應用圖形計算器培養學生直觀想象素養*
——以《二次函數的圖像與性質》為例

☉廣東省中山市華僑中學 陳春濤

二次函數的圖像與性質是《義務教育教科書九年級上冊·數學》第二十二章中的教學內容，《義務教育數學課程標準》（2011年版）對本內容的要求是“會用描點法畫出二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的頂點坐標，說出圖像的開口方向，畫出圖像的對稱軸.通過配方法將二次函數化為y=a（x－h）2+k的形式，并通過對圖像的平移，理解各種不同表達形式的二次函數性質，并能解決簡單實際問題.”

二次函數的性質比較抽象，若單純從“數”的角度去理解比較困難，在教學中多借助圖像來幫助研究，而用描點法畫二次函數的圖像比較耗時，借助HP-prime圖形計算器可以大大減少作圖時間，使得從“形”的角度研究二次函數的性質變得更容易.

一、教學實錄

（一）直觀感知，體會函數圖像的對稱性與增減性

【課堂片段實錄】

師：同學們已經按照實驗單完成了對應操作，大家覺得y=x2的圖像與一次函數的圖像有什么不同？

生1：一次函數的圖像是一條直線，而二次函數y=x2的圖像則是一條曲線.

生2：不僅是曲線，而且它還是軸對稱圖形.

生3：我覺得這條曲線很像秋千.

師：同學們描述得很準確，也很形象，如果把圖形計算器上下顛倒，可以發現這段曲線就像是向上拋出的物體在空中運動的軌跡，我們把這樣的曲線叫做拋物線.

師：剛才的同學觀察到拋物線是軸對稱圖形，它的對稱軸是哪條直線？

生：y軸.

師：y軸也可稱為直線x=0.通過觀察圖像可發現拋物線是軸對稱圖形，從列表中可以發現這一特點嗎？請大家進入圖形計算器的數字視圖，觀察對應的x、y值，你能從“數”的角度驗證這一結論嗎？

……

師：回答得很好，能夠類比一次函數來得到二次函數的增減性，這種方法是我們學習新知識時常見的方法.除觀察圖像外，你們能從數字視圖的表格中觀察出同樣的結論嗎？

……

【分析】傳統的描點法作圖存在以下缺點：一是花費的時間較長.不使用坐標紙，規范地作一個二次函數圖像約需5分鐘，如果想觀察圖像的平移，所花時間更多.二是作圖范圍較窄.在y=ax2的圖像中，比較適合課堂作圖的只有a=±1、±2、±等有限的幾個函數，系數的絕對值略大或系數略復雜（如系數為無理數）就不便于描點.三是作圖不準確.特別是第一次作二次函數圖像時，許多學生對“用平滑的曲線連接各點”不能理解，對二次函數的圖像的形狀也心存疑慮.

使用圖形計算器可以有效地解決以上問題，只要輸入函數解析式，在另外兩種視圖中就能清晰看到列表的結果和函數的圖像，既直觀又形象，省時省力高效，有利于學生直觀理解二次函數的圖像形狀，有利于培養學生的直觀洞察能力.

（二）直觀對比，感悟二次項系數對圖像的影響

【課堂片段實錄】

師：同學們輸入了這些系數不同的二次函數，它們的圖像形狀與y=x2一樣嗎？是否依然是軸對稱圖形？對稱軸是否依然是y軸？頂點坐標變了沒有？增減性有沒有變化？

……

師：實驗單上同桌兩人輸入的函數，唯一的不同就是系數互為相反數，你們通過同桌比較，有沒有發現系數不同令圖像發生了什么變化？

生1：我發現我畫出的圖像開口都是向上的，而同桌畫出的圖像開口都是向下的：所以我猜想，a的符號應該決定著圖像的開口方向.

生2：我把圖形計算器上下顛倒，發現和我同桌的圖像完全一樣了，我猜想是否系數互為相反數的兩個函數圖像關于x軸對稱，于是我就輸入了y=3x2和y=－3x2這兩個函數，發現它們真的關于x軸對稱.

師：你是通過觀察圖像猜測的嗎？有沒有從數的角度觀察過？請把圖形計算器調整到數字視圖狀態，再觀察看看.

生2：老師，我發現這兩個函數當x值相同的時候，它們的函數值互為相反數，如果把這些坐標描在坐標系中，它們正好關于x軸對稱.所以，對于y=ax2，當二次項系數a互為相反數時，它們的圖像關于x軸對稱.

師：同學們觀察得很仔細，二次項系數a除了對圖像的開口方向產生影響，比較你們所畫的四個圖像，還有什么發現嗎？

生1：我發現我畫出的四個函數圖像盡管開口方向相同，但開口的大小不一樣，開口最大的是y=x2，開口

最小的是y=20x2，通過觀察，我覺得二次項系數越大，則開口越小.

生2：我覺得這名同學概括的不準確，因為我畫出的圖像，開口最大的是y=－x2，開口最小的是y=－20x2，而－>－20，如果按照剛才那名同學的結論，y=－x2的圖像開口應該最小，可實際上它的開口卻是最大的.所以我覺得應該概括為“二次項系數的絕對值越大，開口越小”.

【分析】用傳統方式是很難畫出y=20x2的圖像的，也很難準確畫出y=0.76x2的圖像，圖形計算器則可以很方便地描繪出圖像，從而讓學生直觀感知函數圖像的形態與變化.具體而言，學生對比自己所畫的圖像，可以對二次項系數a決定圖像開口大小更直觀的理解.而通過與同桌描繪的圖像對比，學生可以直觀理解二次項系數a對圖像開口方向的影響.直觀對比讓圖像特征更易被理解、被發現.

（三）直觀變換，理解二次函數圖像的平移規律

【課堂片段實錄】

師：學習一次函數時我們知道，y=kx+b的圖像可以由正比例函數y=kx上下平移得到，那么如果將y=ax2的圖像上下左右平移，函數的解析式又會發生怎樣的變化呢？請大家分享自己數學實驗中的發現.

生1：我把函數圖像上下拖動時，發現后面的常數項在對應變化，向上拖動時，常數項越來越大，向下拖動時，常數項越來越小，我猜想：把二次函數圖像向上平移時，常數項的數值會對應的增加，向下平移時，常數項的數值會對應減小.

生2：我把函數圖像左右拖動時，發現x的值在不停的變化，向右平移時，它所減的數字越來越大，向左平移時，它居然顯示的是減去負數，越往左，減去的負數的絕對值就越大.

師：你們觀察的很仔細，表述的也很準確，特別是第二名同學，觀察到圖形計算器在左右平移時顯示的方法是減去一個數，如果把它化簡，減去負數就變為了加上正數，我們可以把它概括為“左右平移時改變自變量x的值，向右平移時，減去對應的數值，向左平移時，加上對應的數值，簡單概括為左加右減”.上下平移時可以怎樣概括呢？

生1：老師，我可以把剛才的發現概括為“上下平移時改變常數項的值，具體方法是上加下減”.

師：概括很準確，函數y=ax2上下平移可得到解析式y=ax2+k，k值變化規律為上加下減；函數y=ax2左右平移可得到解析式y=a（x－h）2，－h的變化規律為左加右減.

生3：老師，我有一個疑問，為什么左右平移得到的解析式為y=a（x－h）2，而不是y=a（x+h）2呢？

師：這名同學很細心，可能也有同學在奇怪為什么圖形計算器上出現“減去負數”這樣的表示方法.解答這個問題之前，請同學們觀察y=ax2+k和y=a（x－h）2的對稱軸、頂點、增減性與y=ax2是否相同.

……

師：通過前面的操作以及填寫實驗結論，同學們應該已經發現二次函數y=a（x－h）2+k的圖像可由y=ax2的圖像平移得到，對應的，其頂點坐標也從（0，0）平移至（h，k），y=a（x－h）2+k的這種表達形式也因此被稱為頂點式.如果將解析式寫成y=（x－h）2+k，則其對稱軸為x=h，若寫成y=（x+h）2+k，則對稱軸應為x=－h，故為了表示頂點坐標的方便，我們將解析式表示為y=a（x－h）2+k的形式.實質上，“h”與“－h”都是既可表示正數，又可表示負數.所以，圖形計算器上出現了“減負數”這種狀態.

【分析】在二次函數平移的教學中，用描點法繪制如圖1所示的圖像約需十幾分鐘，且在比較幾個圖像時，會感覺這些圖像的底部間隔較大，而頂部間隔則較小，從直觀上感覺平移后不重合，因此容易形成學生的認知困惑.

使用圖形計算器直接用手拖動著同一圖像平移（圖2），同時還可動態觀察下方顯示的解析式變化情況，這種直觀變換可以避免學生產生視覺干擾，促進學生對動態規律的直觀理解.這種借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知，即可稱之為“幾何直觀”.

圖1

圖2

（四）直觀作圖，探究系數對圖像的影響

【實驗單4】體會二次函數解析式中的系數對函數圖像的影響（1）將“函數”app重置后再進入，在圖像視圖下，選擇“菜單/草圖”分別畫以下草圖，確定，選擇“菜單/分析/定義”，記錄下此時解析式各系數的符號；再選擇“分析/定義/變換/形式”，選擇不同的表達形式：y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c，y=a（x-x0）（x-x1），并記錄下此時各系數的符號.（2）在不同的表達形式下，拖動函數圖像，觀察其變化規律.

圖3

圖4

圖5

圖6

【課堂片段實錄】

師：在前面研究將y=ax2平移形成y=a（x－h）2+k的圖像時，我們發現隨著圖像位置的變化，h與k值也在對應的發生變化，由此可見，二次項系數決定著函數圖像的形狀與位置，根據之前的平移操作，同學們能夠發現a、h、k分別對函數圖像的形狀和位置起什么作用嗎？

生1：實驗二中已經發現a決定著圖像的開口與大小，y=a（x－h）2+k的圖像是由y=ax2平移得到的，所以只要a值不變，圖像的形狀應該固定不變.

生2：在實驗三中，左右平移時改變的是h的值，上下平移時改變的是k的值，而y=a（x－h）2+k的頂點坐標正是（h，k），所以h與k應該決定著函數圖像頂點的位置.

……

師：在圖1的草圖下，選擇不同的表達形式，如y=ax2+bx+c，思考：通過怎樣的變換可以將y=a（x－h）2+k變化為y=ax2+bx+c形式？

生：將a（x－h）2+k去括號、合并同類項后就可展開成ax2+bx+c形式.

師：a（x－h）2+k展開后的結果是ax2－2ahx+（ah2+k），對比兩種表達式，我們可以發現b=－2ah，即對稱軸h=－，那么形如y=ax2+bx+c的解析式中，a、b對圖像的位置應該起到什么影響？

生：前面已經知道直線x=h是圖像的對稱軸，也就是說當解析式的形式為y=ax2+bx+c時，系數a、b共同決定著圖像的對稱軸.

師：你真細心，ax2+bx+c是二次三項式的一般形式，故我們將y=ax2+bx+c稱為一般式.將頂點式的解析式展開就可以得到一般式，若將一般式配方，也可以轉化為頂點式.剛才同學們已經發現一般式的對稱軸為直線x=－，請大家繪制實驗四中的四幅圖，并分別轉化為一般式，觀察四幅圖中對稱軸的位置與a、b的符號，完善剛才那名同學的解答.

生1：通過作圖，我發現當對稱軸位于y軸左側時，即圖3和圖5，無論圖像開口向上還是向下，a和b的符號都是一樣的，而對稱軸位于y軸右側時，即圖4和圖6，a和b的符號都是相反的.

生2：我可以解釋這種現像，如果a、b的符號一樣，那么和的符號一定為正，因為同號得正，則－0，也就是對稱軸x=－<0，正好位于y軸左側；同理，如果a、b異號，則x=－>0，對稱軸位于y軸右側.

……

師：現在a、b對圖像的影響已經確定，常數項c對圖像又有什么影響呢？

生：c=ah2+k這個等式我實在看不明白，但我發現對于y=ax2+bx+c來說，當x=0時，y=c，而（0，c）正好在y軸上，于是我猜想c應該決定著圖像與y軸的交點坐標.

師：二次函數還有最后一種表達形式y=a（x－x0）（xx1），同學們也談談對這種表達式的看法.

生：我覺得這里的x0和x1很像方程的兩個解，觀察后發現，當x=x0或x=x1時，函數值都為零，也就是說（x0，0）和（x1，0）是圖像與x軸的兩個交點.

師：y=a（x－x0）（x－x1）我們常稱做交點式，其中的x0和x1正是圖像與x軸兩個交點的橫坐標.

師：剛才我們理解了二次函數的系數對圖像的位置和大小的影響，也知道了頂點式可以直觀反映圖像的平移規律，那么當解析式為一般式或交點式時，怎樣理解它的平移規律呢？大家可以在圖形計算器上試試.

生：我發現，不管哪一種解析式，上下平移時改變的都是它的常數項，變化規律仍是上加下減；左右平移時改變的仍是自變量x的值，且是每一處x的值都會改變，變化規律仍是左加右減.

【分析】華羅庚教授曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.直觀印象最終需要抽象為數學問題來解決.二次函數的“數”與“形”的結合是學習中的難點，相比前面的實驗，實驗四從“數”的角度分析問題更多一些，證明思維活動在逐漸深入，正在由具體向抽象轉變.

上述實驗四中二次項系數a、b、c對圖像的影響是一個難點，傳統課堂中需要將y=ax2+bx+c配方為頂點式，再利用頂點式平移的規律去理解一般式，借助圖形計算器，通過“草圖”功能可以讓學生直接觀察歸納得到結論.所以，應用圖形計算器縮短了紙筆運算的時間，使學生可以有更多的時間觀察和思考，使“有形”的思維和“無形”的思維緊密結合，為數學想像的發生提供了直觀的載體.

五、教學反思

1.多媒體教學手段是培養學生直觀想象素養的重要輔助手段

直觀想象素養是六大數學核心素養之一，它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.它是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.

前面的教學設計中，實驗一通過直觀感知促使學生理解圖像形狀；實驗二通過直觀對比幫助學生發現圖像特征，兩個實驗都培養了學生的直觀洞察能力；實驗三通過直觀變換促進學生感悟動態規律，則培養了學生的幾何直觀能力；實驗四通過作草圖觀察解析式，即通過直觀作圖幫助學生體會數形關系，促進學生從單純的“看”過渡到“想”，從特殊的個例過渡到一般的圖形，通過圖式想像，對圖形抽象和概括，得到圖像與解析式之間的關系，在此過程中，數學想象能力也得到了培養.

直觀洞察、幾何直觀、空間想象就是直觀想象素養所包含的三大能力.史寧中教授在《數學基本思想》中談到“直觀不是‘教’出來的，而是自己‘悟’出來的，這就需要經驗積累”，圖形計算器在前面的教學設計中正好成為了學生積累直觀經驗的載體.

2.多媒體教學手段的應用要注意從直觀到抽象的恰當轉化

從上面的教學設計中，圖形計算器極大地提高了教學效率.但教學效率與教學效果并不是等同的，圖形計算器在教學中的應用也有如下缺點：

（1）無法替代學生學習的過程.

雖然圖形計算器能夠迅速繪制函數圖像，解決了學生對函數圖像的認知困惑，但也同樣產生了新的問題：“輸入了函數解析式后，計算器畫出來的圖像真的準確嗎？為什么是這樣的圖像？”這一疑惑應用傳統的紙筆作圖恰好可以解決.通過讓學生描點、連線，如果將點描得更多一些，學生就會發現這些點只能用平滑的曲線來連接，無法用直線連接.最后學生畫出來的圖像也許并不美觀，但對y=x2的圖像卻會有更深入的理解.

（2）無法展示知識的生成過程.

在以上教學過程中，當解析式為一般式時，雖然可以從圖形計算器中直觀得到頂點坐標，但求頂點坐標的方法卻沒法體現出來，頂點坐標與系數的關系也無法體現.傳統的課堂是將y=ax2+bx+c配方，得到y=a（ x+）2+，從而得到一般式的頂點坐標公式，并進一步理解a、b與圖像對稱軸的關系.在這一過程中，既可訓練學生配方的技能，又可以此為載體讓學生理解通過配方解決最值類問題的方法，如果直接觀察圖形計算器上顯示的結果，是無法培養這些能力的.故在教學中，直觀感知可以讓學生迅速理解“是什么”，但要知道“為什么”卻必然抽象為數學模型，從直觀到抽象，從特殊到一般是知識學習的必要途徑.

新知識學習的過程是發展能力的過程，只有在知識發生發展的過程中學生的基本素養才能得到培養，信息技術的飛速發展使得學習方式發生了翻天覆地的變化，使得過去抽象的內容可以更直觀的習得，但無論是多媒體設備，還是人工智能，都只能使知識的習得更容易，卻無法代替學生的思考和學習過程.因此，在學生學習的過程中，無論是設備的使用，還是思想方法的培養，都需要恰當的整合在學生學習的過程中，只有在知識發生發展的過程中學生的基本素養才能得到培養．而何時讓學生直觀體驗，何時又必須放手讓學生探索，這就是教學智慧的體現.教學之美貴在恰當！

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1.史寧中.推進基于學科核心素養的教學改革［J］.中小學管理，2016（2）.

2.彭翕成.例說數學核心素養［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2015（5）.

3.李 靜.數學課程標準（2011年版）的關鍵詞與初中數學教學［M］.上海：華東數學出版社，2015（8）.

4.方厚良，羅燦.談數學核心素養之直觀想象與培養［J］.中學數學（上），2016（10）.

6.史寧中.數學的基本思想［J］.數學通報，2011（1）.F