端結構正碰過程轉化為靜態多工況問題，利用伴隨變量法求解靈敏度信息，序列線性規劃求解優化問題。

步驟6： 更新設計變量，令k=k+1，轉入步驟2。步驟2～步驟6為一個循環，重復這個循環直到收斂條件滿足。

步驟1～步驟3為分析域，進行碰撞非線性分析。步驟4～步驟6為設計域，進行靜態線性響應優化。

2.2 優化模型參數

汽車發生低速正面碰撞時，碰撞產生的動能主要由車輛前部吸能部件來充分吸從而減少對整車的損壞。某轎車前端結構碰撞模型，如圖2所示。模型包括保險杠、吸能盒以及前縱梁3個組件，其中每個組件都由若干個部件組成，模型單元總數為13 255，節點總數為13 922。考慮到前部結構的左右對稱性，將對稱部件歸為一個部件，部件共有14個，并將每個部件的厚度作為一個設計變量進行尺寸優化。由于該模型前縱梁前端內板和外板比較規則，對其進行形貌優化，在其表面生成肋從而提高其抗撞性能。設計變量的定義具體，如圖3所示。在本算例中，汽車前端低速碰撞的分析條件為：約束前縱梁后端所有節點的6個自由度；剛性墻以15 km/h的初速度對汽車前端結構進行碰撞，其中剛性墻質量為1 300 kg的整車質量；碰撞模型總共分析的時間為100 ms。

圖1 基于ESLM的優化設計流程

圖2 汽車前端結構有限元模型

圖3 定義設計變量

該優化問題的數學模型如下

式中：目標函數mass為整個汽車前端結構質量；每個部件厚度Ti為尺寸設計變量，初始值為原始厚度；對前縱梁前端內板和外板進行形貌優化，形貌優化設計變量為節點坐標，其數量為1 485，節點坐標向量的初始值Z0為原始的坐標位置，PVi為第i個網格節點xi的攝動向量；為了滿足沖壓工藝的要求，形貌優化肋的最大高度HGT為10 mm，肋的最小寬度MW為25 mm，肋的拔模角度ANG為600，肋的定義，如圖4所示。

圖4 形貌優化中肋的定義

根據RCAR法規中低速碰撞評價指標[13]，設置兩個約束條件：如圖2，約束節點200 798個沿x方向最大位移d1<150 mm，以防止保險杠侵入量過大從而導致散熱器受到接觸擠壓變形；約束節點206 673個和節點75 364個x方向最大位移di<10 mm，以防止前縱梁在低速正碰變形過大而出現永久性損傷。以上2個約束可減少低速正碰下汽車的維修成本。在該算例中選取100個時間步計算等效靜態載荷，并用這100個等效靜態載荷作為100個靜態工況進行線性靜態響應優化。

2.3 優化結果分析

利用ESLM對該問題進行優化，前端結構優化前后的模型在碰撞最后時刻整體和局部的變形，如圖5和圖6所示。從圖可知，在優化前縱梁前端內板變形較大，局部被壓潰，出現了永久性損傷。在優化后壓潰主要發生在吸能盒部分，前縱梁變形很小沒有出現壓潰現象，從而保證了前縱梁在低速碰撞時前縱梁不被壓潰破壞，滿足優化的約束條件。

圖5 優化前變形

圖6 優化后變形

圖7和圖8分別給出了前縱梁前端外板和內板形貌優化前后肋的分布，從圖可知，肋呈現“凸”型分布，肋的最大高度為10 mm。圖9給出了優化前后模型的碰撞力曲線，優化后模型最大碰撞峰值力從166.3 kN減小到121.8 kN。圖10和圖11分別給出了d1和d2在優化前后的位移歷程。從圖可d1在優化前后最大位移分別為136.47 mm和147.86 mm滿足約束的要求；d2在優化前后最大位移分別為20.07 mm和5.76 mm，優化前最大位移超過約束的上界8 mm，優化后滿足約束條件。

(a)優化前(b)優化后

圖7 外板肋的分布

圖8 內板肋的分布

Fig.8 Rib distribution of inner plate

圖9 碰撞力曲線

圖10 侵入量d1比較

圖11 侵入量d2比較

目標函數歷程曲線，如圖12所示。從圖12可知，經過9次外循環迭代收斂，在滿足約束的條件下目標函數質量減輕了7.03%。圖13和圖14分別給出了d1和d2的迭代歷程曲線，從圖可知，在最后一次迭代d1和d2滿足約束條件，從而保證在低速正碰時前縱梁和散熱器不受永久性損傷，進而減少低速正碰汽車的維修成本。表1給出了優化前后設計變量和侵入量的變化，從表1可知，汽車前端部件的厚度在滿足約束的條件下得到了最優解，以及在汽車前縱梁前端增加肋，這樣更有利于提高汽車前端結構的抗撞性。

圖12 汽車前端結構目標函數歷程曲線

圖13 d1的迭代歷程曲線

圖14 d2的迭代歷程曲線

設計變量與響應優化前/mm優化后/mmT11．401．53T21．601．49T31．400．74T42．300．50T51．802．27T61．801．28T71．602．01T82．602．80T91．602．85T102．602．22T111．402．37T122．001．01T132．000．66T141．200．50HGT010MW025ANG0600侵入量d1136．47147．86侵入量d220．075．76總質量/kg22．4920．91

3 結 論

(1) 本文對轎車前端結構，含保險杠、吸能盒以及前縱梁，進行了抗撞性尺寸和形貌優化設計，除了傳統的鈑金件的厚度尺寸優化，其加筋結構形貌優化設計也為轎車前端薄壁結構的碰撞優化提供了巨大的設計空間，是今后薄壁結構輕量化的重要途徑之一。

(2) ESLM將瞬態非線性碰撞優化問題轉化為靜態多工況優化問題。文中數值算例僅迭代9次即可得到最優解，和優化前相比前端結構質量減輕7.03%，且碰撞性能得到提升。由此證明ESLM可高效地求解碰撞優化問題，并得到高精度的解。

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