推理與證明測試題（A卷）

■甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

一、選擇題

1.觀察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導函數(shù),則g(-x)等于( )。

A.f(x) B.-f(x)

C.g(x) D.-g(x)

3.有這樣一段演繹推理“有些有理數(shù)是真分數(shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分數(shù)”,結論顯然是錯誤的,是因為( )。

A.大前提錯誤 B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤

4.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等,三內(nèi)角相等”的性質,可推知正四面體的下列性質,你認為比較恰當?shù)氖? )。

①各棱長相等,同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等;

②各個面都是全等的正三角形,相鄰兩個面所成的二面角都相等;

③各個面都是全等的正三角形,同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等。

A.① B.①② C.①②③ D.③

A.1 B.1+2

C.1+2+3 D.1+2+3+4

6.甲、乙、丙、丁四位同學一起去問老師成語競賽的成績。老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績。看后甲對大家說:我還是不知道我的成績。根據(jù)以上信息,可判斷( )

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

8.下面幾種推理中是演繹推理的是( )。

A.因為y=2x是指數(shù)函數(shù),所以函數(shù)y=2x經(jīng)過定點(0,1)

C.由“平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線平行”類比推出“空間中垂直于同一平面的兩條平面平行”

D.由平面直角坐標系中圓的方程為(xa)2+(y-b)2=r2,推出空間直角坐標系中球的方程為(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2

9.若大前提是:任何實數(shù)的平方都大于0,小前提是:a∈R,結論是:a2＞0,那么這個演繹推理出錯在( )。

A.大前提 B.小前提

C.推理過程 D.沒有出錯

10.在證明f(x)=2x+1為增函數(shù)的過程中,有下列四個命題:①增函數(shù)的定義是大前提;②增函數(shù)的定義是小前提;③函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定義是大前提;④函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定義是小前提。其中正確的命題是( )。

A.①④ B.②④

C.①③ D.②③

11.應用反證法推出矛盾的過程中,可作為條件使用的是( )。

①結論的否定即假設;②原命題的條件;③公理、定理、定義等;④原命題的結論。

A.①② B.①②④

C.①②③ D.②③

12.用反證法證明命題:“設a,b為實數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是( )。

A.方程x2+ax+b=0沒有實根

B.方程x2+ax+b=0至多有一個實根

C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實根

D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根

13.用反證法證明命題“若直線AB、CD是異面直線,則直線AC、BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個步驟:

①則A、B、C、D四點共面,所以直線AB、CD共面,這與直線AB、CD是異面直線矛盾;②所以假設錯誤,即直線AC、BD也是異面直線;③假設直線AC、BD是共面直線。

則正確的序號順序為( )。

A.①②③ B.③①②

C.①③② D.②③①

14.否定結論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時,正確的反設為( )。

A.a,b,c都是奇數(shù)

B.a,b,c都是偶數(shù)

C.a,b,c中至少有兩個偶數(shù)

D.a,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)

15.設實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個數(shù)不小于( )。

A.都大于2 B.至少有一個不大于2

C.都小于2 D.至少有一個不小于2

17.對于定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在實數(shù)x0,使f(x0)=x0,那么x0叫作函數(shù)f(x)的一個好點。已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+1不存在好點,那么a的取值范圍是( )。

C.(-1,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

18.若1＜x＜10,則下面不等式正確的是( )。

A.(lgx)2＜lgx2＜lg(lgx)

B.lgx2＜(lgx)2＜lg(lgx)

C.(lgx)2＜lg(lgx)＜lgx2

D.lg(lgx)＜(lgx)2＜lgx2

19.設x1,x2是方程x2+px+4=0的兩個不相等的實數(shù)根,則( )。

A.|x1|＞2,且|x2|＞2

B.|x1+x2|＜4

C.|x1+x2|＞4

D.|x1|=4,且|x2|=16

20.觀察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則52011的末四位數(shù)字為( )。

A.3125 B.5625

C.0625 D.8125

A.nnB.n2C.n D.n+1

A.sinθ≥0或cosθ≥0

B.sinθ＜0且cosθ＜0

C.sinθ＜0或cosθ＜0

D.sinθ＞0且cosθ＞0

23.“四邊形ABCD是矩形,所以四邊形ABCD的對角線相等”,補充該推理的大前提是( )。

A.正方形的對角線相等

B.矩形的對角線相等

C.等腰梯形的對角線相等

D.矩形的對邊平行且相等

A.1 B.2 C.3 D.4

A.1 B.15

26.某個命題與自然數(shù)n有關,若n=k(k∈N*)時命題成立,那么可推得當n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么可以推得( )。

A.n=6時該命題不成立

B.n=6時該命題成立

C.n=4時該命題不成立

A.7 B.8 C.9 D.10

A.1項 Bk.項

C.2k-1項 D.2k項

29.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( )。

A.假設n=2k+1時正確,再推n=2k+3時正確(其中k∈N*)

B.假設n=2k-1時正確,再推n=2k+1時正確(其中k∈N*)

C.假設n=k時正確,再推n=k+1時正確(其中k∈N*)

D.假設n≤k(k≥1)時正確,再推n=k+2時正確(其中k∈N*)

30.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如下所示的三角形數(shù)表。設aij(i,j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù),如a42=8。若aij=2009,則i與j的和為( )。

1

2 4

3 5 7

6 8 10 12

9 11 13 15 17

14 16 18 20 22 24

……

A.105 B.106 C.107 D.108

二、填空題

33.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且滿足f(x)=f(x+3),f(-2)=-3。若數(shù)列{an}中,a1=-1,且前n項和Sn滿足

34.回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22,121,3443,94249等。顯然兩位回文數(shù)有9個:11,22,33,…,99。三位回文數(shù)有90個:101,111,121,…,191,202,…,999。則:

(1)四位回文數(shù)有____個;

(2)2n+1(n∈N*)位回文數(shù)有____個。

35.下列命題適合用反證法證明的是____。

(3)關于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的;

(4)同一平面內(nèi),分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交。

36.用反證法證明命題:“三角形的三個內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時,假設應該是____。

38.一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元,二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?)。

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組

其中運算⊕定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0。

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗方程組可判定k等于____。

39.已知甲、乙、丙3人恰好都去過北京、上海中的某一個城市,3人分別給出了以下說法:

甲說:“我去過上海,乙也去過上海,丙去過北京。”

乙說:“我去過上海,甲說得不完全對。”

丙說:“我去過北京,乙說得對。”

已知甲、乙、丙三人中恰好有1人說得不對,則去過北京的是____。

41.設函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),若則實數(shù)a的取值范圍是____。

42.已知平面α∩平面β=直線a,直線b?平面α,直線c?平面β,b∩a=A,c∥a,求證:b與c是異面直線。若利用反證法證明,則應假設____。

三、解答題

43.對于一切n∈N*,求證:(2n+7)·3n+9可被36整除。

44.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,求證:對于任意的n∈N*,不等式a1+a2+a3+…+an＜2n都成立。

45.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,求證:a,b,c至少有一個大于

46.如圖1,已知A,B,C是長軸長為4的橢圓上的三點,點A是長軸的右頂點,BC過橢圓

圖1

(1)求橢圓的方程。

(2)若過C關于y軸對稱的點D作橢圓的切線DE,則AB與DE有什么位置關系?證明你的結論。

48.設實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,非零實數(shù)x,y分別為a與b,b與c的等差中項,證明:

49.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:

(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通項公式;

(2)使用數(shù)學歸納法證明通項公式的正確性。