基于混沌理論的灰度變換圖像加密算法研究

李紅梅，李春杰

(安徽新華學院，安徽合肥 230088)

與文本信息相比，圖像信息的直觀性和交互性較強，成為人們表示和描述客觀世界的主要手段之一。也正是由于圖像含有豐富的數據量，組成圖像的像素點之間具有很高的冗余度和相關性，使得其加密過程中不能直接應用已有的文本加密算法。在以往的研究中，研究人員提出了諸多的加密算法，如DES、AES等，但均已被不同程度地破譯。傳統的加密算法中最安全的方法是一次一密的方法，但密碼本的保存又十分困難。根據理論的不同，圖像加密理論可分為置亂、灰度變換及混沌理論圖像加密三大類。

置亂加密算法的主要思路是通過運算打亂描述圖像的灰度信息的次序，使加密后的圖像看起來雜亂無章，而將圖像的真實信息進行隱藏，該算法思想簡單，加密效率高且易于實現，但是由于該類方法僅僅是按照某種算法對像素位置進行了重新排列，對應像素點值并沒有發生改變，當運算速度越來越快，或其尺寸不足夠大時，其安全性就會受到威脅。而基于灰度變換圖像加密思路則是對組成圖像的所有像素值應用變換方法進行加密，該類算法具有更高的安全性，但該算法的計算量大，應注意該算法的效率問題。混沌是一種看似無規則的運動，其結果會生成一種天然的偽隨機序列，但混沌又是一種確定性的運動，在初始狀態確定的情況下其混沌序列也就固定了，因此可以引入混沌序列對圖像進行灰度變換處理。

1 基于混沌理論的灰度變換圖像加密

1.1 Logistic映射

研究昆蟲繁殖的過程時，在對研究范圍和昆蟲種類進行限定的情況下，若其親代昆蟲的數量遠遠小于子代昆蟲的數量，使得擁有子代后可以忽略其親代的數量，則可得出其第N年的數量與年份有關，可用式(1)表示，該公式又稱為Logistic映射。

Xn+1=μXn(1-Xn)，n∈{1,2,…}.

(1)

圖1 Logistic映射分岔圖

從圖1可以看出，若要使Logistic映射具有較好的隨機分布性能，可將μ的取值設置在[3.678573，4]范圍之內。表1所示的是將初值μ設置為3.9999、X0設置為0.2時,利用C++軟件對Logistic映射進行編程，得到迭代30000次的隨機值分布情況，可以看出0～0.1區間和0.9～1.0區間內隨機值的個數較多，所占的百分比也較高，雖然該映射所產生的隨機數不能平均地分布在其解空間中,但在中間部分卻具有較好的隨機分布，利用該映射也能得到較滿意的結果。

表1 Logistic映射隨機分布

1.2 Chebychev映射

Chebychev映射的形式簡單，具有K階的Chebychev映射可表示為式(2),該映射與Logistic映射一起使用，可以克服Logistic映射中產生的平凡密鑰問題。

Xn+1=cos[K×arccos(Xn)].

(2)

當參數K的值為6時，該映射處于混沌狀態，圖2表示了初值分別為0.20000和2.0001時其運動的軌跡，可以看出該映射對初始狀態具有依賴性，初始時兩條軌跡較類似，但經若干步的計算后，兩條軌跡有了明顯的區別。

圖2 初值敏感依賴圖

1.3 圖像預處理

數字圖像在進行加密之前需要進行預處理操作，數字圖像由若干個像素組成，而每個像素p可以分為R、G、B三部分，數值均在0～255之間。本文采用如下定義：A1代表B分量部分，A2代表G分量部分，A3代表R分量部分。采用S盒變換來對圖像進行預處理，S盒變換是一個非線性的變換，可以有效增加圖像被攻擊時的難度。其定義如式(3)所示。

A1=(p>>16)&255;

A2=(p>>8)&255;

A3=p&255;

A3’=A1⊕A2⊕A3;

p’=(A2<<16)+(A1<<8)+A3’;

(3)

1.4 圖像加密過程

確定圖像的大小為X×Y，首先對圖中的每個像素點進行S盒變換，得到二維矩陣P(X,Y)，其中,矩陣中的每個點表示圖像在該點的灰度值，再將其轉換為一維矩陣Pn，其中n=X×Y。確定密鑰K1，利用Chebychev映射得到-1～1之間的混沌序列，根據其特點去掉前100個值后將結果經過正數化處理后分成T1和T2兩部分。T1部分經過放大后模運算再與Pn中的每個分量逐個進行異或運算得到新的結果T1’。再確定參數K2和K3作為Logistic映射初始參數,并計算得到第一次混沌參數，將T1’和經過線性變化后的T2作為新的初始值繼續進行迭代，且迭代的結果作為下一次Logistic映射的初始值，經過若干次迭代直至生成個數為X×Y×3的兩個雙精度數組為止，對該數組繼續進行放大取模操作，其結果再與Pn中的每一個分量分別進行異或，得到最終結果，即可完成加密過程。

圖3是Lena原始圖像，按照上述過程進行加密操作，得到如圖4所示的密圖，提供正確的密鑰可進行解密操作，圖5是正確輸入密鑰解密后的圖像，在程序中提供了原圖與解密圖像素差異數的計算，圖6是加解密過程中的像素差異的計算結果。可以看出,運用此算法進行圖像加解密過程中沒有像素損失，此方案是一種無損的加解密方案。

圖3 原始圖像

圖4 加密圖像

圖5 解密圖像

圖6 參數變化

2 加密算法的評估與測試

從對加密過程的描述可以看出，基于混沌理論的灰度變換圖像加密算法在加密過程中通過映射計算對像素值進行了根本性的改變，加密圖像對統計攻擊的抵御能力主要體現在算法的擴散和混亂性能方面，因此對加密算法進行統計分析可以得到該算法的抵御能力。一個合格的加密算法應該能夠將圖像的像素分布變得比較均勻，使得密圖不能提供有用的信息，讓明文和密文的相關性大大降低。

2.1 直方圖分析

直方圖能夠直觀地反映圖像中各灰度出現的次數，從直方圖中能找出圖像的基本特征。

圖7 Lena圖像加密前及其直方圖

圖8 Lena圖像加密后及其直方圖

圖9 Fruit圖像加密前及其直方圖

圖10 Fruit圖像加密后及其直方圖

圖11 Lena圖像加密前相關性圖示

圖12 Lena圖像加密后相關性圖示

圖7和圖9是兩幅加密前的圖像，從圖像內容可以看出這兩幅圖像有著明顯的區別，加密前的直方圖中每個像素出現的次數也有較大差別。圖8是Lena圖像加密后的圖像，圖10是Fruit圖像加密后的圖像，加密后的兩幅圖沒有明顯區別，加密圖的直方圖也很相似，可以看出，該加密算法能夠有效地掩蓋原圖的統計特征，密圖的直方圖也不能提供關于圖像內容的任何有用信息。

2.2 像素相關性分析

可以從圖像中相鄰像素點之間的相關性統計和分析圖像加密前后的統計特征。由圖11可以看出，加密前圖像的相鄰像素之間的相關性較大；由圖12可以看出,加密后圖像的相關性分布比較均勻，加密后圖像像素之間的相關性發生了較大變化，基本不具有相關性。

3 結語

本文所研究的圖像加密算法是在加密過程中利用混沌理論對組成圖像的像素值進行根本改變。從對加密前后的圖像信息分析可知，利用該方法進行圖像加密可以有效地改變明文的統計特征，使密文的安全性有進一步的提高。

[參考文獻]

[1]蔣君莉,張雪峰.基于多混沌系統的彩色圖像加密方法[J].計算機應用研究,2014(10):3131-3140.

[2]張雪鋒.混沌序列生成技術及其若干應用研究[D].西安：西安電子科技大學,2011.

[3]徐潔.基于超混沌模型的彩色圖像自相關加密算法[J].湖北民族學院學報:自然科學版,2015(4):412-416.

[4]薛香蓮.一種新的基于超混沌映射的彩色圖像加密算法[J].計算機應用與軟件,2013(8):318-321.

[5]Fridrich J,Kodovsky J.Rich models for steganalysis of digital images[J].IEEE Transaction on Information Forensics and Security,2012(3):868-882.

[6]Patidar V,Pa Reek N K,Purohit G.Modified substitution-diffusion ijnage cipher using chaotic standard and logistic maps[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2010(10):2755-2765.

[7]Zhou N,Wang Y,Gong L,et al.Novel color image encryption algorithm based on the reality preserving fractional mellin transform[J].Optics & Laser Technology,2012(7):2270-2281.

[8]Lang J.Image encryption based on the reality-preserving multiple-parameter fractional frourier transform and chaos permutation[J].Optics and Lasers in Engineering,2012(7):929-937.

[9]李曉茹.基于超混沌系統胡融合數字圖像加密研究[J].內蒙古師范大學學報:自然科學漢文版,2014(1):51-55.

[10]沈洪兵,索洪敏.一種計算最大Lyapunov指數的改進小數據量法及其實現[J].遵義師范學院學報,2009(6):73-76.

[11]Ye R.A novel chaos-based image encryption scheme with an efficient permutation-diffusion mechanism[J].Optics Communications,2011(284):5290-5298.

[12]Wu Y,Noonan J,Agaian S.NPCI and UACI randomness tests for image encryption[J].Journal of Selected Areas in Telecommunications,2011(19):31-38.

[13]馮熾,葉樺.基于改進ZigZag變換與混沌序列相結合的數字圖像加密算法[J].西安郵電大學學報,2013(2):43-51.