大道至簡

摘 要：如何選取合適的學習材料，設計適度的數學問題，采取有效的學習方式，來激活學生的知識經驗和數學思維能力，讓數學課堂更簡潔？《和與積的奇偶性》一課，留出足夠的時間讓學生充分表達自己的想法，再通過小組合作進一步交流，發現其中存在的規律。教師則適時地“現身”，引導學生將復雜的問題簡單化，深奧的道理通俗化，單一的思維多元化。

關鍵詞：和與積的奇偶性 小研究 教學過程 教學反思

一、課前的小研究設計

《和與積的奇偶性》是蘇教版小學數學五年級下冊的一節探索計算規律的活動課，意在讓學生切實經歷數學規律的完整過程，充分感受其中蘊含的數學思想方法。本課研究的內容之所以挑選不是0的自然數并計算相應的和，主要是因為此前對奇數和偶數的認識是在非0自然數范圍內進行的。課前，安排學生進行前置性研究，小研究（見圖1）中設計了這樣幾個環節：（1）任意選兩個不是0的自然數，求出和，研究和的奇偶性。（2）交流討論若干個例子，初步發現其中存在的規律。（3）進一步探究幾個數和的奇偶性，分析決定幾個數的和是奇數還是偶數的原因。（4）最后探究幾個數的積的奇偶性，并對活動過程進行回顧和反思。

在學生完成的小研究中，我發現了很多亮點：有的畫圖研究（用小棒擺一擺），有的列舉說明現象（舉了一些相應的式子），有的列表分析規律（參考了教材上的表格），更有的運用了轉化（將奇數轉化成偶數加1）……基于此，課堂上要留出足夠的時間讓學生充分表達自己的想法，再通過小組合作進一步交流，發現其中存在的規律。

二、教學過程

（一）復習舊知

師 還記得我們之前學習的奇數和偶數嗎？請同學們回憶一下，什么叫奇數？什么叫偶數？

（學生回答。教師板書揭示課題：和與積的奇偶性。）

（二）交流小研究

1.關于“兩個數的和的奇偶性”的研究。

（1）同桌交流。

（2）組際交流。

生 我用的是舉例法，每一個用3道式子來說明。偶數+偶數=偶數：64+86=150，40+50=90，14+34=48。奇數+奇數=偶數：5+9=14，13+17=30，29+69=98。奇數+偶數=奇數：17+12=29，19+37=56，73+84=157。

生 我用的是列表法，（投影出示圖2）這樣比較清楚，看起來一目了然。

生 我是用除法來證明我的發現也是成立的。因為奇數除以2余1，偶數除以2沒有余數，所以奇數加偶數的和除以2仍余1，所以奇數加偶數的和是奇數。

生 其實你的想法也可以用小棒畫出來，這樣更簡單明了。每兩根圈一圈，偶數根沒有剩余，而奇數根就會余1根。當奇數+偶數時，奇數中余下1根，和也會出現余1根，那么和就是奇數。

生 （小江同學）我來說說我的方法。

（小江邊出示圖3邊闡述。）

師 他這段話信息量很大，你們聽懂了嗎？誰能解釋一下？

生 他說得有點煩瑣，也有些深奧，通俗地說，就是把奇數轉化成偶數+1。

（教師在學生說的時候板書，如圖4。）

生 對，如果把任意一個偶數看作n，那么奇數就是n+1。

師 想想剛才三個同學提到的“除法”“擺小棒”“奇數是偶數+1”三種方法，有共同之處嗎？

生 除法計算后得到余1，擺小棒圈一圈后也會多1，而奇數=偶數+1，結果都與“1”有關。

生 奇數+奇數=偶數，只要想最后余下的1+1就可以了。

生 奇數+偶數=奇數，只余了一個1，和肯定是奇數。

（3）回顧與反思。

師 同學們，你們的研究方法可謂百花齊放，老師覺得你們很會研究！讓我們一起來回顧一下，剛才在探究活動中發現了什么？又是怎樣發現這個規律的呢？

生 我們小組用的是列表的方法，能比較清楚地發現任意兩個數相加的和的規律。

生 我們是分類列舉。發現了兩個偶數相加的和是偶數，兩個奇數相加的和是偶數，一個奇數和一個偶數相加的和是奇數。

生 我們發現畫圖或轉化后，偶數和奇數相加，其實與加數中偶數的個數無關，只取決于加數中的奇數個數。

……

師 剛才我們通過列舉、畫圖、列表、轉化等多種方法，驗證得到了兩個數相加的和的奇偶性規律：偶數+偶數=偶數；奇數+奇數=偶數；奇數+偶數=奇數。

（4）運用與拓展。

師 打開數學書，看看左右兩邊頁碼的和是奇數還是偶數？為什么？

生 我的兩個頁碼是55、56，55+56=111，和是奇數。

生 我的兩個頁碼是12、13，12+13=25，和是奇數。

生 我的兩個頁碼是100、101，100+101=201，和是奇數。

生 我發現任意打開兩頁，左右頁碼一定是相鄰的兩個自然數，相鄰的兩個自然數的和是奇數。

生 我來總結一下：相鄰兩個自然數要么是一個奇數和一個偶數，要么是一個偶數和一個奇數，所以左右兩邊頁碼的和一定是奇數。

2.關于“幾個數的和的奇偶性”的研究。

師 剛才我們探究的是兩個數相加的和的奇偶性，那么若干個自然數相加的和呢？課前我們也進行了研究，老師特別欣賞這個同學的研究過程，一起來看看。

（出示小任同學的研究思路，如圖5。）

師 你們知道小任同學為什么這樣研究？

生 她是先研究幾個偶數相加，再研究幾個奇數相加，最后研究幾個偶數和幾個奇數相加。

生 她先從簡單的開始研究。

生 幾個偶數相加，只有一種情況，簡單的先研究，再研究比較復雜的。

……

師 先在四人小組里，根據小任同學的研究方法調整自己的研究順序。

（1）若干個偶數相加。

生 我來匯報，若干個偶數相加，我的例子是：4+4+4=12，6+8+8+8=30，4+6+8+6+10+12=46。

生 我有補充，不管是多少個偶數相加，和一定是偶數。

（2）若干個奇數相加。

生 我和大家交流的是若干個奇數相加，我的例子是：9+9+9=27，7+3+3+3=16，3+3+3+3+3=15，7+7+3+3+5+9=34。

生 若干個奇數相加，我們要分兩種情況來討論：一種加數的個數是偶數個，另一種是加數的個數是奇數個。

師 有道理！先說說加數的個數是偶數個的情況。

生 3+3=6。

生 5+5+5+5=20；6個11相加，和是66。

生 2個、4個、6個、8個……奇數相加，和就是偶數。

生 奇數的個數是2個、4個、6個……的時候，和就是偶數，這是因為每兩個奇數相加的和是偶數。偶數+偶數=偶數，多個偶數相加還是偶數。

師 接下來說說加數的個數是奇數個的情況。

生 5+5+5=15。

生 7+7+7+7+7=35。

生 7個9相加，和是63。

生 我可以解釋為什么奇數個奇數相加，和就是奇數。

（邊說邊呈現自己的思考，如圖6）當奇數的個數是1、3、5、7……時，每次都會多一個奇數，偶數+奇數=奇數。

師 是的，所以當奇數是1個、3個、5個等奇數個的時候，和一定是奇數。

（3）加數中有偶數也有奇數的情況。

生 我是用的列表法。大家看一下我研究的表格，（出示圖7）加數中的偶數個數不管有幾個，和一定是偶數；而加數中的奇數個數是有變化性的。

生 看完你的表格，我發現了這樣的規律：偶數+偶數=偶數，多個偶數相加還是偶數。而加數中有奇數個奇數的，相加后每次都會多一個奇數，奇數+奇數=偶數，偶數+奇數=奇數。

生 其實，偶數在算式中不能決定和的奇偶性。

師 和是奇數還是偶數，其實我們只要看什么？（邊說邊板書）和——只要看奇數的個數。

師 看來，研究復雜的問題，可以從怎樣的問題入手——（學生回答：從簡單的問題入手）是啊，遇到復雜的問題，從簡單問題入手，找出規律來解決，這是一種非常好的思考方法！

生 （小宋同學）我給大家帶來一道題，請大家思考！

（出示圖8。）

生 有25組100，就是2500，和是偶數。

生 我用的是等差數列求和的方法計算的，比他的簡單些，只要用（首項+末項）×項數÷2就可以。

生 其實不用那么麻煩，我們早就知道100以內有50個奇數、50個偶數，用我們今天所學的知識就能解決：偶數個奇數相加，和一定是偶數。

師 在研究多個不是0的自然數相加時，其實我們只要關注算式中奇數的個數。所以，復雜的問題研究起來就是這么簡單！

3.關于“積的奇偶性”的研究。

師 剛才我們發現的都是幾個數和的奇偶性，如果是幾個數的乘積，也會出現像上面這樣的一些規律嗎？什么情況下是奇數？什么情況下是偶數？

生 我先從兩個數相乘研究的，1×3=3，積是奇數；2×4=8，積是偶數；3×8=24，積是偶數。

生 我認為要盡量多舉例，多寫一些算式并進行比較，才能發現規律。

生 對，你舉例說明的只是兩個數相乘，還有三個數相乘、四個數相乘，等等。

生 1×3×5=15，乘數都是奇數，積也是奇數。8×4×10×2=640，乘數都是偶數，積也是偶數。1×2×3=6，3×5×7×2=210，乘數中只要有一個偶數，積也一定是偶數。

生 我同意你的觀點，無論幾個數相乘，只要有一個偶數，它們的乘積一定是偶數。

師 你們的研究方法由簡到繁、由淺入深，小組之間也能互相補充、互相完善。

老師覺得你們同伴之間的學習方式越來越成熟了！

師 下面我們一起輕松一下，口算判斷積的奇偶性。

你能很快判斷出積是奇數還是偶數嗎？

（教師一題一題地出示算式：1×3×5，8×4×10×2，1×2×3，3×5×7×2，14×27×56×11×15×35。學生口算算不出來的，再板書一道大數目相乘算式判斷題。）

師 這些算式有什么不同？什么情況下積是奇數？什么情況下積是偶數？

生 算式中有偶數，那一定是2的倍數，則積就一定是2的倍數。

師 積是奇數還是偶數，我們只要看什么？（邊說邊板書）積——只要有一個偶數。

（三）探索與歸納

師 今天我們研究了和與積的奇偶性，你有什么體會？

生 在研究時，我們多寫一些算式進行比較，就能發現規律。

生 從不同的算式中發現共同的特點；舉例和驗證也是發現規律的好辦法。

生 遇到復雜的問題，從簡單問題入手，找出規律來解決。

三、教學反思

在教學實踐中，我一直在思考：如何選取合適的學習材料，設計適度的數學問題，采取有效的學習方式，來激活學生的知識經驗和數學思維能力，讓數學課堂更簡潔？

（一）斷舍離：復雜的問題簡單化

課前批閱學生完成的小研究，小任同學的研究思路和我不謀而合。在四人小組交流前，我先引導學生：按什么樣的思路研究呢？課中，適時推薦小任的研究思路，讓其他學生說說這樣研究的好處。有學生很快發現，應該先從簡單的開始研究，比如說算式中全是偶數，它只有一種情況，不管多少個偶數相加，和一定是偶數。這時，我及時“現身”，強化了這一種研究思想：從簡單到復雜，這樣更容易發現規律。

（二）巧轉化：深奧的道理通俗化

課堂上出現了一個偶發事件，小江同學的發言中出現了“模2（mod 2）”這樣的字眼，不少學生一時看不明白。事實上，“模2”就是“除以2之后的余數”，比如3 mod 2 = 1，4 mod 2 = 0。一個整數n對2取模，如果余數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。我適時引導學生：“他這段話信息量較大，你們聽懂了嗎？誰能解釋一下？”有學生立刻舉手，說其實就是把奇數轉化成了偶數+1。我也順勢板書加以解釋。小江的“模2思想”，便和前面用有余數的除法以及畫小棒的方法一樣，簡單易懂了。

（三）精追問：單一的思維多元化

比如小宋同學考大家的題：1+3+5+…+99，請說說和是奇數還是偶數？為什么？

立刻有學生想到高斯的解法：“一共有25組100，就是2500，和是偶數。”

我只是笑笑，說：“有更簡單的方法嗎？”

另一位學生說：“我是用等差數列求和的方法計算的，比他的簡單些，只要用（首項+末項）×項數÷2就可以。”

我還是笑笑，說：“還有更簡單的嗎？”

一位女生自信地說：“其實不用那么麻煩，我們早就知道100以內有50個奇數、50個偶數，用我們今天所學的知識就能解決：偶數個奇數相加，和一定是偶數。”

學生恍然大悟，簡單吧！