基于Mindlin理論的功率超聲縱彎諧振變幅器設計理論與實驗研究

付俊帆， 秦慧斌， 呂 明

(1.中北大學 先進制造技術山西省重點實驗室，太原 030051； 2.太原理工大學 精密加工山西省重點實驗室，太原 030024)

功率超聲縱彎諧振變幅器是一種新型復合振動模式的變幅器。該變幅器由變幅桿和環(huán)盤負載組成，變幅桿的縱向振動激勵環(huán)盤負載作節(jié)圓型橫向彎曲振動，實現兩種不同振型的復合。在旋轉超聲加工領域，縱彎諧振變幅器將軸向超聲振動引入刀具的旋轉加工運動，可降低宏觀切削力與切削熱，具有精度高、效率高、成本低等優(yōu)勢[1]；在超聲清洗、超聲換能器等聲學應用領域，縱彎諧振變幅器的環(huán)盤負載由于輻射面積大、功率大、帶寬大等特點，相比于縱振換能器具有較高的聲輻射效率[2]；此外，縱彎諧振變幅器在金屬疲勞檢測領域中亦有研究與應用[3]。縱彎諧振變幅器作為超聲諧振系統(tǒng)的關鍵，其設計理論對超聲加工、超聲處理等應用具有重要影響。

自從變幅桿與階梯圓盤組成的縱彎諧振變幅器由Barone等[4]提出之后，其振動特性與設計方法便一直得到研究人員的關注。Gallego-Jurez等[5-6]基于有限元法設計了圓盤、階梯盤、矩形板等不同形狀負載的縱彎諧振變幅器，并利用其振動特性和聲學特性設計了多種聲學裝置。He等[7]利用有限元法研究了變幅桿激勵面積對矩形板諧振頻率、振動節(jié)線、振型等振動特性的影響。類似地，Ning等[8]利用有限元法分析了變幅桿振動頻率對階梯圓盤振動特性的影響。同樣基于有限元法，Yamamoto等[9]設計了一種具有縱彎諧振模式的Tonpilz水聲換能器，擴大了換能器帶寬。在此基礎上，Kim等[10-11]將回歸分析與有限元法相結合，對縱彎諧振模式的Tonpilz水聲換能器進行了優(yōu)化設計，進一步擴大了帶寬范圍。

雖然有限元法是一種有效的變幅器設計方法，但多用于驗證變幅器的振動特性，其設計周期較長，效率較低，需要提出一種理論設計方法來代替。Lin[12]基于等效電路法對薄圓盤負載的縱彎諧振變幅器進行了振動特性的分析，其諧振試驗結果與的理論結果相吻合。王時英等[13]將齒輪簡化為薄圓盤，采用力耦合的方法建立了變幅器振動模型，提出了超聲珩齒變幅器設計方法。而呂明等[14]在此基礎上將齒輪簡化為中厚板環(huán)盤，既擴大了振動模型對齒輪的適用范圍，也提高了設計精度。上述研究中的變幅器均采用單一材料，試驗中所使用的環(huán)盤負載均為等厚度環(huán)盤。而在實際情況中，變幅器可能是由多種材料組成，環(huán)盤負載也多為階梯環(huán)盤結構。如常見的變幅桿材料有鋁、鈦、鋼等多種合金；珩磨輪是由鑄鐵輪轂、膠木腹板、樹脂及磨料的輪緣組成的階梯環(huán)盤；在實際加工中，車間工人不僅會將砂輪加工成階梯環(huán)盤形狀以便適應加工零件形狀，也會在砂輪上安裝鋼制法蘭以便安裝。

本文將多材料因素考慮進變幅器的振動模型中，選擇階梯環(huán)盤作為負載，并將其視為三個等厚度環(huán)盤的組合體，基于Mindlin理論分析環(huán)盤單元橫向彎曲振動的橫向位移、轉角、彎矩和剪力。根據環(huán)盤單元和變幅桿的連續(xù)條件和邊界條件，建立縱彎諧振變幅器的振動模型與頻率方程，并開發(fā)相應的設計軟件。通過有限元模態(tài)分析和阻抗分析試驗對該設計方法的準確性進行驗證，為縱彎諧振變幅器的設計提供一種思路與手段。

1 縱彎諧振變幅器數學模型

縱彎諧振變幅器由變幅桿和環(huán)盤負載組成，本文以圓錐變幅桿和三階梯環(huán)盤為例，其結構如圖1所示。三階梯環(huán)盤由不同材料的環(huán)盤1、2、3組成，三個環(huán)盤的中性面為同一平面。階梯環(huán)盤中心孔與變幅桿芯軸過渡配合，并通過緊固螺母剛性連接。忽略鍵槽、圓角和倒角等微小結構對振動的影響。緊固螺母與變幅桿芯軸的尺寸相對變幅器較小，故在理論分析中忽略。

以變幅桿大端中心點為原點，以變幅桿中心軸線為z軸，建立如圖1所示的(r,θ,z)圓柱坐標系。R1、R2分別表示圓錐變幅桿大端、小端半徑，L表示變幅桿長度。R3、R4、R5分別表示環(huán)盤1、2、3的內徑，R6表示環(huán)盤3的外徑。t1、t2、t3分別表示環(huán)盤1、2、3的厚度。由于變幅桿和各個環(huán)盤的材料不盡相同，故分別以ρ1、ρ2、ρ3和ρ4表示環(huán)盤1、2、3和變幅桿的密度，E1、E2、E3和E4表示環(huán)盤1、2、3和變幅桿的彈性模量，μ1、μ2、μ3表示環(huán)盤1、2、3的泊松比。

圖1 縱彎諧振變幅器結構示意圖

當變幅器作縱彎諧振時，變幅桿作縱向振動，其縱向位移ξ的解析表達式為

(1)

其中，圓波數k=ω/c，圓頻率ω=2πf，變幅桿的縱波波速c=(E4/ρ4)1/2，C1、C2為由邊界條件確定的待定常數。

Mindlin理論主要解決中厚板動力學問題，但也兼容薄板理論。基于Mindlin理論分析環(huán)盤振動，既擴大了環(huán)盤模型的適用范圍，也可以提高計算精度。當變幅器作縱彎諧振時，環(huán)盤單元在縱振變幅桿的激勵下作橫向彎曲振動。由文獻[15]可知，單個環(huán)盤的徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的表達式為

(2)

(3)

式(3)中

(4)

其中，Aji、Bji(j=1,2；i=1,2,3)為環(huán)盤i的由邊界條件確定的待定常數，Jn(·)、Yn(·)分別為第一類、第二類貝塞爾函數。在超聲處理或超聲加工中，為了獲得較好的聲輻射特性或加工效果，通常使環(huán)盤負載作節(jié)圓型橫向彎曲振動，即節(jié)徑數為零[16]。因此n=0，式(3)可簡化為

(5)

將式(5)代入式(2)，可得徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的解析表達式為

(6)

當變幅器作縱彎諧振時，變幅桿大端在換能器的作用下縱向振動，應力為零，故有自由邊界條件

(7)

變幅桿小端與環(huán)盤負載通過緊固螺母連接，近似剛性連接，故在z=L、r=R2處變幅桿與環(huán)盤1接觸的環(huán)形面上存在有沿z軸方向的力與位移的連續(xù)條件；由于環(huán)盤無徑向轉動，故在r=R3處，環(huán)盤1的徑向轉角βr1為零，即

(8)

環(huán)盤2分別與環(huán)盤1在r=R4處，和環(huán)盤3和r=R5處滿足橫向位移wi、徑向轉角βri、徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的連續(xù)條件

(9)

環(huán)盤3外緣為自由邊界條件，故有

(10)

將式(1)和式(5)、(6)代入式(7)～(10)并整理，可得如下的齊次方程組

Δ14×14ζ14×1=014×1

(11)

其中

(12)

ζ14×1=[C1C2A11A21B11B21A12A22B12B22A13A23B13B23]T

(13)

Dpq(p,q=1,2,3,…,14)均為待定常數Aji、Bji、Cj(j=1,2；i=1,2,3)的系數，由變幅器的尺寸參數、材料系數和設計頻率決定。當待定常數不全為0時，其充要條件為

Δ14×14=0

(14)

式(14)即為縱彎諧振變幅器的頻率方程。當已知變幅器的尺寸和組成材料及其材料性能參數時，可根據頻率方程求出變幅器的縱彎諧振頻率。反之，當確定了設計縱彎諧振頻率，并根據工程需要確定了變幅器的組成材料和除設計尺寸之外的其他尺寸時，可由頻率方程求出設計尺寸。

通過改變各個環(huán)盤的材料參數與尺寸參數，可以實現不同類型的環(huán)盤負載的變化。如，當三個環(huán)盤的材料參數相同時，環(huán)盤負載成為單一材料的環(huán)盤；當相鄰的兩個或三個環(huán)盤的厚度相同時，環(huán)盤負載成為等厚度環(huán)盤。

2 縱彎諧振變幅器設計軟件

基于MATLAB/GUI開發(fā)了如圖2所示的縱彎諧振系統(tǒng)設計軟件，設計尺寸為變幅桿長度L。該軟件采用數值法求解頻率方程，以固定步長計算并繪出L-Δ的曲線圖(如圖3)，曲線與橫坐標軸的交點即為求解結果。軟件的流程圖如圖4所示。

圖2 縱彎諧振變幅器設計軟件

圖3 L-Δ求解曲線

圖4 設計軟件流程圖

由軟件流程圖可知，該軟件主要由人機交互界面和求解函數兩部分構成。人機交互界面為設計人員提供一個簡潔直觀的操作與顯示界面，用戶只需對按鈕、輸入框、下拉菜單等對象進行操作即可完成各種程序命令。軟件的計算功能由求解函數完成，用戶輸入的數據由人機交互界面?zhèn)鬟f給求解函數，求解函數將計算結果返回給人機交互界面，并由人機交互界面顯示求解結果與求解曲線。該軟件降低了變幅器設計對設計人員的理論水平的要求，可縮短設計時間，提高設計效率。

3 試 驗

3.1 有限元模態(tài)分析與阻抗分析試驗

為驗證上述的縱彎諧振變幅器設計理論，利用縱彎諧振變幅器設計軟件設計了三個縱彎諧振變幅器。變幅器1由45鋼變幅桿與黃銅H62階梯環(huán)盤組成，設計頻率為24 kHz；變幅器2由45鋼變幅桿和灰鑄鐵HT200的階梯環(huán)盤組成，設計頻率為22 kHz；變幅器3由45鋼變幅桿和磨料濃度為100%的鋁基酚醛樹脂結合劑金剛石砂輪組成，設計頻率為21 kHz。各個變幅器的材料結構如表1所示，其中“—”表示不存在該結構。各個材料的性能參數如表2所示。變幅桿長度L為設計尺寸，由設計軟件計算求出，其他變幅器尺寸均為已知尺寸。變幅器已知尺寸、設計頻率和設計尺寸理論結果如表3所示。

根據上述參數在SolidWorks中建立相應的縱彎諧振變幅器模型，導入至有限元分析軟件ANSYS中。粘結實體后，設置材料屬性并用Solid 95單元對不同實體進行5級精度的智能網格劃分。有限元模態(tài)分析采用Block Lanczos法，提取20～25 kHz的變幅器諧振模態(tài)。變幅器的縱彎諧振振型如圖5所示，縱彎諧振頻率如表4中fA行所示。

表1 縱彎諧振變幅器的材料結構

表2 材料性能參數

表3 縱彎諧振變幅器尺寸參數與設計頻率

(a)變幅器1在23422Hz的振型(b)變幅器2在21765Hz的振型

(c) 變幅器3在20 076 Hz的振型

根據表3加工了45鋼變幅桿、黃銅H62階梯環(huán)盤和灰鑄鐵HT200階梯環(huán)盤，購置了酚醛樹脂金剛石砂輪。通過緊固螺母分別裝配為變幅器1、2、3(如圖6)。通過螺紋將變幅器與超聲換能器連接在一起，并在連接面上涂抹凡士林填充兩者之間的微小間隙，減小超聲波在連接面的反射損失。用導線將阻抗分析儀PV70A與超聲換能器相連接(如圖7)，利用相應軟件測量變幅器的縱彎諧振頻率，測量結果如表4中fE行所示，導納圓曲線和幅相特性曲線分別如圖8、圖9所示。

(a)變幅器1(b)變幅器2

(c) 變幅器3

圖7 變幅器阻抗分析試驗

變幅器123設計頻率fD/Hz240002200021000仿真頻率fA/Hz234222176520076試驗頻率fE/Hz235872229922376仿真誤差ΔA/%2．412．184．40試驗誤差ΔE/%1．721．366．55

表4中，fD為縱彎諧振變幅器的設計頻率；ΔA=fA-fD/fD，為有限元模態(tài)分析頻率與設計頻率的誤差；ΔE=fE-fD/fD，為阻抗分析試驗測得的頻率與設計頻率的誤差。

由表4可知，仿真頻率的最大誤差為4.40%，試驗頻率的最大誤差為6.55%。因此有限元仿真和阻抗分析試驗得到的縱彎諧振頻率結果與設計頻率基本一致，證明了上述的縱彎諧振變幅器設計方法對工程設計具有一定的參考意義。

圖8中三個變幅器的導納曲線都呈現較完整的單圓，說明所測諧振頻率準確，換能器與變幅器的阻抗匹配較好。但依然有局部的導納曲線和幅相特性曲線出現畸變，可能是因為變幅器裝配質量不佳導致變幅器的機械損耗較大，致使動態(tài)電阻較大。這一點從變幅器1和2的導納圓的半徑均較小中也能得到驗證。因此，在裝配時需要在接觸面上涂抹凡士林，并多次調試安裝變幅器，減小機械損耗，提高阻抗匹配性能。

造成變幅器的仿真誤差和試驗誤差的因素，可能有以下三點：

(1) 在振動模型中忽略了螺母，而在實際情況中螺母對變幅器的剛度與質量具有影響，從而影響諧振頻率。

(2) 螺母的預緊力對諧振頻率也有一定影響[17]。振動模型中，變幅桿與環(huán)盤負載通過緊固螺母實現近似剛性連接，其前提條件為螺母預緊力足夠大。而在試驗中，螺母預緊力可能不足，影響變幅器剛度。

(3) 由于超聲振動在不同材料的邊界上會發(fā)生不同程度的反射，從而造成損耗、噪聲、阻抗失配等問題，最終影響了變幅器的縱彎諧振頻率的設計誤差。

因此在變幅器理論設計后，可利用有限元法將上述影響考慮進來，進一步修正縱彎諧振變幅器的設計尺寸。

3.2 超聲諧振試驗

利用變幅器3和頻率為20 kHz的ZJS-2000型超聲波發(fā)生器進行了超聲諧振試驗，試驗裝置如圖10所示。變幅器和換能器通過螺紋分別與傳振桿的上下端相連。傳振桿的法蘭位于振動節(jié)點處，通過細牙螺栓固定在試驗臺上。換能器通過電纜與超聲發(fā)生器相連。

(a) 變幅器1的導納曲線

(b) 變幅器2的導納曲線

(c) 變幅器3的導納曲線

在砂輪表面均勻撒上碳化硅顆粒，啟動超聲發(fā)生器，調節(jié)調頻螺絲。當超聲發(fā)生器上顯示的振動頻率為fR=21 212 Hz時，碳化硅顆粒聚集為一個直徑為122.3 mm的圓環(huán)，如圖11所示。該現象證明了砂輪正在作節(jié)圓型橫向彎曲振動，振動節(jié)線為圓形，與圖5(c)中環(huán)盤負載的振型一致。該諧振頻率fR與變幅器3的縱彎諧振設計頻率fD=21 000 Hz相差212 Hz，試驗誤差為ΔD=fR-fD/fD=1.01%。該試驗證明了通過縱彎諧振變幅器設計方法設計的變幅器能夠達到較為理想的縱彎諧振效果。

(a) 變幅器1的幅相特性曲線

(b) 變幅器2的幅相特性曲線

(c) 變幅器3的幅相特性曲線

圖10 超聲諧振試驗裝置

圖11 諧振頻率為21 212 Hz時的圓形振動節(jié)線

4 結 論

本文提出了一種多材料的縱彎諧振變幅器的設計方法，基于Mindlin理論分析了環(huán)盤單元的橫向彎曲振動，通過振動單元之間的連續(xù)條件和邊界條件建立了縱彎諧振變幅器振動模型并推導了振動方程，利用MATLAB/GUI開發(fā)了變幅器設計軟件。有限元模態(tài)分析、阻抗分析試驗和超聲諧振試驗的結果表明：

(1) 基于Mindlin理論的縱彎諧振變幅器設計方法具有較好的設計精度，能兼容薄環(huán)盤和中厚環(huán)盤負載，可為多材料的縱彎諧振變幅器的設計提供參考。

(2) 縱彎諧振變幅器設計軟件可為設計人員提供一種簡潔直觀的設計手段，可降低理論設計的門檻，提高設計效率。

(3) 螺母、預緊力和不同材料界面上的超聲反射對諧振頻率存在影響，可在理論設計的基礎上用有限元法進一步修正設計參數。

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