為數學點贊
——名師例析數學文化（3）復數篇

■北京市第十二中學高中部 高慧明

■北京教育學院豐臺分院 張 琦

圖1

圖2

圖3

《普通高中數學課程標準》(征求意見稿2016)中將課程內容分為必修課程、選修Ⅰ和選修Ⅱ三部分內容。其中每部分內容又包括函數、幾何與代數、統計與概率、數學建模活動與數學探究活動四部分內容(注:必修課程還包括預備知識)。其中復數與平面向量及應用、立體幾何初步共同構成了必修課程的幾何與代數部分。

課程標準對復數部分的教學要求是:“在復數的教學中,應注重對復數的表示及幾何意義的理解,避免煩瑣的計算與技巧訓練。對于感興趣的學生,可以安排一些引申的內容,如復數的三角形式等。可以適當地融入數學文化,讓學生體會數系擴充過程中理性思維的作用。”下面擬通過回顧復數的發展歷史,了解復數概念的重要發展階段,體會數系擴充過程中的理性思維、反思意識和創新精神。

一、復數產生的大致歷程

一元二次方程的歷史可以追溯到古巴比倫時期,在大英博物館所藏古巴比倫時期泥版BM13901上載有七個一元二次方程問題。其中第1題為:“正方形面積與一邊長之和為,求該正方形邊長。”

古巴比倫人解決上述問題的方法是幾何法,圖1所示的是一邊長為x的正方形,其邊上接著一個長為1、寬也為x的長方形。之后將長方形按虛線剪開,剪下的一半置于正方形的另一邊(如圖2),然后補一個邊長為的小正方形,即得一大正方形(圖3),其面積為,故而大正方形邊長為1,所以要求正方形的邊長

從這個問題分析,可以發現古巴比倫人對一元二次方程有著深刻的理解,而且這種求一元二次方程根的方法對后世數學家研究一元二次方程問題有著深遠的影響。而且如果深入分析這個問題,能夠發現這種求解方法中并沒有負根,這也與負數的發展歷史有關,因為直到16、17世紀歐洲大多數數學家還不承認負數是數。

公元3世紀,被譽為古希臘代數學鼻祖的丟番圖在其《算術》中提到這樣一個問題:“已知兩數的和與積,求這兩個數。”丟番圖的解法是:“假設兩數的和為20,乘積為96,2x為所求數之差,于是所求數為10+x和10-x。故得10-x2=96,所以x=2,從而得所求兩數分別為12和8。”這時候,人們已經知道一元二次方程有兩個根,如果其中有一個根為負數時,自動舍掉。但如果其中有一個根為虛數時,寧可認為這個方程是不可解的。

公元9世紀,阿拉伯數學家花拉子米也用幾何方法來解一元二次方程。在《代數學》中,花拉子米給出了求解一元二次方程x2+10x=39的兩種幾何方法。

更為重要的是,在該部著作中,花拉子米首次得出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為歐洲國家應用一元二次方程的求根公式,首次見于法國數學家韋達所著的《分析五篇》一書,還只限于正根。虛根問題雖然是由求一元二次方程的解所引發的,但迫使人們認真對待復數卻是因為求一元三次方程的解。意大利數學家卡爾達諾在1545年出版的著作《大術》中討論了求解一元三次方程的代數方法,卡爾達諾區分了13種情況對一元三次方程進行了詳細討論,給出了13種求解的公式,現在稱這些公式為卡爾達諾公式。

據說數學史上最早發現一元三次方程通式解的人,是16世紀意大利的另一位數學家尼柯洛·馮塔納。經過多年的探索和研究,馮塔納利用十分巧妙的方法,找到了一元三次方程一般形式的求根方法,從此名揚歐洲。但是馮塔納不愿意將他的這個重要發現公之于世。

當時的卡爾達諾,對馮塔納的發現非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教,希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶,滴水不漏。雖然卡爾達諾屢次受挫,但他極為執著,軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。后來,馮塔納終于用一種隱晦得如同咒語般的語言,把一元三次方程的解法“透露”給了卡爾達諾。馮塔納認為卡爾達諾很難破解他的“咒語”,可是卡爾達諾的悟性太棒了,他通過解三次方程的對比實踐,很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。

卡爾達諾把馮塔納的三次方程求根公式,寫進了自己的學術著作《大術》中,但并未提到馮塔納的名字。隨著《大術》在歐洲的出版發行,人們才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一個發表三次方程求根公式的人確實是卡爾達諾,因此后人就把這種求解方法稱為卡爾達諾公式。我們下面簡單介紹一下卡爾達諾公式。

設一般的一元三次方程為ay3+by2+cy+d=0(a≠0),方程兩邊同時除以a,原方程變為不妨記為y3+a1y2+a2y+a3=0,此時令y=x,為了方便,不妨記所以只需求方程x3+px+q=0的解即可。

此時,設x=u+v,則方程又變換為u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0,為了操作簡單,我們不妨再加一個限定條件。令3uv+p=0,即v=,再整理方程,變為u3+利用一元二次方程的求根公式,可得u3的兩個根,再開立方,可得u的值,進而可得方程x3+px+q=0的根。

多么巧妙的解題過程啊!但是,如果深思一下在利用一元二次方程的求根公式的時候有兩不等實根,但是當時呢?怎么辦?

用現在的代數語言描述x3+px+q=0的三個根為:

在應用公式求解的時候出現了十分尷尬的情況:即使一元三次方程的三個根都是實數,但用公式求解的時候會出現虛數。比如,x3-15x-4=0,容易驗證4是方程的一個根,接下來還可以找到另外兩個根-2±3,因此方程的三個根都是實數。但是,直接用卡爾達諾求解一元三次方程的公式計算方程根的過程中會得到一個根這個根是實數嗎?這樣的方程是有解還是無解呢?

為了解釋清楚上面產生的困難,卡爾達諾寫道:“顯然,將10分成兩部分,使它們的乘積等于40是不可能的。不過我們可以用這樣的方式來求解。將10等分,得5,自乘得25。減去乘積自身(即40),得-15。從5中加上或減去該數的平方根即得乘積為40的兩部分,所得的兩個數分別為……拋開精神上的痛苦,將5+即40……這的確很矯揉造作,因為利用它我們并不能做在純負數情形中所能做的運算。”(這均為今天的符號)

盡管卡爾達諾本人并不理解這種數,甚至拒絕了這種數,還說:“算術就是這樣的精巧奇妙,它最根本的特點,正如我說過的,是既精妙又無用。”但畢竟這是具有歷史意義的一刻,卡爾達諾成了數學史上第一個寫下負數平方根的人。不經意的一筆卻為虛數的發展播下了種子。

虛數(imaginarynumber)這個名稱是法國哲學家、數學家笛卡兒給出的,笛卡兒認為方程的這些“虛”根是不能對應到任何數的。負根至少可以通過方程變換轉化成“實”的,但是“虛”根卻辦不到。所以這些根不是實的,而是虛的,它們并不是數。并且,笛卡兒還給這些數取了一個不幸的名字——“虛數”,意思是“想象中的數”。

歐拉第一個使用符號i表示虛數,寫在他1777年提交給圣彼得堡科學院的論文中,這篇論文直到1794年才發表。盡管歐拉已多次接觸虛數,并且使用起來駕輕就熟,但對于虛數概念本身,他還是不甚了了,甚至還認為在他的《代數學引論》中,他寫道:“因為所有可以想象的數要么大于零,要么小于零,要么等于零,所以負數的平方根顯然是不能包含在這些數之中的。因此我們必須說,它們是不可能的數。……它們通常被稱為想象的數,因為它們只存在于想象之中。”

在復數理論發展的過程中,德國數學家高斯做出了巨大的貢獻,他在1831年,建立了復數的某些運算,使得復數的運算也像實數一樣“代數化”。他又在1832年第一次提出了“復數”(complexnumber)這個名詞,高斯認為必須將虛數別開來,才引入了復數這個詞。還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合,統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中,并把數軸上的點與實數一一對應,擴展為平面上的點與復數一一對應。高斯不僅把復數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,并利用復數與向量之間一一對應的關系,闡述了復數的幾何加法與乘法。至此,復數理論才比較完整和系統地建立起來了。

只有給出復數的幾何表示,人們才真正感覺到了復數的存在,才心安理得地接受了復數。1797年,丹麥測量學家韋塞爾在丹麥皇家科學院宣讀了一篇關于復數的論文,文中引入了虛軸并把復數表示為平面向量。但直到100年后的1897年,韋塞爾的丹麥文的論文被翻譯為法文后,復數幾何表示的工作才引起數學界的廣泛重視。

1806年,瑞士數學家阿甘德首先把這類新數表示成三角形式并把它們與平面內線段的旋轉結合起來,例如分別被看成單位線段按照逆時針與順時針方向旋轉90度所得的結果。可以這樣理解:一個實數乘以1,相當于原地沒動;乘以-1,相當于向后轉;乘以i,相當于向左轉;乘以-i,相當于向右轉,這是復數的乘法。再來考慮復數的加法,+5,向右走5個單位;-5,向左走5個單位;+5i向上走5個單位;-5i向下走5個單位。復數的表達方式已經被廣泛應用于流體力學、信號分析等,有著深厚的物理背景。在復數的基礎上,英國數學家哈密頓構造了四元數,并導致了物理學中著名的麥克斯韋方程的產生。

虛數概念的引入在數學史上是一個曲折的過程,其中充滿著數學家的想象力、創造力和不屈不撓、精益求精的精神。

二、數系的擴充和復數的概念

自從有了人類,為了統計捕獲的獵物和采集的野果等方面的需要,用手指、十字或刻痕來數個數,經歷了漫長的歲月,創造了自然數,1,2,3,4,5…。后來人們把表示“無”的0也歸入自然數,形成了自然數集,自然數集是產生其他一切數的源泉,所有其他數都是由其擴充得到的。

但是隨著時代的發展,在分配某些物品的時候,人們發現只有自然數是不夠用的,比如,四個人平分一個西瓜,把西瓜切成相同的四份,每人得到其中的一份,怎么用數表示這一份呢?諸如此類的問題很多。

于是,自然引出了分數,從解方程的角度,分數是這樣引入的:如果3x=5,這個方程在自然數的范圍內無解,為了解決這個矛盾,數的范圍必須擴充。所以定義:如果m,n(n≠0)是自然數,如果數量a滿足條件a×n=m,則稱a是分數,記作

時代又在發展,智慧的人類發現僅有分數也是不夠的。比如用自然數表示了收入,那么支出應該怎么表示呢?用分數表示了上升的程度,那么下降程度又該如何描述呢?于是,引入了相反數的概念——與正數相反的概念。設a是分數(兩個自然數之比),方程x+a=0在分數范圍內無解,為了解決這個矛盾,數的范圍又得擴充。所以,我們定義方程x+a=0的解叫作a的相反數,記作-a,于是數的范圍擴大到包括分數和它的相反數的新數集——有理數集。

古希臘時期的畢達哥拉斯學派有個基本的觀點——“萬物皆數”,他們相信任何的量都能表示成兩個整數之比。但是學派中的一個青年希帕蘇斯卻發現正方形的邊長與對角線之比不能用整數比表示,即 2不是分數。他百思不得其解,最后認定這是一個從未見過的新數。這個新數的發現,使畢達哥拉斯學派感到震驚,動搖了他們哲學思想的核心。無理數的發現,擊碎了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的理想。同時暴露出有理數系的缺陷:一條直線上的有理數盡管“稠密”,但是它卻漏出了許多“孔隙”,而且這種“孔隙”多得“不可勝數”。這樣,古希臘人把有理數視為是連續銜接的那種設想,就徹底地破滅了。

無理數是什么?人民教育出版社教材中的無理數的定義如下:

八年級上冊:任何一個有理數可以寫成有限小數和無限不循環小數的形式,3即3.0,即-0.6…很多平方根和立方根都是無限不循環小數,無限不循環小數又叫無理數。有理數和無理數統稱為實數。

從有理數到無理數,也可以看成是兩個方面需求的結果:一是度量線段過程中發現的存在著不可公度線段——每一條這樣的線段都對應著借助于單位長度而給出的一個數,這樣的數就是無理數。二是從數學內部的需求看,與有理數域的擴充類似,為了解像x2=2這樣的方程,需要構造一個比有理數集更廣的實數集。

從實數到復數,主要是數學內部的需求,也就是上面所述在一元三次方程求解過程中產生的 -1的問題,于是從數學的角度,只好引進一種新的數——“虛數單位”i,它服從i2=-1,之后要定義它的運算;定義了運算,又要研究它的運算律。從而數集就從實數集又擴充到了復數集。

上述數的范圍的擴充過程,反映了數學推廣過程的一個重要特性——使得在原來范圍內成立的規律在更大的范圍內仍然成立。非常幸運,從自然數到有理數,有理數集到實數集,實數集到復數集,完全滿足這個要求。

復數除了在高考和競賽中的簡單應用外,隨著科學和技術的進步,復數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對于數學本身的發展有著極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。