幾何圖形的創(chuàng)意教學(xué)

【編者按】 創(chuàng)意學(xué)習(xí)以兒童創(chuàng)新素養(yǎng)培育為指向，以兒童探究意識、創(chuàng)造性思維和實(shí)踐能力培養(yǎng)為目標(biāo)，通過課程學(xué)習(xí)和項(xiàng)目活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)獲取并應(yīng)用知識進(jìn)行創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式。南京致遠(yuǎn)外國語小學(xué)針對傳統(tǒng)課堂重知識輕思維、重訓(xùn)練輕實(shí)踐等問題，率先提出“創(chuàng)意學(xué)習(xí)”理念，積極開展“支持兒童創(chuàng)意學(xué)習(xí)的課程建構(gòu)”行動(dòng)研究。在謝英校長主持的國家社會(huì)科學(xué)基金“十三五”規(guī)劃教育學(xué)一般課題“支持兒童創(chuàng)意學(xué)習(xí)的學(xué)校課程變革的行動(dòng)研究”引領(lǐng)下，學(xué)校積極尋求創(chuàng)新方略，對課程進(jìn)行整體設(shè)計(jì)與轉(zhuǎn)換，創(chuàng)生了系列創(chuàng)意成果。本期呈現(xiàn)他們在數(shù)學(xué)、科學(xué)、道德與政治課堂的相關(guān)成果。

摘 要：以富有創(chuàng)意的教法引領(lǐng)課堂，往往會(huì)讓學(xué)生有精彩的生成，在潛移默化中得到思維的發(fā)展。在幾何圖形的教學(xué)中發(fā)展兒童思維，具體策略有：從“牽著走”到“自己探”，從“老師教”到“教老師”，從“我相信”到“我質(zhì)疑”。

關(guān)鍵詞：幾何圖形 創(chuàng)意教學(xué) 策略

以富有創(chuàng)意的教法引領(lǐng)課堂，往往會(huì)有更多的精彩生成。本文以幾何圖形的創(chuàng)意教學(xué)為例，闡釋相關(guān)策略。

一、從“牽著走”到“自主探”

在幾何圖形的傳統(tǒng)教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)以自己的思維慣性嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卦O(shè)置每個(gè)知識點(diǎn)，并有目的地“牽”著學(xué)生向著自己設(shè)定的相關(guān)題目的畫法、解法走，實(shí)際效果經(jīng)常并不盡如人意。打破成人思維壁壘，立足學(xué)生接受心理，從教師“牽著走”向鼓勵(lì)學(xué)生“自主探”轉(zhuǎn)變，放手讓學(xué)生嘗試從原本單一的“畫一畫”形式向由“畫”“試”“猜”“做”等多種方式組合成的教法轉(zhuǎn)變，鼓勵(lì)學(xué)生自主觀察、自主發(fā)現(xiàn)，能讓他們時(shí)時(shí)迸發(fā)創(chuàng)意。

學(xué)生在四年級掌握了平行四邊形的相關(guān)知識，并學(xué)會(huì)了如何畫平行四邊形的高。進(jìn)入五年級，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”知識點(diǎn)之前，很多教師會(huì)采用這樣一道練習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生思維：

在一個(gè)平行四邊形中，兩條底分別是7厘米、5厘米，一條高是6厘米，與這條高對應(yīng)的底是多少厘米？

對于這道題，傳統(tǒng)教學(xué)的慣常做法是：先指導(dǎo)學(xué)生畫圖，告訴他們從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫出它對應(yīng)底邊的兩條高（如圖1），然后分割出包含這兩條高的兩個(gè)直角三角形（如圖2）。接著，通過講解讓學(xué)生明白：在第一個(gè)直角三角形中，5厘米這條邊是斜邊，而在直角三角形當(dāng)中，斜邊是最長的（通過用手拃一拃，比一比；或者用尺子量一量的方法），所以高1一定小于5厘米，就不可能是6厘米。同理，在第二個(gè)直角三角形中，高2一定小于斜邊7厘米，所以高2才是6厘米。

因?yàn)楹芏嘟處煻颊J(rèn)為，這樣的設(shè)計(jì)程序簡潔清晰，學(xué)生一定都能快速掌握，但實(shí)際情況是：不會(huì)的仍然不會(huì)，不懂的還是不懂。因?yàn)檫@種單一的“牽著走”的“包辦式”教學(xué)方式，沒有考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的參與性、主體性，幾乎所有的程序都是教師“安排”好的，致使學(xué)生缺失了求知欲和參與活動(dòng)操作的經(jīng)驗(yàn)，思維無法得到發(fā)展。

基于此，教學(xué)前，筆者先對相關(guān)教法和理論進(jìn)行探究。“范希爾理論”告訴我們，學(xué)生的幾何思維存在5個(gè)水平：直觀、分析、推理、演繹、嚴(yán)謹(jǐn)。這些不同的水平雖然不是連續(xù)的，卻是順次的。也就是說，學(xué)生在進(jìn)入某一水平學(xué)習(xí)之前，必須掌握之前水平的大部分內(nèi)容。就小學(xué)階段而言，學(xué)生的思維一般只能達(dá)到推理水平，而上述教學(xué)設(shè)計(jì)卻充斥著詳細(xì)的分析、縝密的推理，恰恰丟失了學(xué)生容易接受的直觀。分析學(xué)情也會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之前只是初步掌握了平行四邊形的基本特點(diǎn)，只會(huì)畫平行四邊形的高，對于其中蘊(yùn)含的平行四邊形的高與直角三角形之間的關(guān)系基本上沒有涉及，一下子讓他們通過推理掌握這些深層次的知識，當(dāng)然不會(huì)輕而易舉。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)也告訴我們，圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生一定要經(jīng)歷、積累基本的操作經(jīng)驗(yàn)，才能對相關(guān)知識點(diǎn)有深刻認(rèn)知，在這一過程中，思維才能得到發(fā)展。因此，針對上述題目，筆者做了如下設(shè)計(jì)：出示題目，讓學(xué)生自己畫圖，然后討論一下這兩條高的區(qū)別。這樣的設(shè)計(jì)給了學(xué)生更多自主探究的權(quán)利，他們通過畫圖、度量得出“一條高長一點(diǎn)，一條高短一點(diǎn)”的結(jié)論。這是學(xué)生最直觀的感受，在此基礎(chǔ)上，我拋出問題：“你認(rèn)為（猜測）與6厘米的高對應(yīng)的是哪條底邊？以小組為單位，用一切可以用的方法驗(yàn)證猜想。”這個(gè)問題給了學(xué)生思維自由馳騁的空間。他們有的用尺子量，有的用筆畫，有的找出小棒擺一擺……在這樣“畫”“試”“猜”“做”組合探究的過程中，有的小組通過嘗試驗(yàn)證了自己的猜測，有的還未能驗(yàn)證出來，但在整個(gè)直觀的觀察、測量和操作中，學(xué)生形成了一種共識：7厘米的底邊所對應(yīng)的高要比5厘米的底邊所對應(yīng)的高短一些；反之，5厘米的邊所對應(yīng)的高要比7厘米所對應(yīng)的高長一些。甚至，有的學(xué)生還得出了“長邊配短高，短邊配長高”的總結(jié)。

打破成人思維壁壘，把時(shí)間、空間還給學(xué)生，讓他們充分地進(jìn)行直觀感受，大膽地猜測、嘗試、驗(yàn)證，真正展開討論，創(chuàng)意就能蓬蓬勃勃地生長出來。

二、從“老師教”到“教老師”

幾何圖形的傳統(tǒng)課堂中，我們看到的大多是學(xué)生從教師那里接受基本的方式、方法，規(guī)規(guī)矩矩地接受教師給予的現(xiàn)成知識，往往知其然而不知其所以然。其實(shí)，如果反其道而行之，從“老師教”向“教老師”轉(zhuǎn)變，學(xué)生的思維更容易被喚醒。

教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“三角形”這一內(nèi)容，在學(xué)生掌握了“三角形的內(nèi)角和”以及“三角形按邊分類”的知識點(diǎn)后，設(shè)置了這樣一個(gè)問題：

一個(gè)三角形最小的角是50°，這是一個(gè)（ ）三角形。

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角線

D.以上三種都有可能

學(xué)生的答案五花八門，有的根本就沒有讀懂題目，在“被逼無奈”中隨便選了一個(gè)；有的一直眉頭緊鎖，不知該如何作答。一些選D的學(xué)生理直氣壯地說：“D選項(xiàng)最有可能啦，你看它包含了所有的可能……”從學(xué)生不同的反應(yīng)就能看出，他們對這道題目的“來龍去脈”不甚了解，思維停留在較為膚淺的層面，缺乏深刻性。

在之前的教學(xué)觀摩中，筆者見過類似的情況，有的教師是這樣處理的：首先，利用“三角形內(nèi)角和是180°”的知識點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生分析：既然已知最小的角是50°，那其他兩個(gè)角的度數(shù)之和一定是130°。此時(shí)，可以采用“假設(shè)法+排除法”進(jìn)行分析：如果這個(gè)三角形是直角三角形，那么其他兩個(gè)角的度數(shù)分別是90°+40°，這樣，三個(gè)角中最小的角就是40°，與條件不符，排除A選項(xiàng)；如果這個(gè)三角形是鈍角三角形，那么取整數(shù)值，其他兩個(gè)角當(dāng)中，鈍角至少是91°，另一個(gè)角則至多是39°，這樣，三個(gè)角中最小的角是39°，與條件不符，排除鈍角三角形。通過兩次排除，得出結(jié)論：這個(gè)三角形是銳角三角形。而且，既然已知的角是50°，那么第二小的角的度數(shù)最小也是51°（取整）。如此，第三個(gè)角就應(yīng)該是：180°-50°-51°=79°，在這個(gè)三角形當(dāng)中，最大的角是銳角，所以這是銳角三角形。或者，這個(gè)三角形的三個(gè)角都是銳角，它是銳角三角形……

很多教師認(rèn)同類似的教法，認(rèn)為其中滲透了反證法思想，效果肯定好。但事實(shí)是：學(xué)生幾乎被教師“繞”暈了。

對此，筆者想起了美國學(xué)者埃德加·戴爾的“學(xué)習(xí)金字塔理論”，其中的“七種學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)效率之間的關(guān)系”認(rèn)為：“聽講”的方式學(xué)習(xí)，效率只有5%；“閱讀”的方式學(xué)習(xí)，效率只有10%；“聲音，圖片”的方式學(xué)習(xí)，效率可達(dá)20%；“示范”的方式學(xué)習(xí)，效率可達(dá)30%；“小組討論”的方式學(xué)習(xí)，效率可達(dá)50%；“做中學(xué)”或“實(shí)際演練”的方式學(xué)習(xí)，效率可達(dá)75%；“教別人”或“馬上應(yīng)用”，效率可達(dá)90%。有了這一理論的支撐，解決這道題目時(shí)，筆者想到了讓學(xué)生自己做“小老師”。筆者對教學(xué)設(shè)計(jì)做了及時(shí)調(diào)整，要求學(xué)生畫一畫這個(gè)三角形（如圖3、圖4、圖5）。

畫完后，很多學(xué)生都恍然大悟：原來是銳角三角形啊！當(dāng)然，也有些學(xué)生還在納悶：我畫的怎么是直角三角形（鈍角三角形）啊？對于學(xué)生的疑惑，筆者沒有當(dāng)場給出答案，而是問學(xué)生：“有沒有同學(xué)到前面來演示一下，用量角器分別量出其他兩個(gè)角的度數(shù)，并標(biāo)在三角形內(nèi)。”對此問題已有所領(lǐng)悟的學(xué)生個(gè)個(gè)躍躍欲試。演示時(shí)，他們量得分外認(rèn)真。隨著量角器的測量，看著標(biāo)記度數(shù)的變化，更多學(xué)生情不自禁地發(fā)出了“我知道了，我知道了”的驚呼聲。仍有少部分學(xué)生處于迷糊狀態(tài)，筆者順勢引導(dǎo)：“還有一些同學(xué)不是很清楚，誰愿意上來做‘小老師’，用自己的方法教教他們！”掌握這一知識點(diǎn)的學(xué)生，個(gè)個(gè)爭先恐后。經(jīng)過幾位“小老師”不同角度、不同層次的精彩講解，所有學(xué)生都認(rèn)識到：畫出直角三角形、鈍角三角形的同學(xué)，量出其他兩個(gè)角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中最小的角不再是50°，所以他們畫錯(cuò)了，只能畫成銳角三角形。

從一個(gè)學(xué)生到臺(tái)前畫三角形到量角度，再到用自己的方式教同學(xué)、教老師，學(xué)生自己做老師，這一過程引爆了全班學(xué)生一次次的思維沖擊和碰撞。其間，學(xué)生有了自己的發(fā)現(xiàn)，對銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的特征有了更為深刻的認(rèn)知。

三、從“我相信”到“我質(zhì)疑”

“我們老師是這樣講的，你說的不對！”我們常常聽到學(xué)生這樣跟家長說。學(xué)生相信教師，這是對教師最大的肯定。但“盡信師，則不如無師”，“盡信師”，學(xué)生的思考便是被動(dòng)的，形成的認(rèn)知也是零散的，無法獲得系統(tǒng)認(rèn)知。為了改變學(xué)生一味的“我相信”的學(xué)習(xí)狀態(tài)，筆者在幾何圖形的教學(xué)中有意識地引導(dǎo)他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的基本過程，鼓勵(lì)他們“重走數(shù)學(xué)家走過的發(fā)現(xiàn)之路”，從“我相信”走向“我質(zhì)疑”。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《用字母表示數(shù)》單元有這樣一道數(shù)形結(jié)合題：

搭1個(gè)正方形需要4根小棒（如圖6），按照這樣的搭法，搭n個(gè)正方形需要幾根小棒？

對于這道題，不少教師這樣引導(dǎo)：“同學(xué)們看，只要把第一個(gè)正方形的左邊擋起來一根小棒，那每一個(gè)正方形不都是3根小棒了嗎？n個(gè)正方形就有3n根小棒，再把原來擋著的加上去，就是3n+1根小棒。”類似的引導(dǎo)法在傳統(tǒng)課堂中甚為流行，因?yàn)楹唵斡址奖恪５珜?shí)際上，學(xué)生會(huì)做這道題并不代表也會(huì)做同類題，沒有經(jīng)歷質(zhì)疑、探究、解決問題過程，習(xí)得的知識是零散、單一的，思維也是斷層的。

筆者帶著學(xué)生處理這道題目時(shí)，轉(zhuǎn)換了思路，先直接出示上述做法，然后鼓勵(lì)學(xué)生談?wù)勛约旱南敕ǎ幸蓡柕目梢灾苯犹岢鰜怼Ｋ伎计蹋袑W(xué)生問道：“老師，為什么非要擋起來看呢？如果不擋起來看，是不是還有別的方法呢？比如，如果把圖形中的小棒看作三排，第一排是n個(gè)正方形的每個(gè)最上面的小棒（橫著排的），共有n根；第二排是n個(gè)正方形的邊（豎著排，左右的），共有n+1根；第三排是n個(gè)正方形的每個(gè)最下面的邊（橫著排的），也是n根。所以一共是n+（n+1）+n根小棒，把它們化簡一下，也能得到3n+1的答案。”“你的質(zhì)疑很能拓展我們的思路，而且，你的做法比老師的還好，真了不起！看來，我們班真是臥虎藏龍！大家小組討論一下，看看還有沒有好辦法。”有了同伴的分享和教師的鼓勵(lì)，學(xué)生的積極性被充分調(diào)動(dòng)了起來。不一會(huì)兒，就有小組代表舉手回答：“我們小組認(rèn)為，搭第一個(gè)正方形需要4根，再每搭一個(gè)需要3根，因而，搭n個(gè)正方形需要4+3（n-1）根小棒，化簡之后也是3n+1。”另一個(gè)小組成員搶著說：“每個(gè)正方形需要4根小棒，如果都是分開的則共有4n根小棒，但是這里的每兩個(gè)正方形之間重復(fù)了一根，所以n個(gè)正方形這樣搭起來就會(huì)重復(fù)（n-1）根小棒，共有4n-（n-1）根小棒，也就是3n+1”……從發(fā)言可以看出，提出第一種方法的學(xué)生善于分類，將提供的圖形分為三個(gè)部分，每一個(gè)部分又都跟每一個(gè)正方形有著清晰的聯(lián)系，思維很有條理；提出第二種方法的學(xué)生善于總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)除了第一個(gè)正方形以外，每增加一個(gè)正方形就是增加3根小棒，一共增加3（n-1）根小棒，再加上第一個(gè)正方形，一共就是4+3（n-1）根小棒；提出第三種方法的學(xué)生善于拆分，所有的正方形分開是什么樣的，搭起來與之比較有哪些變化，變化的規(guī)律是什么……在這樣的交流過程中，學(xué)生不僅理解了用字母表示數(shù)的意義，學(xué)會(huì)了用含有字母的式子表示數(shù)、表達(dá)數(shù)量關(guān)系，還探索出了“用字母表示數(shù)”這一知識點(diǎn)中蘊(yùn)含的規(guī)律。而且，經(jīng)過多次類似的挑戰(zhàn)，學(xué)生更愛動(dòng)腦筋、更愛思考，大膽質(zhì)疑的積極性也得到了很好的調(diào)動(dòng)。

“三人行，必有我?guī)煛！狈诺徒處煹淖藨B(tài)，持續(xù)與學(xué)生進(jìn)行思維碰撞，保護(hù)他們的思維創(chuàng)意，讓他們的思維自由馳騁，課堂創(chuàng)意無限。

本文系國家社會(huì)科學(xué)基金“十三五”規(guī)劃教育學(xué)一般課題“支持兒童創(chuàng)意學(xué)習(xí)的學(xué)校課程變革的行動(dòng)研究”（編號：BHA160145）的階段性成果。

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