數(shù)學(xué)課堂重在學(xué)生的能力培養(yǎng)小議

杜小軍

高考是對(duì)學(xué)生能力的大檢閱，也是對(duì)我們教學(xué)效果的檢驗(yàn)。為了鍛煉和提高學(xué)生能力，凸顯我們教學(xué)成果，我們作教師的可沒少出力，少操心，經(jīng)常泡在題海里，聚精會(huì)神的撈好題，撿經(jīng)驗(yàn)，琢磨技巧，總結(jié)規(guī)律，可謂煞費(fèi)苦心。我私自認(rèn)為如果將課本的例題和習(xí)題做以拓展和延伸，也能鍛煉學(xué)生的思維能力和思考方式，提高分析問題和解決問題的能力。現(xiàn)將北師大版理科選修2-3，18頁的一道例題的拓展和延伸和同仁們一起做個(gè)交流和探討：

原題：（1）5個(gè)相同小球放入8個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，共有多少種放法？

（2）5個(gè)不同小球放入8個(gè)不同盒子每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，共有多少種放法？

這個(gè)題是用來讓學(xué)生認(rèn)清楚什么情況下是組合，什么情況下是排列，題型很典型，很有代表性和具有模型性，也是產(chǎn)生其它題型的好模板。在教學(xué)中，我對(duì)這2個(gè)題型做了拓展和變形，課堂效果不錯(cuò)。課后我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)認(rèn)識(shí)更深刻，知識(shí)掌握的也很牢靠，并能靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決類似問題。具體變式和拓展如下：

（1）題變式如下：

（變式1）8個(gè)相同小球放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，共有多少種放法？

（變式2）8個(gè)相同小球放入5個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放小球個(gè)數(shù)不限，共有多少種放法？

（變式3）8個(gè)相同小球放入編號(hào)1，2，3的3個(gè)盒子，每個(gè)盒子放入小球的個(gè)數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，則有多少種放法？

（變式1）的解法是：由于小球相同，可以把8個(gè)相同小球依次排開，它們之間有7個(gè)空擋，用4個(gè)擋板放入7個(gè)空擋里，每個(gè)空擋只能放一個(gè)擋板，就可以分成5組，每組對(duì)應(yīng)一個(gè)盒子，每種分發(fā)代表一種放法，故有 中方法。這個(gè)題目就變成了典型的“擋板法”的模型題。

（變式2）的解法：由于放球個(gè)數(shù)沒有限制，問題似乎變得復(fù)雜了，但是由于還是相同小球，我們借助第一題的模型有“擋板法”就可以巧妙解答。現(xiàn)將每個(gè)盒子放入一個(gè)小球，加上題目中的8個(gè)小球共有13個(gè)小球，問題就可以變成13個(gè)相同小球放入5個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少放入一個(gè)小球，有多少種放法？故有 中放法。

（變式3）的解法：繼續(xù)延續(xù)變（1）的模型用“擋板法”，故先將2號(hào)盒子放入一個(gè)小球，3號(hào)盒子放入2個(gè)小球，則問題變成了，5個(gè)相同小球放入3個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少放入一個(gè)小球，則有多少種放法？故有 種放法.

拓展訓(xùn)練（一）：

1.滿足x1+x2+x3+x4=10的正整數(shù)解有多少組？

2. 滿足x1+x2+x3+x4=10的自然數(shù)解有多少組？

（2）題變式如下：

（變式1）8個(gè)不同小球放入5個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子至少放入一個(gè)小球，則有多少種放法？

（變式2）8個(gè)不同小球放入5個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子放入小球個(gè)數(shù)不限，則有多少種放法？

（變式1）的解法：這是典型的“先分組后排列”的綜合題，它的分組方式有：I按4，1，1，1，1，分組有 種方法

II按3，2，1，1，1，分組則有 種方法

III按，2，2，2，1，1，分組則有 種方法

故總的放法有 + + 種。

（變式2）的解法：這是“住店法”的一個(gè)好模型題。不同小球就是不同客人，5個(gè)不同盒子就相當(dāng)于5個(gè)旅店，問題就成了：8個(gè)客人 入住5個(gè)旅店，每個(gè)旅店入住客人人數(shù)不限，有多少種入住方法？故采用分步乘法計(jì)數(shù)原理，每個(gè)客人有5種選擇方案，總的方法有58種。

拓展訓(xùn)練（二）

1.將5件不同禮品分給4個(gè)人，每個(gè)人至少一件，有多少種分法？

2.將5封不同信件投入4個(gè)信箱，投入每個(gè)信箱的信件數(shù)不限，則有多少種投遞方式？

在排列組合這一章里，我認(rèn)為，我們教學(xué)時(shí)不一定要找好多課本外的習(xí)題來讓學(xué)生做題海訓(xùn)練，用以開拓思維，只要我們深挖教材，利用好書上的資源，給以拓展和延伸，把學(xué)生的思維引向更加廣闊的空間，就可以學(xué)好學(xué)活這一章知識(shí)，達(dá)到事半功倍的效果。這也符合新課改的要求，既減輕了學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，又開拓了學(xué)生思維，提高了學(xué)生能力，我們也用好用活了教材。以上是我在課堂上利用和處理教材培養(yǎng)學(xué)生能力的一點(diǎn)粗淺認(rèn)識(shí)，寫出來愿與大家交流和探討。

（作者單位：城固縣第二中學(xué)）