基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型及實(shí)證研究

【摘要】由于波動(dòng)率難以描述資產(chǎn)的下行風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)造了基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型，該模型采用VaR值來度量資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，然后運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的思想來構(gòu)造投資組合。實(shí)證研究結(jié)果表明：基于該模型構(gòu)造的投資組合雖然在年化收益方面不及傳統(tǒng)的等權(quán)重投資組合，但是卻在風(fēng)險(xiǎn)控制及夏普比率、卡爾瑪比率方面具有明顯優(yōu)勢。對于追求夏普比率最大化或者卡爾瑪比率最大化的投資者來說，基于該模型構(gòu)造的投資組合不失為合理選擇。

【關(guān)鍵詞】風(fēng)險(xiǎn)平價(jià) 在險(xiǎn)價(jià)值 資產(chǎn)配置 均值-方差模型

所謂大類資產(chǎn)配置，顧名思義，就是選取標(biāo)的資產(chǎn)類別的投資策略。20世紀(jì)50年代以來，出現(xiàn)了很多投資組合優(yōu)化模型，這些優(yōu)化模型在投資決策中扮演著重要角色。最優(yōu)投資組合構(gòu)造方法中的一個(gè)知名例子就是均值-方差模型，由馬科維茨提出的均值-方差模型被視作投資組合優(yōu)化領(lǐng)域的基本框架。第一次為風(fēng)險(xiǎn)和收益提供了一個(gè)量化的視角。近年來，基于配置因子的資產(chǎn)配置理論得到了長足的發(fā)展，其中最為典型的代表就是風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)理論。

本文對大類資產(chǎn)配置理論進(jìn)行了全面的總結(jié)和歸納，并深入分析了風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)理論及其缺陷，并在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地提出了基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)理論。最后運(yùn)用股票、債券和大宗商品三類資產(chǎn)利用基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)理論進(jìn)行了實(shí)證研究。

一、資產(chǎn)配置文獻(xiàn)綜述

素有“全球資產(chǎn)配置之父”之稱的Brinson的研究指出，從長期來看，美國共同基金90%以上的投資收益都是來自成功的資產(chǎn)配置。雖然大類資產(chǎn)配置對投資業(yè)績的重要性到底有多大至今仍然沒有蓋棺定論，但自Markowitz在1952年提出投資組合理論后，世界就開啟了資產(chǎn)配置的浪潮。大類資產(chǎn)配置理論也從恒定混合策略和現(xiàn)代投資組合理論發(fā)展到基于大數(shù)據(jù)和機(jī)器學(xué)習(xí)的資產(chǎn)配置策略，經(jīng)歷了一個(gè)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從定性到定量的過程。

在20世紀(jì)50年代以前，雖然許多投資者已經(jīng)意識到資產(chǎn)配置的重要性，但僅停留在對其風(fēng)險(xiǎn)分散功能的認(rèn)可層面，采用的配置方法一般為簡單的恒定混合策略，即保持投資組合中各類資產(chǎn)的價(jià)值權(quán)重不變。當(dāng)某項(xiàng)資產(chǎn)相對于其他資產(chǎn)價(jià)格下跌時(shí)，投資者將買進(jìn)該資產(chǎn)，反之則賣出。相較于買入并持有策略（Buy and Hold Strategy），恒定混合策略（Constant-mix Strategy）形成的投資組合對資產(chǎn)有分散風(fēng)險(xiǎn)的作用，但下跌保護(hù)的能力和自身持續(xù)增值的能力都較弱。典型的恒定混合型配置策略包括等權(quán)重投資組合（equally weighted portfolio）和經(jīng)典的60/40投資組合策略。

Sharpe、Lintner和Mossin在均值方差模型的基礎(chǔ)上建立了資本資產(chǎn)定價(jià)模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM），如果說在有效市場和理性人的假設(shè)下，Markowitz的組合理論解決了投資組合的可行性區(qū)域的存在問題，那么CAPM模型則在單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的假設(shè)下，進(jìn)一步推導(dǎo)出了最優(yōu)的收益風(fēng)險(xiǎn)組合是切點(diǎn)組合，而這一組合與不同投資者的個(gè)人偏好無關(guān)。根據(jù)CAPM模型，無風(fēng)險(xiǎn)利率、市場收益率以及該資產(chǎn)與市場整體的相關(guān)性（所謂β），這三個(gè)因素就可以給出一個(gè)資產(chǎn)的“合理”定價(jià)。這一方面給予測度均衡價(jià)格一個(gè)可用的框架，另一方面也引入β這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的另一種衡量方式，加深了對于風(fēng)險(xiǎn)的理解。

Fisher Black和Robert Litterman在高盛（Goldman Sachs）任職期間提出B-L模型，該模型在數(shù)量化模型的基礎(chǔ)上，增加了投資者對各類資產(chǎn)的主觀觀點(diǎn)。此后可用于實(shí)踐的量化型大類資產(chǎn)配置策略才開始發(fā)展壯大。

風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型屬于一種將組合的長期收益著眼于風(fēng)險(xiǎn)控制上的投資策略。該模型的目的是使各類資產(chǎn)對總風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)相等，即資產(chǎn)配置組合面對不同因子的風(fēng)險(xiǎn)敞口（或稱為風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)度）暴露程度等同。風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)以風(fēng)險(xiǎn)為立足點(diǎn)，避免了對回報(bào)進(jìn)行預(yù)測的不確定性。追求組合風(fēng)險(xiǎn)敞口的理念起源于20世紀(jì)90年代橋水基金（Bridge Water）的”全天候“投資組合（All Weather Portfolio）：當(dāng)中長期宏觀環(huán)境處于通脹壓力加強(qiáng)或減弱、經(jīng)濟(jì)增長相較于預(yù)期過高或過低四種狀態(tài)且無法預(yù)判時(shí)，等量持有四種子投資組合可以保證無論出現(xiàn)哪種經(jīng)濟(jì)環(huán)境，至少有一個(gè)子組合表現(xiàn)優(yōu)異。風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的投資理念在后金融危機(jī)時(shí)期受到廣泛關(guān)注，因?yàn)檠芯堪l(fā)現(xiàn)，大多數(shù)機(jī)構(gòu)投資者盡管進(jìn)行了分散投資，但投資組合的風(fēng)險(xiǎn)仍然集中在少數(shù)具有高波動(dòng)的資產(chǎn)上。即使是以分散化著稱的市場投資組合，也被證實(shí)沒有達(dá)到所期望的風(fēng)險(xiǎn)分散效果，從市場整體表現(xiàn)來看，風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)型基金過去20年來的收益水平位于行業(yè)前列。

二、風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)問題

大量基于馬科維茨均值-方差框架的方法被提出，用來克服其缺點(diǎn)并保持其優(yōu)點(diǎn)。風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的思想并不新穎，可以被視作一種特殊類型的分散化策略。其目標(biāo)是構(gòu)造一個(gè)各類資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)相同的投資組合，是兩種著名分散化技術(shù)（最小方差優(yōu)化方法和等權(quán)重組合方法）的折中。過去幾年間，已經(jīng)出現(xiàn)了相當(dāng)數(shù)量的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)研究成果。

這里我們簡單介紹一下最小方差模型，并在此基礎(chǔ)上引出多頭風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型，然后進(jìn)一步放松約束條件引出多空風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型。

（一）最小方差模型

假設(shè)有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。他們的協(xié)方差通過半正定協(xié)方差矩陣Σ來表示，通過最小化純多頭投資組合的方差來實(shí)現(xiàn)對投資組合的優(yōu)化：

■ （1）

這里■代表各類資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重。根據(jù)最優(yōu)化理論不難求解得到：

■ （2）

需要指出的是，■代表邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)，■為投資組合的波動(dòng)率，用以衡量組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。也就是說當(dāng)投資組合中各類資產(chǎn)的邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)相等時(shí)，資產(chǎn)組合具有最小方差。

（二）風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型

最小方差投資組合保證了投資組合的方差最小，即投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小。但是從收益-風(fēng)險(xiǎn)比的角度來看，該投資組合一般都不是最優(yōu)的。因?yàn)檫呺H風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)代表的是每增加一單位該資產(chǎn)會增加的風(fēng)險(xiǎn)，并沒有反應(yīng)該資產(chǎn)的增加對整個(gè)投資組合整體風(fēng)險(xiǎn)的影響。因此，我們需要利用風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)值來衡量每一個(gè)資產(chǎn)對整個(gè)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)。

風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)值■的定義為：

■ （3）

其含義是資產(chǎn)i對整個(gè)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)大小，其中ωi表示資產(chǎn)i在投資組合中的權(quán)重。為了分散投資風(fēng)險(xiǎn)，我們需要使投資組合中每類資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)都相同，由此引出了風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型。

基于風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型構(gòu)造的投資組合中，每類資產(chǎn)對于投資組合的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)相等。本文中，運(yùn)用波動(dòng)率作為風(fēng)險(xiǎn)測度。因此，風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)問題就是找出滿足以下條件的投資組合：

■ （4）

由于公式（4）是條件約束優(yōu)化問題，所以可能存在無解的情況。此時(shí)，需要通過公式的變體來尋找“接近風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的”解。

如果任何兩種資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)是常數(shù)，即■，此時(shí)封閉形式解通過文獻(xiàn)[15]的假設(shè)進(jìn)行推演后得到如下解：

■ （5）

風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)法構(gòu)造組合僅僅是基于風(fēng)險(xiǎn)維度，而均值-方差模型所構(gòu)造組合需要的輸入變量有收益和風(fēng)險(xiǎn)兩種，同時(shí)均值-方差模型是建立在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用函數(shù)分析框架之下的，這也是均值-方差模型的重要理論基礎(chǔ)。但是在一定的條件下，經(jīng)由風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)法構(gòu)造的組合的權(quán)重向量和均值-方差法的結(jié)構(gòu)能夠保持一致。這些條件是：第一，所有資產(chǎn)的Sharpe Ratio是相同的。第二，資產(chǎn)之間具有低相關(guān)性。

另外，雖然風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)不需要把資產(chǎn)收益率作為輸入變量，但是風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算需要基于收益率的原始數(shù)據(jù)。DeMiguel、Garlappi和Uppal認(rèn)為簡單的等權(quán)策略憑借其在輸入變量估計(jì)偏差的消除彌補(bǔ)了在多樣化思想上的不足，導(dǎo)致了等權(quán)策略往往能夠在現(xiàn)實(shí)市場環(huán)境中表現(xiàn)得比均值-方差策略好，同時(shí)他們認(rèn)為，風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)策略是一種介于等權(quán)策略和均值-方差策略之間的資產(chǎn)配置方法，在特定的環(huán)境下，具有重大意義。

（三）風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的不足

首先，風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)策略將資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率當(dāng)作衡量風(fēng)險(xiǎn)的手段。如果資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性呈正態(tài)分布、或者類似正態(tài)分布，那么波動(dòng)性可以作為衡量風(fēng)險(xiǎn)的手段。比如，極端事件發(fā)生的概率應(yīng)該符合波動(dòng)性的正態(tài)分布。但是，從歷史上看，這是不正確的。大多數(shù)金融資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了正態(tài)分布的規(guī)律，因此價(jià)格的波動(dòng)性不能夠完全衡量一項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。

其次，風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)策略并沒有準(zhǔn)確的反映投資者的心理。投資者對遭受損失的負(fù)面感受遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于獲利的正面感受，這是顯而易見的。在風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)策略中，資產(chǎn)價(jià)格上漲與價(jià)格下跌有均等的風(fēng)險(xiǎn)。但是，投資者不把價(jià)格上漲的風(fēng)險(xiǎn)與價(jià)格下跌的風(fēng)險(xiǎn)等同看待。風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)策略并不能夠反映投資者對其資產(chǎn)組合的真正看法。

因此，從根本上講，風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)策略歪曲了資產(chǎn)的真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)，也不能反映投資者的真實(shí)想法。投資顧問們應(yīng)該幫助客戶找到一種方式準(zhǔn)確的反映市場風(fēng)險(xiǎn)和投資機(jī)會。風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)策略不能夠?qū)崿F(xiàn)這個(gè)目的。

三、基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型

其實(shí)對于風(fēng)險(xiǎn)，理論上還沒有統(tǒng)一的定義。風(fēng)險(xiǎn)都是源自未來事件的不確定性，從數(shù)學(xué)角度看，它表明的是各種結(jié)果發(fā)生的可能性。風(fēng)險(xiǎn)衡量所要解決的兩個(gè)問題是損失概率和損失嚴(yán)重程度，其最終目的是為風(fēng)險(xiǎn)決策提供信息。

VaR（Value at Risk）按字面解釋就是“在險(xiǎn)價(jià)值”，其含義指：在市場正常波動(dòng)下，某一金融資產(chǎn)或證券組合的最大可能損失。更為確切的是指，在一定概率水平（置信度）下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價(jià)值在未來特定時(shí)期內(nèi)的最大可能損失。用公式表示為：

■ （6）

其中，p表資產(chǎn)價(jià)值損失小于可能損失上限的概率，■代表某一金融資產(chǎn)在一定持有期■的價(jià)值損失額，VaR表示給定置信水平α下的在險(xiǎn)價(jià)值，即可能的損失上限，α代表給定的置信水平。

此時(shí)，投資組合中各個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)值可以用ComponentVaRi來表示，其定義如下：

■ （7）

其含義為將VaR作為風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量指標(biāo)時(shí)，投資組合中每類資產(chǎn)的VaR對投資組合VaR的貢獻(xiàn)，其中■表示資產(chǎn)i在投資組合中的權(quán)重。其中ComponentVaRi表示投資組合i的ComponentVaR，VaRp表示投資組合的VaR。

為了使每類資產(chǎn)對于投資組合的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)相等，在所有資金都配置到了該投資組合中，并且投資組合不允許賣空的情況下，基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)問題就是找出滿足以下條件的投資組合。

■ （8）

四、實(shí)證分析

為了驗(yàn)證模型的有效性，利用流動(dòng)性較好的資產(chǎn)進(jìn)行實(shí)證分析十分必要。本節(jié)將選取最有代表性的股票、債券和大宗商品三大類資產(chǎn)在基于上文提到的模型基礎(chǔ)上構(gòu)建資產(chǎn)組合。

（一）數(shù)據(jù)選取

以萬得全A、中證全債指數(shù)和南華商品指數(shù)來分別代表股票、債券、商品等三種大類資產(chǎn)，選取日期為2012年1月1日至2017年10月31日。此期間三類資產(chǎn)的價(jià)格走勢如圖1所示。

整個(gè)區(qū)間三類資產(chǎn)的收益率相關(guān)性如表1所示。從表1中可以看出三類資產(chǎn)之間具有較低的相關(guān)性，這為風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)理論的成功應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

（二）模型設(shè)定

利用最近1年的收益數(shù)據(jù)來計(jì)算資產(chǎn)在95%置信區(qū)間內(nèi)的VaR值，每半年調(diào)倉一次。即第一次建倉日在2013年1月4日，其資產(chǎn)的配置權(quán)重利用2012年1月1日至2012年12月31日的歷史數(shù)據(jù)，并按照基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型計(jì)算得出。以此類推，后續(xù)的調(diào)倉日期分別在2013年7月1日、2014年1月2日、2014年7月1日、2015年1月5日、2015年7月1日、2016年1月4日、2016年7月1日、2017年1月3日和2017年7月3日。

在5%置信水平下，設(shè)三種資產(chǎn)的配置權(quán)重分別為ω1、ω2和ω3，通過歷史模擬法計(jì)算出三種資產(chǎn)的VaR值分別為VaR1、VaR2和VaR3，三種資產(chǎn)之間的相關(guān)性分別為ρ12、ρ13和ρ23。此時(shí)投資組合p的組合VaR值為：

■（9）

利用式（8）和式（9）不難求得在各個(gè)調(diào)倉時(shí)點(diǎn)的大類資產(chǎn)配置比例如表2所示。

不難看出，基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型配置的投資組合在風(fēng)險(xiǎn)較低的債券類資產(chǎn)上配置了絕大多數(shù)的資金，而在風(fēng)險(xiǎn)較大的權(quán)益類資產(chǎn)和大宗商品資產(chǎn)上配置的權(quán)重始終較低。這也從另一方面反映了該投資組合風(fēng)險(xiǎn)控制較好的原因。

（三）實(shí)證結(jié)果分析

圖2給出了從2013年1月1日起，VaR風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合、等權(quán)重組合與三大類基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格走勢。

與傳統(tǒng)的等權(quán)重資產(chǎn)組合相比，VaR風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合在最大回撤、年化波動(dòng)率、夏普比率和卡爾瑪比率方面有明顯優(yōu)勢，但是年化收益率不如等權(quán)重組合。

總的來看，VaR風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合的風(fēng)險(xiǎn)水平介于權(quán)益類資產(chǎn)和固定收益類資產(chǎn)之間，其收益能力也介于這兩類之間之間。但是夏普比率和卡爾瑪比率都有一定的優(yōu)勢。對于追求夏普比率最大化或者卡爾瑪最大化的投資者來說，VaR風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合不失為一種優(yōu)秀的投資建模方法。

五、總結(jié)與展望

本文提出了一個(gè)基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型，改模型采用VaR作為度量投資風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，在一定程度上克服了以波動(dòng)率作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的弊端。并基于該模型為萬得全A指數(shù)、中證全債指數(shù)和南華商品指數(shù)三種資產(chǎn)構(gòu)造了一個(gè)投資組合。實(shí)證研究結(jié)果表明：基于改模型構(gòu)造的投資組合雖然年化收益不及傳統(tǒng)的等權(quán)重組合，但是其在風(fēng)險(xiǎn)控制方面卻具備明顯優(yōu)勢。

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作者簡介：趙建林（1982-），男，河南焦作人，中央財(cái)經(jīng)大學(xué)保險(xiǎn)學(xué)院博士后研究員，主要從事資產(chǎn)配置和風(fēng)險(xiǎn)管理研究。